Apuntes de matemáticas

 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

 Función de dos variables.

  Sean dos subconjuntos de R, digamos A y B, como ya hemos visto en 1.8, se llama producto cartesiano,  A  B,  al conjunto formado por todas las parejas posibles en forma de par ordenado (x, y), tales que el primer elemento, x, pertenezca al conjunto A y el segundo, y, pertenezca al conjunto B., una función de dos variables es una aplicación de AB  en R, tal que a cada  (x, y) se le hace corresponder un único número de R, mediante una expresión matemática. Por ejemplo:

  f : A  B ----> R           
(x,y) ------>  x² - y² +1

En este ejemplo tenemos definida la función   f(x,y) = x² - y² + 1 (expresión abreviada), o bien  z = x² - y² +1. En esta función se hace corresponder al par ordenado (1,1) el número 1² - 1² +1, o sea, 1; al (1,2) el 1² - 2² +1, o sea el -2, etc.

  De manera abreviada expresaremos la función de arriba como :   z = x² - y² + 1.  No es sencillo construir la gráfica de una función de dos variables tal como la de nuestro ejemplo, en realidad, la mejor forma de proceder para ello es utilizar alguna herramienta informática de gráficas matemáticas, no obstante hay algunos casos sencillos como la función z = x² + y² , cuya gráfica (llamada "paraboloide") es la indicada abajo:

  *  Función de tres o más variables.

   De manera análoga una función de tres variables se define a partir de tres subconjuntos de R, sean tales como A, B y C,  de tal forma que a cada terna (x, y, z) siendo el primer elemento perteneciente a A, el segundo al B y el tercero al C, se la hace corresponder un único número de R.

  f : A  B  C----> R           
(x,y, z) ------>  x² - y² + z² -2

que la representaremos abreviadamente:

w = f(x,y, z) = x² - y² + z² -2

 Y de esta manera también puede extenderse el concepto de función de cuatro, cinco, etc. variables.

DERIVADAS PARCIALES

Derivada parcial de una función de varias variables.

  Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable)

  Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z"respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

  Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:     :

  Para ello recordemos que la derivada de la función  z = e^u  es:   z’ = u’ . e^u , siendo u en nuestro caso: x² + y² , entonces la derivada de urespecto x es 2x (con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:

  Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:

mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :

  Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables  w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:

en cada una de ellas se consideran constantes los dos parametros distintos a los que se realiza la derivada.

  10B.2  Diferencial de una función de varias variables.

Sea una función de dos variables z = f(x, y), se define la diferencial de esta función como:

Geométricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos infinitesimales".

Como ejemplo, expresemos la diferencial de la función:    , ya que hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales:

  Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores en un punto P(a, b), para ello se sustituye en ellas el valor de x pora, y el valor de y por b. Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el punto P(1, 2) se calculan sustituyendo x=1, y=2.

  Para la función  las derivadas en el punto P(1, 2) son:

y la diferencial en ese punto:

 

  10B.3  Derivadas parciales de segundo orden.

  Sea una función de dos variables z = f(x, y). En principio tenemos cuatro (2²) derivadas de segundo orden:

(se debe leer  "derivada segunda de z respecto de x dos veces", "derivada segunda de z respecto de x-y", etc.)

  Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera:

 

  Se trata de derivar respecto de x la derivada .

  Se trata de derivar respecto a x la derivada .

   Se trata de derivar respecto a y la derivada .

   Se trata de derivar respecto a y la derivada  .

  Siguiendo con nuestro ejemplo, calculemos estas derivadas para la función :

  Las derivadas  son llamadas "derivadas mixtas", obsérvese en el ejemplo cómo estas derivadas son iguales, lo cual no es una coincidencia sino el resultado de un teorema que vamos a pasar a ver.

   10B.4  Teorema de Schwarz relativo a las derivadas mixtas.

  Sea un punto P(a, b) en el que la función z = f(x, y) se encuentre definida. El teorema de Schwarz dice: "Es suficiente que las derivadas existan en una cierta bola del punto P, y que la derivada segunda de f con respecto a xy sea continua en este punto, para que tengamos:

es decir, que las derivadas mixtas sean iguales en los puntos de esa bola". 

  En general, las condiciones de este teorema se cumplen (salvo para algunos puntos excepcionales), por lo que nosotros siempre consideraremos iguales a estas derivadas cruzadas.

  A veces, es conveniente expresar las derivadas segundas de z=f(x,y) como una matriz 22 :

    En este caso los elementos que se encuentren en posición simétrica respecto a la diagonal principal son iguales. En otras palabras, estas matrices son simétricas. Para el caso de una función de tres variables  w = f(x, y, z), el número de derivadas segundas es 9 , esto es (3²), que las podríamos expresar así:

coincidiendo cada pareja situada en posición simétrica (respecto de la diagonal principal).

  10B.5  Diferencial segunda de una función z = f(x,y).

  Sea z = f(x,y) una función de dos variables. Entonces la diferencial segunda de z, d²z, es la diferencial de la diferencial, esto es,  d(dz), la cual se puede expresar así:

que teniendo en cuenta la igualdad (en general) de las derivadas mixtas, puede expresarse:

 En nuestro ejemplo tendríamos:

  *  Podemos hallar la diferencial de z = f(x,y) en un punto específico, digámos P(a,b), sin más que sustituir las x por a, y las y por b.

  Hallemos, para la función z de nuestro ejemplo, la diferencial de z en el punto P(1,2):

    10B. 6  Extremos de una función z = f(x,y) (método de la diferencial segunda).

Sea una función  z = f(x, y), sea un punto Po(a,b) que es un extremo local de la función (en la imagen un "mínimo local"), entonces:

  Si para los puntos P(x,y) de un entorno de Po se tiene:

        f(x,y) – f(a,b) < 0   ,  el punto es máximof(x,y) – f(a,b) > 0 ,  el punto es mínimo.

*  Condiciones necesarias:

  Fijándonos en el gráfico adjunto, es fácil observar que para que Po sea extremo también lo ha de ser para las secciones transversales a los ejes X e Y, (imaginad que en la superficie de la gráfica adjunta realizamos cortes de cuchillo transversales a los ejes X e Y), entonces se debe cumplir:

{1}

 Si ahora expresamos los dos primeros términos del desarrollo de Taylor de f(x,y) en un entorno del punto Po(a,b), y teniendo en cuenta que las dos derivadas primeras se anulan en este punto, tenemos:

siendo  h = x – a,  k = y – b,  por otra parte las derivadas segundas de f(x,y) se expresan en un punto intermedio  , pero como el tipo de funciones que utilizamos son tales que sus derivadas segundas no varían mucho de un punto a otro próximo podemos cambiar este punto por el punto vecino  Po(a,b). Entonces se tiene:

 Además si consideramos a  h = (x-a) ser una cantidad muy pequeña, lo podemos sustituir por dx, de la misma manera podemos sustituir k = (y-b) por dy. Entonces:

que teniendo en cuenta la expresión de la diferencial segunda de f, podemos asegurar que lo que hay dentro del corchete es la diferencial de la función   z = f(x,y). Entonces el signo de  f(x,y) – f(a,b) es el mismo que el de d²z  en el punto Po(a, b).

  Ahora bien, la expresión de la diferencial de la función  z = f(x,y)  en el punto Po(a,b):

corresponde con lo que en Álgebra se llama  forma cuadrática, cuyo comportamiento es el siguiente:

Por lo tanto, podremos hacer el estudio de máximos y mínimos locales de la forma:

   Ejemplo.  Hallemos los extremos locales (máximos y mínimos) de la función de dos variables:

            z  = f(x, y) = 2 x³ + 2 y³ – x² – y² – 2 xy

   Para ello, en primer lugar determinamos aquellos puntos que cumplen la doble condición necesaria para ser extremo local {1} :

o lo que es lo mismo:

  Se resuelve este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y su solución nos indica los dos puntos posibles de ser extremos locales:

  Ahora para determinar si estos puntos son máximos o mínimos, primeramente hallamos las derivadas segundas de la función:

ahora expresamos d²z para cada punto de arriba.

  I) Para el punto (0,0):

  Por lo que la función z=f(x,y)  presenta en el punto (0,0) un casi-maximo. Téngase en cuenta que dx puede ser igual a -dy, y por tanto d²z puede hacerse 0.

  II)   Para el punto  (2/3, 2/3):

  Por lo tanto la función z=f(x,y) presenta en el punto (2/3, 2/3) presenta un mínimo cuyo valor es z=-(16/27).

10B.7  Estudio de máximos y mínimos mediante el Hessiano.

Otra forma, algo menos efectiva, de estudiar los máximos y mínimos locales de una función de n variables, es la utilización del Hessiano.

  Sea una función de n variables, , se llama Hessiano de esta función al determinante:

  O más concretamente se habla del "Hessiano de la función f en el punto ":

en el que cada derivada segunda de f está realizada en el punto P.

  A partir de este determinante hessiano se elimina la ultima fila y la ultima columna, con lo que se obtiene el "hessiano reducido", D1 . Entonces, de forma general, la manera de operar es la siguiente:

  A)  En primer lugar, hallamos los puntos que cumplen la condición necesaria de extremo (sus derivadas primeras son todas nulas), resolviendo el sistema:

  B)  Para cada uno de estos puntos P que cumplen la condición necesaria hallamos el hessiano y el hessiano reducido, .

    Entonces, lo que puede decirse de P está expresado en la siguiente tabla:

en el caso de que alguno de estos hessianos sea nulo ese punto queda indeterminado y habría que utilizar el método de la diferencial visto en la cuestión anterior.

  Para el caso de una función de dos variables z = f(x,y), estos hessianos se reducen a los siguientes:

  Para el ejemplo anterior de la función  z  = f(x, y) = 2 x³ + 2 y³ – x² – y² – 2 xy , podemos operar así:

  Primeramente hallaríamos los puntos que cumplen la condición necesaria de extremo, de la misma manera que se ha visto antes. Estos dos puntos son: . Y a continuación hacemos el estudio de los hessianos para cada uno de estos dos puntos.

    a)  Para el punto  (2/3, 2/3):  

   Se trata del caso 1-b) de la tabla de arriba, lo cual nos indica que en este punto la función tiene un mínimo local.

    b)  Para el punto (0,0):

  que se trata de un caso indeterminado, por lo que no podemos asegurar nada respecto del punto (0,0) mediante este método.

 10B.8  Derivación de una función compuesta.

    Sea una función de n variables,  z = f(u, v, ...), a su vez, supongamos que esas variables dependen de otras m variables u=u(x,y...), v=v(x,y,..).... Es decir, tengamos:

De una manera simbólica expresaremos esta dependencia lineal entre las variables así:

  En ultima instancia la función  z depende de las x, y,... . Vamos a expresar las derivadas de la función z con respecto a esas variables, que siguen la misma pauta multiplicativa de las funciones de una variable:

Para establecer estas derivadas nosotros debemos guiarnos por el esquema de la dependencia lineal. 

    Veamos algunos ejemplos:

  Ejemplo 1:  Sea la función  , donde a su vez, u, v son funciones de las variables x, y de la forma:

  Vamos a hallar las derivadas parciales de z con respecto a x, y con respecto a y.

  Para ello fijémonos, primeramente, en la dependencia lineal de la función z:

  De aquí que podamos expresar las derivadas parciales de z como:

 Ahora hacemos directamente cada una de las derivadas de ambos miembros de la derecha, y obtenemos:

  Ejemplo 2:   Sea la función   z(u, v) = u² + v²,  siendo u, v tales que:

 y a su vez, siendo t, p tales que: .  Hallemos las derivadas de z respecto de x, y.

  Bien, en consonancia con el enunciado, la dependencia de la función z con respecto a las variables ultimas x,y es la siguiente:

 En el fondo tenemos la función z como dependiente de las variables x, y. Por tanto, las dos derivadas primeras se expresarán:

10B. 9  Derivadas de una función compuesta (ordenes superiores).

  Sea una función de varias variables  z = f(u, v, ...), a su vez, supongamos que esas variables dependen de otras variables u=u(x,y...), v=v(x,y,..)..., según una cierta dependencia lineal. Vamos a ver ahora cómo establecer las derivadas segundas, terceras, etc.

  Para ello debe tenerse en cuenta el siguiente lema: "Las derivadas de una función tienen la misma dependencia lineal que la función. Esto significa que el esquema que utilizamos para una cierta función z=f(u, v, ...) es valido para cada derivada, de cualquier orden".

  Aclarémoslo mediante un ejemplo.

    Sea la función   z = 5 x² y – y² , donde las variables x, y se encuentran expresadas como dependientes de las coordenadas polares:

  Vamos a hallar las derivadas segundas de z con respecto a las variables r, j.

  La dependencia lineal de la función z con respecto a estas dos variables es:

  Entonces, las derivadas primeras de z son:

 Para hallar las derivadas segundas de z hay que derivar estas derivadas primeras, para ello debemos: (1) dejarlas solamente con las variables x, y;(2) considerar el lema anterior.

 (1). De las relaciones entre las variables (x, y)  y las (r,j) fácilmente se deduce:

   que sustituyendo en las derivadas nos queda:

 (2). Con las derivadas así expresadas, ya podemos comprender que estas son funciones de (x,y) que a su vez siguen siendo funciones de (r,j), es decir, la dependencia de cada una de ellas es la misma que la de z (tal como dice el lema):

  Y siguiendo estos esquemas tendremos para las derivadas segundas:

  Ahora sustituimos en los miembros de la derecha, dentro de los paréntesis, las expresiones correspondientes de la derivada primera. Por ejemplo, vamos a hacer la última de ellas:

y ahora derivamos estos paréntesis y también sustituimos el valor de las derivadas con respecto de j.

es decir,

  10B.10  Cambio de variables en expresiones diferenciables.

  Caso I. Una función de una variable.

  Supongamos que tenemos una expresión matemática E (normalmente supondremos una ecuación diferencial) en la forma:

  Hagamos ahora un cambio de variable, en la forma  x = x(t), con el propósito de transformar la ecuación de arriba, mediante la nueva variable t.

  No sólo debemos cambiar la variable x de la ecuación, mediante x(t), sino que debemos cambiar las derivadas dy/dx, d²y/dx², ..., que deberán ser transformadas en dy/dt, d²y/dt², ...

  Al final la expresión matemática de arriba quedará en la forma:

  En este caso la dependencia lineal de la función y(t) es:

por tanto la derivada de y respecto de x se expresará:

donde se ha tenido en cuenta la siguiente propiedad:

 Una vez obtenida la primera derivada, obtendremos la derivada segunda sin más que derivar la primera. Es decir:

Ahora sustituiríamos dentro del paréntesis del miembro de la derecha el valor obtenido para dy/dx y derivaríamos directamente.

  Veámoslo mediante un ejemplo:

  Ejemplo.  Consideremos la ecuación diferencial:

 Veamos cómo queda transformada esta ecuación cuando realizamos el cambio de coordenada:

x = Ln t

 Solución:  Nosotros aquí podemos despejar fácilmente[1] la variable t:  t = e^x ,  y ahora considerar la dependencia lineal:

entonces podemos expresar la primera derivada de y:

En cuanto a la segunda derivada quedaría sin más:

y ahora téngase en cuenta que en el paréntesis hay un producto, cuya derivada es:

por lo tanto:

 Sustituimos estas derivadas en la ecuación y nos queda:

finalmente simplificamos y obtenemos la ecuación ya transformada.

[Nota 1]  No hay gran inconveniente en el caso de que t no pueda ser despejada como t(x) pues en este caso haríamos dx/dt y tendríamos en cuenta la propiedad ya citada:

 En nuestro ejemplo, supongamos que de x = Ln t no pudieramos despejar t :

 Entonces haríamos: 

 y como dx/dt = 1/t  nos quedaría  dx/dt = t dy/dx, o sea, lo mismo que ántes.

  Caso II. Una función de dos variables:

 Supongamos que tenemos una expresión matemática E (normalmente supondremos una ecuación diferencial) en la forma:

Si ahora hacemos un cambio de variables, pasando de las variables x, y a las u, v, en la forma:

se trata de transformar esta expresión matemática (o ecuación diferencial) E que tenemos.

  Entonces nos encontramos con la dependencia lineal [2]:

[Nota 2]: Siempre que sea posible despejar u, v en la forma u(x,y), v(x,y), aunque tampoco es gran problema la imposibilidad de despejarlas.

  De aquí que las derivadas primeras puedan ser expresadas:

de donde podemos realizar de manera sencilla las cuatro derivadas:

  Y por tanto, ya tendríamos unas expresiones para las derivadas primeras, a continuación las derivadas segundas se obtendrían derivando adecuadamente estas derivadas primeras, tal como vamos a ver en el ejemplo siguiente:

 Ejemplo:   Sea la ecuación diferencial:

 Obtengamos la ecuación diferencial transformada según el cambio de coordenadas:

  Respuesta:  Ya nos han dado u(x,y), v(x,y), evitándonos la tarea de tener que despejar u,v. Ahora si consideramos a z como función de estas nuevas variables u, v, podemos expresar la dependencia lineal en la forma:

y teniendo en cuenta que:

y teniendo presente que  x-y = e^v podemos expresar:

Ahora obtenemos las derivadas segundas derivando estas primeras, teniendo en cuenta que :

o sea, para la derivada con respecto a "x dos veces":

y para la derivada con respecto a "y dos veces":

finalmente, las sustituimos en la ecuación, y simplificamos:

Función implícita de una variable.

   Sea una ecuación con 2 indeterminadas, en la forma F(x, y) = 0, se dice que esta ecuación define en el entorno de un punto Po a y=f(x) como una función implícita de una variable, si para todo punto P del entorno de Po se tiene que: F(x, f(x))º 0.

  Por ejemplo, la ecuación de la circunferencia x² + y² – 1 = 0, define en el entorno del punto  la función implícita :

  Una función que al sustituir en la ecuación la convierte en una identidad del tipo 0º0.

   De la misma manera en el entorno del punto  , la misma ecuación define otra función implícita:

*  Teoréma de existencia y unicidad:

  Sea una ecuación de dos variables F(x,y) = 0  {1}, esta ecuación define una función implícita y = f(x) en el entorno de cierto punto   si se cumplen las tres condiciones:

  a)      , es decir, el punto Po es un punto de la curva.

  b)  Las dos derivadas parciales     son funciones contínuas en cierto entorno del punto Po.

  c)   .

  En este caso podemos hallar la derivada primera de la función implícita de la siguiente manera. Primero diferenciamos ambos miembros de la ecuación F(x,y) = 0.

    {2}

  A continuación, despejamos dy:

  Por lo tanto, la derivada de la función implícita y = f(x) es:

    {3}

(obsérve cómo hemos cálculado la derivada de la función y=f(x) sin necesidad de conocer la forma explícita de ésta, una forma que quizás no podemos saber por ser imposible depejar "y" de la ecuación {1} )

  O también, expresada en forma más simple:

   {3'}

  Es necesario hacer notar que la expresión  {3} no tiene una validez general, sino que sólo es válida para los puntos de un entorno de Po .

  Una vez hallada la primera derivada, las derivadas sucesivas las obtenemos a base de ir derivando ésta, aunque hay que tener en cuenta en todo momento que la "y" es una función de x.

  Ejemplo:  Supongamos la ecuación siguiente:

Es obvio que en esta ecuación no podemos despejar "y" (y se encuentra en forma implícita), no obstante, nos piden que estudiemos el comportamiento de la función y = y(x) en las proximidades del punto P(1,0).

  Solución:  Para hacer este estudio local de y = y(x), vamos a calcular las derivadas y' , y", en un entorno del punto P(1,0).

   Para tener la ecuación en la forma {1}, debemos tomar:

y en esta función F(x,y) realizamos las dos derivadas parciales:

Ahora, podemos comprobar que: 1) F(1,0) = 0. 2) F'(x,y) , F'(x,y) son continuas en un entorno del punto P(1,0). 3) F'(1,0) = -1 (distinta de 0). Por lo tanto cumple las condiciones de la función implícita, y según {3'} podemos expresar:

(válida para los puntos de un entorno de P(1,0) ).

Ahora obtenemos la segunda derivada, y", sin más que derivar esta y’, pero no olvidando que las y que aparecen en el numerador y denominadorson funciones de la forma y(x), no variables.

ahora tenemos que sustituir y' por el valor hallado anteriormente:

Una vez halladas y', y", podemos completar el estudio de y = y(x)  hallando el valor de estas derivadas en el punto P(1,0):

El conocimiento de estas derivadas en P(1,0) nos posibilita hallar una aproximación a la función implícita y=f(x) sin más que tomar un desarrollo de Mc Laurin para esta función:

expresión válida en un entorno de P(1,0).

  10C.2  Función implícita de varias variables.

  Lo que acabamos de ver para una función de una variable puede ser generalizado a una función de n variables de la siguiente manera.

Sea una ecuación con n+1 indeterminadas, en la forma F(x,y, ..., z) = 0  {4}, se dice que esta ecuación define en el entorno de un punto Po a z=f(x,y,...) como una función implícita de n variables, si para todo punto P del entorno de Po se tiene que:

F(x,y,..., f(x,y,..))º 0.

*  Teorema de existencia y unicidad:

Sea una ecuación de n+1 variables F(x,y,...,z) = 0 , esta ecuación define una función implícita z = f(x,y,...) en el entorno de un punto Po si:

a) F=0, es decir el punto Po satisface la ecuación.

b) Todas las derivadas parciales de F(x,y,...,z) :  , .... , son funciones continuas en el entorno del punto Po .

c)  . Es decir, la derivada de F respecto de z no se anula.

  Para obtener una expresión que nos dé las derivadas parciales de la función implícita, diferenciamos los dos miembros de la ecuaciónF(x,y,...,z) = 0 :

    {5}

  Ahora despejamos dz :

   {6}

o expresado abreviadamente:

   {6'}

y  si tenemos en cuenta la expresión general de la diferencial de dz:

Podemos finalmente expresar las derivadas parciales de z:

 {7}

Compárese éstas con las expresiones  {3} , {3'} para el caso de una variable, y se apreciará la similitud.

  Ejemplo:  Sea la ecuación con tres indeterminadas x²+y²+z²+ 2 x y z -1 = 0. En ella podemos considerar que z=f(x,y) se encuentra en forma implícita. Dado el punto Po(-1,-1,-1) que pertenece a la gráfica de la ecuación vamos a calcular las dos derivadas primeras, y las tres derivadas segundas para los puntos del entorno de ese Po.

  La función F(x, y, z) de tres variables tal que F(x, y, z) = 0 es:

F(x, y, z) = x²+y²+z²+ 2 x y z -1

por tanto, y teniendo en cuenta que se cumplen las condiciones de existencia, las dos derivadas primeras de z(x,y) se calculan según {7} :

  Ahora para hallar las derivadas segundas debemos derivar en las primera teniendo en cuenta que z es una función de dos variables en la forma:z=z(x,y)