Apuntes de matemáticas

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

 Mediante transformadas de Laplace (por Pierre-Simon Laplace) puede resolverse un tipo de ecuaciones diferenciales de orden n, son las llamadas ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, muy comunes en la resolución de circuitos eléctricos:

Las A son constantes, y la variable "x" en la práctica suele ser el tiempo.

  14.1  Transformación (transformada) de Laplace de una función.

   Para simplificar los cálculos supondremos que nuestras funciones y = f(x) cumplen las siguientes condiciones:

            1)   f(x) está definida para todos los puntos .
            2)   f(x) es contínua o contínua a trozos en cualquier intervalo 0 < x < b.
            3)   f(x) es de orden exponencial a , lo cual significa que    f(x) es tal que:

La transformada de Laplace de una función f(x) con las características arriba indicadas se define como:

      [1]

Así definida, como una integral, la transformada de una función f(x) cumple las típicas propiedades de linealidad:

 

  Ejemplo 1:  Hallemos la transformada de Laplace de una función constante,  y = A.

  Respuesta:  Sin más que utilizar la fórmula [1] donde sustituímos f(x) por A e integramos:

  Ejemplo 2:  Hallemos la transformada de Laplace de una función exponencial inversa,  f(x) = e^-ax.

  Respuesta:  Utilizamos la fórmula [1] donde sustituímos f(x) por su valor e integramos:

  Ejemplo 3:  Hallemos la transformada de Laplace de la función  f(x) = sen wx, siendo w una constante.

Respuesta:  Como siempre, sustituímos f(x)=sen wx en  la fórmula [1] e integramos:

  14.2  Propiedades de las transformadas de Laplace.

  Expresaremos aquí las propiedades más importantes de la transformada de Laplace de funciones:

 

  14.3  Cálculo de transformadas mediante tabla.

Para el cálculo de transformadas de Laplace de funciones es conveniente tener disponible una tabla con las transformadas de las funciones más importantes (aquí tiene una tabla de transformadas). Con la ayuda de esta tabla, y mediante las propiedades, podemos hallar la transformada de cualquier función que se nos presente.

  Ejemplo 4:  Con la ayuda de la tabla hallemos la transformada de Laplace de la función:

f(x) = 3 + 2 x²

  Respuesta: Utilizando la propiedad 1, de linealidad de la transformadas, y con ayuda de la tabla tenemos:

  Ejemplo 5:  Con la ayuda de la tabla hallemos F(s) para la función f(x) = 2 sen x + 3 cos 2x.

  Respuesta: Utilizando la linealidad, y mediante la tabla tenemos:

  Ejemplo 6: Con la ayuda de la tabla hallar F(s) para la función  f(x) = x e^4x .

  Respuesta: Teniendo en cuenta (1) que la transformada de f(x) = x es , y (2) la propiedad 2 de las transformadas, tenemos:

  Ejemplo 7:  Con la ayuda de la tabla hallar F(s) para la función  f(x) = x cos ax .

  Respuesta: Según la tabla, la transformada para f(x) = x cos ax  es:

entonces, teniendo en cuenta la propiedad 3 de las transformadas, tenemos:

  Ejemplo 8:  Con la ayuda de la tabla, hallar F(s) para la función  f(x) = e^{- 2x} sen 5x.

  Respuesta: Según la tabla, la transformada de la función f(x) = sen 5x es:

y ahora, según la propiedad 2, con a = -2, tenemos:

Ejemplo 9:  Con la ayuda de la tabla, hallar F(s) para la función:   f(x) = e^-x x cos 2x.

  Respuesta:  Primeramente hallamos la transformada de la función  f(x) = x cos 2x, de forma idéntica al ejemplo 7, con a=2, tenemos:

a continuación, tenemos en cuenta la propiedad 2 con a=-1,

  Ejemplo 10:  Con la ayuda de la tabla, hallar F(s) para la función: .

   Respuesta:  Según la tabla, la transformada de la función f(x) = sen 3x es:

ahora utilizando la propiedad 4 tenemos:

 
  Ejemplo 11:  Con la ayuda de la tabla hallar la transformada de Laplace para la onda cuadrada de la figura.

   Respuesta:  Se puede apreciar por la figura que la función f(x) es periódica (de periodo T=2), en concreto, la función puede ser expresada en un periodo en la forma:

Por lo tanto, según la propiedad 6 para funciones periódicas tenemos:

para realizar la integral del numerador debemos partir el intervalo (0,2) en los dos, (0,1) -en que la función es f(x) =1- y (1,2) -con la función f(x) = -1-:

  Por lo tanto:

  Ejemplo 12:  Con la ayuda de la tabla hallar la transformada de Laplace para la onda en sierra de la figura. 

  Respuesta:  Se puede apreciar por la figura que la función f(x) es periódica (de periodo T=2p), en concreto, la función puede ser expresada en un periodo en la forma:

Por lo tanto, según la propiedad 6 para funciones periódicas tenemos:

para realizar la integral del numerador debemos partir el intervalo (0,2p) en los dos, (0,p) -en que la función es f(x) =x- y (p,2p) -con la función f(x) = 2p-x-:

por lo tanto tenemos:

  14.4  Transformadas de la derivada y de la integral de una función.

  I) Consideremos una función f(x) cuya transformada de Laplace sea F(s), vamos a ver cuál es la transformada de su función derivada f’(x):

II) Consideremos una función f(x) cuya transformada de Laplace sea F(s), vamos a ver cuál es la transformada de su función integral   :

Atención a esta pareja de resultados, que serán fundamentales a la hora de resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.

  14. 5  Transformada inversa.

  La transformada inversa de Laplace de una función F(s), es otra función f(x) , designada por , tal que cumple: .

  Un teorema asegura que si la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es continua, entonces también es única (no depende de ningún parámetro).

  Al igual que en el caso de la transformada, también se cumple la linealidad:

  El método más común para hallar la transformada inversa de una función F(s) es mediante la tabla, fijándonos ahora en la segunda columna para hallar la función f(x) de la primera columna, como veremos a continuación en los ejemplos.

  Van a ser muy utilizados dos recursos que pasamos a comentar.

  * El método del cuadrado.

   Se trata de expresar un polinomio de segundo grado, a s² + b s + c, en la forma: a(s + k)² + h². El proceso es muy simple:

  * El método de las fracciones parciales.

  Es el mismo método usado en las integrales indefinidas. Toda función en la forma fraccionaria p(s)/q(s), -siendo p(s) y q(s) polinomios tales que el grado de p(s) sea menor que el del q(s)-   puede expresarse como una suma de otras fracciones en cuyos denominadores vienen polinomios de grado 1 o cuadráticos elevados a una potencia. Es decir, la suma de:

para cada raíz real del polinomio q(s), s = a, de orden de multiplicidad m, más la suma de:

para cada raíz compleja del tipo s² + bs + c=0, de orden de multiplicidad p.Finalmente ponemos el mismo denominador en el miembro de la derecha e identificamos los coeficientes de ambos numeradores, lo que nos conduce a un sistema simple que nos permite hallar el valor de todas estas constantes A1, A2, ..., B1, B2, ..., C1, C2, ...

  Como ejemplo vamos a realizar esta descomposición para la función:

Tenemos tres raíces reales: s = 0 (orden de mult. 3), s = 2 (orden 1) y s = -1 (orden 1), entonces:

El denominador común del miembro de la derecha es s³ (s² - s - 2), que obviamente coincide con el de la izquierda. Ponemos este denominador común a la derecha, y cancelamos ambos denominadores, lo que nos lleva a:

  

Ahora en esta identidad vamos haciendo sucesivamente  s =0, s=2, s=1, ... lo que nos va conduciendo a la determinación de los coeficientes. Finalmente tenemos:

  *  Ejemplos de transformadas inversas:

  

      Solución:  Si nos fijamos en la tabla de transformadas, comprobamos que nos conviene que haya un 2 en el numerador de la fracción, por lo tanto podemos poner:

*    *    *

  

     Solución:  Podemos utilizar el método de los cuadrados para expresar:

*    *    *

     

    Solución: El numerador, s + 4, lo podemos expresar como la suma (s + 2) + 2. Entonces tenemos,

*    *    *

    

    Solución:  Hacemos la descomposición en fracciones simples,

  A continuación determinamos A y B, en este caso obtenemos: A = 5/3, B = -2/3. Y por lo tanto:

*    *    *

     

    Solución:  Realizamos la descomposición en fracciones simples,

cuyos coeficientes son es este caso:  A=1/4, B= -1/4 y C =0.   Por lo tanto, tenemos:

   14. 5  Resolución de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes mediante la transformada de Laplace.

   Considérese una ecuación lineal con coeficientes constantes en la forma:

junto con n "condiciones iniciales" en la forma:

  Llamemos  Entonces, como se ha visto en 14.4, podemos expresar la transformada de la derivada de y(x) así:

resultado que vamos a llamar provisionalmente F1(s). Y ahora vamos aplicando de manera recursiva esta misma fórmula de la transformada de la derivada:

Ahora bien, todas estas derivadas de y(x), en el punto origen son las condiciones iniciales.

  La forma de resolver una ecuación diferencial tal como la que hemos expresado anteriormente, con ciertas condiciones iniciales conocidas, es la siguiente:

1) Tomamos transformadas de Laplace en ambos miembros de la ecuación, con lo cual obtenemos una expresión en la forma:

f(s, F(s) )= 0

2) En esta expresión, despejamos F(s) y finalmente tomamos transformadas de Laplace inversas, lo cual nos conduce directamente a la solución buscada.

  * Ejemplos:

   Ejemplo 1:  Resolver la ecuación diferencial y’ - 5 y = 0, con la condición inicial y(0)=2.

    Solución:  Comenzamos por hacer las transformadas de Laplace de ambos miembros:

  La transformada de 0 es 0, la de "y" es F(s), y la de  y'   es "s F(s) - y(0)", entonces podemos poner:

(s F(s) - 2) - 5 F(s) = 0

  Ahora despejamos F(s) en esta ecuación:

Y finalmente tomamos transformadas inversas en ambos miembros:

  con lo que llegamos a la solución pedida:  y(x) = 2 e^5x.

*    *    *

  Ejemplo 2:   Resolver la ecuación diferencial y’ + y = sen x; con la condición y(0)=1.

   Solución:  Tomamos transformadas de Laplace en ambos miembros:

  Finalmente tomamos transformadas inversas:

*    *    *

  Ejemplo 3: Resolver la ecuación diferencial y" + 4 y’ + 8 y = sen x, con las condiciones iniciales: y(0) = 1, y’(0) = 0.

  Solución:  Tomamos transformadas de Laplace en ambos miembros:

  es decir,

  Ahora despejamos F(s) y hallamos transformadas inversas:

*    *    *

   Ejemplo 4:   En el circuito RCL de la figura, se tiene R = 2 W , L = 1 H, C = 0,5 F, V = 50 volt. Las condiciones iniciales con el circuito abierto son : q(0) = 0,  i(0) =0.  Hallar la intensidad de corriente i(t) cuando se cierra el circuito.

  Solución:  Aplicando la ley de Ohm al circuito RCL cerrado, se tiene:

  En este caso podemos expresar , con lo que la ley de Ohm nos queda:

Si la transformada de i(t) la denotamos como I(s), y recordando por 14.4 II) que la transformada de la integral de i(t) es:

podemos tomar transformadas en ambos miembros:

y la solución se obtiene de obtener las transformadas inversas:

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada. 

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.
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Definición de la Transformada

Sea f una función definida para  , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge
Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
   1. De orden exponencial
   2. Continua a trozos

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Definición de la Transformada Inversa

La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir

si es que acaso

Esta definición obliga a que se cumpla:

y
 

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Tabla de Transformadas

1. Obtención
   
   
2. Obtención
   
   
3. Obtención
   
   
4. Obtención Para n entero
   : 
   
5. Obtención Para 
   
   Nota sobre la función Gamma. 
6. Obtención Para s > a
   
   
7. Obtención
   
   
8. Obtención 
   
9. Obtención 
   
10. Obtención 
    

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Existencia de la Transformada

Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para  de una función cualquiera:

1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo 
2. Ser de orden exponencial 

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Propiedades de la Transformada

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.
Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications

1. Linealidad (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
   
   

   Idea
   La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

   
   Versión para la inversa:
    
2. Primer Teorema de Traslación (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
   
   donde
   
   

   Idea
   La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

   Versión para la inversa:
    
3. Teorema de la transformada de la derivada (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
   

   Idea
   La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

4. Teorema de la transformada de la integral (Ejemplos,Ir a índice )
   
   
5. Teorema de la integral de la transformada (Ejemplos,Ir a índice )
   
   Siempre y cuando exista
   
   
6. Teorema de la derivada de la transformada (Ejemplos,Ir a índice )
   
   
7. Transformada de la función escalón (Ejemplos,Ir a índice )
   

   Si  representa la función escalón unitario entonces
   
   

8. Segundo teorema de Traslación (Ejemplos,Ir a índice )
   
   
9. Transformada de una función periódica (Ejemplos,Ir a índice )
   

   Si f(t) es una función periódica con período T:
    

Teorema de la Convolución (Ejemplos, Ir a índice)

Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces
 

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Técnicas para la Transformada Inversa

1. Separación de Fracciones,ejemplos
2. Primer Teorema de Traslación,ejemplos
3. Fracciones Parciales,ejemplos
4. Segundo Teorema de Traslación,consulte este documento
5. Convolución,ejemplos

Mas ayuda? Ir a una pagina de transformadas inversas 
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Método de Solución A ED basado en Laplace 

Pasos

1. Aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ED
2. Usar las propiedades de la transformada para tener una expresión en L{y(t)}. Esta expresión se conoce como la Ecuacion Característica
3. Aplicar la transformada inversa de Laplace para despejar y(t)

Ejemplos

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Sistemas Masa-Resorte 
Ejemplos
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Circuitos RLC 
Ejemplos
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DEDUCCIONES DE FÓRMULA

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La razón principal por la cual las demostraciones de las pruebas son incluidas es que hacen uso del teorema de la transformada de la derivada, haciéndolas sencillas y breves. 

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Deducción de : 
 
En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función 
 
y por consiguiente 
 
y al aplicar el teorema nos queda: 
 
de donde : 
 
Por tanto 
 
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Ir a la tabla de transformadas

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Deduccion de : 
 
En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función 
 
y por consiguiente 
 
y al aplicar el teorema nos queda: 
 
de donde y utilizando la obtención 1: 
 
Por tanto 
 
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Ir a la tabla de transformadas

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Deduccion de : 
 
En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función 
 
y por consiguiente 
 
y al aplicar el teorema nos queda: 
 
de donde y utilizando la obtención 2 y la linealidad de la transformada: 
 
Por tanto 
 
Ir a índice
Ir a la tabla de transformadas

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Deducción de : 
 
En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función 
 
y por consiguiente 
 
y al aplicar el teorema nos queda: 
 
de donde y utilizando un razonamiento inductivo: 
 
Por tanto 
 
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Ir a la tabla de transformadas

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Deducción de : 
 
En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función 
 
y por consiguiente 
 
y al aplicar el teorema nos queda: 
 
de donde: 
 
Por tanto y despejando  : 
 

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Ir a la tabla de transformadas

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Deducción de : 
 
En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función 
 
y por consiguiente 
 
y al aplicar el teorema nos queda: 
 
de donde: 
 
Por otro lado, si ahora utilizamos el mismo teorema de la transformada de la derivada pero usando la función 
 
y por consiguiente 
 
y al aplicar el teorema nos queda: 
 
Si resolvemos este sistema de ecuaciones simultaneas en  y  obtenemos las fórmulas deseadas. 
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APENDICES

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Apéndice: La Función Escalón Unitario 
La función Escalón Unitario en a es la función simbolizada como  ó  y definida como:

Es decir, es una función que vale 0 y justo en después del instante t=a la función se activa y su valor cambia a uno. El efecto es el de un switch que está abierto y justo en el instante t=a se cierra.
La gráfica de la función escalón queda de la siguiente forma:

La función puede ser combinada para construir funciones seccionadas como se ilustra en los ejemplos. 
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Ir a Teorema 7

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Apéndice: Función Periódica 
Una función Periódica es una función que se repite. El período de la función es el mínimo intervalo de tiempo donde la función no se repite. 
Matemáticamente una función es periodica con período T es una función f(t) que cumple:

 
Dicho en terminos simples, lo que es o pasa con la función en el intervalo describe o determina totalmente a la función. 
Gráficamente una función periódica queda

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Apéndice: Convergencia de una Integral 
Una integral del tipo

 
es una Integral Impropia del tipo I, se dice que ella converge si existe el límite

 
Es decir se sustituye el infinito por una nueva variable; se calcula la integral definida, y al resultado se le aplica el límite cuando la variable nueva tiende al infinito. 
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Apéndice: Continuidad a Pedazos 
Para motivos prácticos puede pensar a una función así como una función seccionada continua en cada una de las secciones pero que posiblemente no es continua en los puntos donde se unen dichas secciones. Los problemas que tiene la función son puntos aislados; no intervalos.
Estas funciones tienen graficas similares a:

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Apéndice: Función de Orden Exponencial 
Una función f(t) se dice de orden exponencial  si acaso existe una constante positiva M y un número T que cumplan:

Lo que establece la condición es que la función f(t) no crece mas rápido que la función exponencial en el intervalo  
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Ir a la definición de la transformada

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Apéndice: Función Gama de Euler
Esta función, que es una de las funciones mas importantes de la matemática, se define como: 
 
Para enteros positivos se cumple que: 
 
Por lo que esta función puede ser vista como la generalizcación de la función factorial. 
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Apéndice: Convolución entre dos funciones
La convolución entre las funciones f(t) y g(t) es una nueva función de t definida como : 
 
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Ir al teorema 10

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Demostraciones

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Teorema 

Sean f(t) y g(t) dos funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, y a y b dos constantes.
Entonces

Demostración
Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos: 
 
Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites: 
Recordando la definición de la transformada para f(t) y para g(t): 
  
Ir a: índice, Propiedades, Propiedad de Linealidad. 

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Teorema 

Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, y a una constante.
Entonces para s > a:

Siendo

Demostración
Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos: 
 
Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites: 
 
Agrupando las funciones exponenciales: 
 
Si ahora hacemos el cambio de variable S=s-a lo anterior queda: 
 
Este segundo miembro coincide con la transformada de laplace de la función f(t) en la variable S siempre y cuando S > 0 , es decir siempre que s-a > 0, es decir s > a. Resumiendo 
 
Donde 
 
Si encadenamos esta serie de igualdades 
  
Ir a: índice, Propiedades, Traslación eje s. 

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Teorema

Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, cuya derivada también es así.
Entonces

Demostración
Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos: 
 
Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites: 
 
Integrando por partes y tomando: 
 
por tanto: 
 
y la integral anterior nos queda: 
 
Avanzando en los cálculos del segundo miembro: 
 
Asi: 
 (Ec.I) 
Como la función f(t) es seccionalmente continua y de orden exponencial: 
 
y además 
 
Por tanto la ecuación (I) queda: 
 
Y por consiguiente: