AMIGOS PARA SIEMPRE: El Potencial Electrodinámico

EL VECTOR DE POYNTING

Vector de Poynting

El vector de Poynting lo obtenemos multiplicando vectorialmente los campos eléctrico y magnético

$\mathbf{N}=\frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{\mu_0} = \frac{E_0^2}{\mu_0c}\cos^2(\omega t - k z)\mathbf{u}_z$

En esta onda, la dirección del flujo de energía es la de avance de la onda.

6 Promedio del vector de Poynting

Operando de forma análoga a como lo hicimos con la densidad de energía obtenemos

$\langle\mathbf{N}\rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}\mathbf{u}_z$

Vemos que el vector de Poynting, como la densidad de energía, es proporcional al cuadrado del campo eléctrico. Podemos establecer la proporcionalidad entre los dos promedios

$\langle \mathbf{N}\rangle = \langle u_\mathrm{em}\rangle\,c\mathbf{u}_z$

El flujo de energía es igual a la densidad de energía multiplicada por una velocidad, denominada velocidad de grupo, que puede ser interpretada como la velocidad con la que avanza la energía, y que en este caso es igual, en módulo, a la velocidad de la luz, como cabía esperar.

EL VECTOR DE POYNTING

Describe el ritmo de flujo de energía por unidad de área que transporta una onda electromagnética, es decir, la densidad superficial de potencia del campo electromagnético.

Partiendo de la primera ecuación de Maxwell en la forma diferencial (la ley de Faraday), y multiplicándola por E, se obtiene la siguiente ecuación:

E . rot H = E . G + E . d_t (1)

Donde d_t es la derivada parcial respecto al tiempo de D.

Ahora se toma la segunda ecuación de Maxwell en la forma diferencial (la ley de Ampere), y al multiplicarla por H, se obtiene la siguiente ecuación:

H . rot E = - ( H . b_t) (2)

Donde b_t es la derivada parcial respecto al tiempo de B.

Restando las ecuaciones (1) y (2), se llega a la expresión siguiente:

E . rot H - H . rot E = E . G + E . d_t + H . b_t

Si F(z, t) = ½ E . D + ½ H . B, entonces:

E . rot H - H . rot E = E . G + ¦ _t(z, t) (3)

Del álgebra vectorial se obtiene que

- div (E x H) = E . rot H - H . rot E

donde g = E x H es el vector de Poynting. Como puede observarse, g es un vector ortogonal tanto a E como a H, además, la dirección en que la onda transporta la energía define su dirección de propagación.

El primer término del segundo miembro de la igualdad (3) se conoce como la densidad de la pérdida de potencia y se representa por "p_v".

De la electrostática se obtuvo que D = x E y de la magnetostática se tiene que B = m H, entonces, el segundo término puede escribirse como

¶ ¤ ¶ t { (½) x |E|² + (½) m |H|²} = ¶ ¤ ¶ t { w_e + w_m }

Donde w_e es la densidad de energía eléctrica del campo y w_m es la densidad de energía magnética.

Por lo tanto, la ecuación (3) puede ser expresada de la siguiente manera:

-div g = p_v+ ¶ ¤ ¶ t { w_e + w_m } (4)

Considérese ahora la figura que se muestra a continuación:

La superficie F encierra un volumen v y es atravesada por un flujo de energía transportada por un campo electromagnético.

De la ecuación (4) se obtiene para todo el volumen v la siguiente expresión:

- ò ò ò _v div g dv = ò ò ò _v p_vdv + ¶ ¤ ¶ t [ ò ò ò _v { w_e + w_m } dv ] (5)

el primer término del segundo miembro de la igualdad (5) es la potencia de pérdidas y se representa por P_v, es decir:

P_v = ò ò ò _v p_vdv

El segundo término del mismo miembro de la igualdad puede ser expresado de la siguiente forma:

D_t ò ò ò _v { w_e + w_m } dv = ¶ ¤ ¶ t [ ò ò ò _v w_e dv ] + ¶ ¤ ¶ t [ ò ò ò _v w_m dv ] = ¶ ¤ ¶ t W_e+ ¶ ¤ ¶ t W_m

Donde W_e es la energía eléctrica almacenada en el campo y W_m es la energía magnética.

Del teorema de Gauss, puede deducirse que

este término representa a la potencia transportada a través de la superficie periférica F del volumen v.

Ahora la ecuación (5) puede expresarse de la siguiente manera:

esta expresión indica que la potencia de pérdidas más la potencia que se transporta es igual a la disminución en el tiempo de la energía total dentro del volumen v. Es decir, la disminución de la energía total dentro del volumen v es equivalente a la suma de las pérdidas de potencia y la potencia transportada a través de la superficie de contorno del volumen cerrado v.

Las ondas electromagnéticas portan energía cuando viajan a través del espacio vacío. Hay una densidad de energía asociada con ambos campos eléctrico y magnético. La tasa de transporte de energía por unidad de área es descrita por el vector

que se llama vector de Poynting. Esta expresión es un producto vectorial, y puesto que el campo magnético es perpendicular al campo eléctrico, la magnitud puede ser escrita como

La tasa de transporte de energía S es perpendicular a E y B y en la dirección de propagación de la onda. La condición de la solución de onda para una onda plana es B_m = E_m/c, de modo que la intensidad media de una onda plana puede ser escrita

Esto hace uso del hecho de que el promedio del cuadrado de una función sinusoidal sobre un número entero de períodos es exactamente 1/2.

vector de Poynting al vector cuyo módulo representa la intensidad instantánea de energía electromagnética que fluye a través de una unidad de área perpendicular a la dirección de propagación de la onda electromagnética, y cuyo sentido es el de propagación. Recibe su nombre del físico inglés John Henry Poynting. Se expresa mediante el símbolo

\vec{S}

El vector de Poynting puede definirse como el producto vectorial del campo eléctrico y elcampo magnético, cuyo módulo es la intensidad de la onda:

$\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} = \frac{1}{\mu} \vec{E} \times \vec{B}$

donde:

$\vec{E}$ representa el campo eléctrico
$\vec{H}$ la intensidad del campo magnético
$\vec{B}$ el campo de inducción magnética, siendo $\mu$ la permeabilidad magnética del medio. Su unidad en SI es el vatio/m².

Dado que los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética oscilan con la frecuencia de la onda, la magnitud del vector de Poynting cambia en el tiempo. El promedio del vector de Poynting sobre un período muy superior al periodo de la onda es llamadoirradiancia, I:

$I = \left \langle S \right \rangle_T$

La irradiancia representa el flujo de energía asociado a la radiación electromagnética en la dirección perpendicular a su dirección de propagación.

Radiación de un dipolo eléctrico vertical en la página que muestra la fuerza del campo eléctrico (color) y el vector de Poynting (flechas) en el plano de la página.

Una onda cualquiera, que se propaga por un medio elástico, en el sentido positivo del eje de las x se puede describir por ψ (x,t)=ψ₀sin (ωt-kx)
k=2π/λ (número de ondas)
ω =2πν (frecuencia angular o pulsación)
v=λν (velocidad de propagación)
(Si la onda se propagase en el sentido negativo del eje de las x la ecuación sería ψ (x,t)=ψ₀sin (ωt-kx) )
forma onda

Las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz (c): velocidad luz

En realidad una onda electromagnética consta de un campo eléctrico (E) y uno magnético (B) en fase y perpendiculares entre si y a la dirección de propagación.
propagación campos

En el caso de la figura: ecuaciones

La dirección de propagación de la onda electromagnética la da el vector de Poynting: vecotr Poynting

, vector que siempre será perpendicular a E y a B.
En el caso de la figura: direccion de los vectores

La intensidad o cantidad de energía de una onda electromagnética transmite por unidad de área y unidad de tiempo es: energía transmitida

Ejemplo OE1
¿Cuáles son las ecuaciones de los campos eléctrico y magnético de una onda plana que viaja en el sentido negativo del eje de las z y que está polarizada en la dirección de y, si su frecuencia es ν y la amplitud del campo eléctrico es E₀?
Como viaja en el sentido negativo del eje de las z y está polarizada en la dirección de y: solución OE1

, para encontrar la dirección y sentido de B se hace servir la relación: vector Poynting

, obteniéndose:
dibujo OE1

Ejemplo OE2
El campo electromagnético de una onda que se propaga por el aire es:

Encontrar:
a) el sentido de propagación de la onda
b) la longitud de onda
c) la expresión del campo eléctrico
d) la energía por unidad de tiempo y de área que transporta
e) la energía transportada a través de una superficie de 3 m² durante 2 h
a) se propaga hacia la parte negativa del eje x
b) solución OE2

c) usando la definición del vector de Poynting:
dibujo OE2

Ejemplo OE3
El campo magnético de una onda electromagnética viene dado por:

, determinar la expresión vectorial del campo eléctrico.
solución OE3

Ejemplo OE4
El campo magnético de una onda electromagnética viene dado por:
enunciado OE4

,¿cómo colocaríamos una espira circular de alambre para usarla como antena detectora en este campo?, ¿qué voltaje se puede inducir en la espira de radio r situada a una distancia d del emisor?.
Se debe colocar la espira con su plano perpendicular a B
dibujo Oe4