AMIGOS PARA SIEMPRE: Apuntes de matemáticas

integrales

Integrales racionales (Método general)

Se trata de integrales en la forma de fracción:

donde p(x) y q(x) son polinomios de cualquier grado. En caso de que el grado de p(x) sea mayor que el grado de q(x) efectuaremos la división, con lo que obtendremos:

en donde E(x) es un polinomio (siendo su integral inmediata) y la siguiente integral cumple el requisito de que el grado del numerador, r(x), es inferior al grado del denominador, q(x).

MODO DE RESOLUCIÓN:

Un teorema algebraico asegura que una fracción polinómica del tipo p(x)/q(x) puede siempre descomponerse como suma de fracciones simples.Para obtener estas fracciones simples, en primer lugar se hallan las raíces tanto reales como complejas del denominador q(x), es costumbre colocar estas raíces en una tabla de la siguiente manera:

Observaciones: Las raíces reales son números reales de la forma a,b,... y en la descomposición polinómica en factores dan origen a factores de la forma (x - a), (x-b),... Los grados de multiplicidad de estos factores son los exponentes a los que ellos van elevados, según la tabla de arriba tendríamos una descomposición en factores:

Al mismo tiempo, las raíces complejas apareceen como parejas de complejos conjugados en la forma a ± b i, con a, b reales, para cada una de estas raíces el factor en la descomposición viene dado por

(x - a)² + b²,

y de la misma forma el grado de multiplicidad, nab, es el exponente al que va elevado el factor, así tendriamos:

en definitiva, el polinomio del denominador q(x) siempre puede descomponerse como un producto de factores irreducibles:

Pues bien, el teorema algebraico afirma que la fracción p(x)/q(x) puede descomponerse en suma de fracciones simples, de la forma:

Donde las A, B, M, N, R, S,... son coeficientes numéricos que pueden determinarse de una manera bastante simple.

Pasemos a ver algunos ejemplos:

Ejemplo 15: Hallemos la integral,

Solución: Esta integral es racional, p(x)/q(x), con el grado de p(x) inferior al de q(x), por tanto podemos descomponer la fracción en suma de fracciones simples. Para ello, en primer lugar, descomponemos el denominador en fracciones irreducibles: x⁴ - x³ = x³ (x - 1), lo que nos permite establecer la tabla:

Raíces factores grd. mult.0 x 31 (x-1) 1

En este caso no hay ninguna raíz compleja. La descomposición en fracciones simples es de la siguiente forma:

Para determinar los parámetros numéricos A, B, C y D, hacemos el común denominador del miembro de la derecha:

Ahora en la igualdad se cancelan los denominadores en ambos miembros, y podemos poner:

2 x³ - 7 x² + 9 x - 5 = A x² (x-1) + B x (x -1) + D x³

o lo que es lo mismo:

2 x³ - 7 x² + 9 x - 5 = (A + D) x³ + (B - A) x² + (C - B) x - C

finalmente se identifican los coeficientes de ambos miembros:

cuya solución es A=3, B=-4, C=5, D=-1. Por lo tanto tenemos que:

y la integral puede ahora expresarse en la forma más simple:

Ejemplo 16: Hallemos la integral,

Solución: Esta integral es racional, con el grado de p(x) inferior al de q(x). El polinomio del denominador puede descomponerse en factores así:

x³ - x² - x - 2 = (x - 2) (x² + x + 1)

El primer factor es real, mientras que el segundo es complejo, su raíz es:

ambos factores son de grado de multiplicidad 1. Por tanto la descomposición en este caso es:

Observe que en el numerador de los factores complejos hay dos constantes M y N, frente a una de los factores reales.

ahora hacemos el común denominador en el miembro de la derecha, y cancelamos los dos denominadores idénticos:

x - 4 = A (x² + x + 1) + (Mx + N) (x - 2)

o sea, x - 4 = (A + M) x² + (A - 2M + N) x + (A - 2N), que identificando los coeficientes:

Por lo tanto:

y ahora tenemos que realizar dos integrales simples. La primera de ellas es igual a ln|x-2|, mientras que la segunda la hacemos a continuación:

En el primer sumando hemos expresado la derivada del denominador, por tanto su integral será ln|x²+x+1|, mientras que el segundo sumando lo podemos expresar:

(haciendo x+½ = t, y consultando la tabla de integrales inmediatas -forma extensa- ).

Ejercicios para el alumno:

Integrales racionales (Método de Hermite)

El método de Hermite es también para integrales en la forma de fracción:

donde el grado de p(x) es inferior al grado de q(x). Suele utilizarse cuando el grado de multiplicidad de los factores es alto, sobre todo el de los factores complejos, lo que en el caso del método general nos obliga a realizar integrales extremadamente largas.

Al igual que en el método general, en el método de Hermite se comienza por descomponer en factores irreducibles el polinomio q(x):

Entonces según la fórmula de Hermite se tiene:

donde

es el polinomio formado por los mismos factores que q(x) pero elevados todos a un grado menos, es decir:

mientras que

es un polinomio con coeficientes indeterminados y de grado inferior en 1 al grado de

. (Observe que en el método de Hermite, los factores dentro de las integrales siempre vienen elevados a 1, lo cual facilita mucho la integración. Lo que se convierte en más laborioso es el cálculo de todos los coeficientes indeterminados)

Ejemplo 17: Hallemos por el método de Hermite la integral:

Solución: El denominador q(x) ya aparece descompuesto en factores:

ahora restando 1 al exponente de cada factor hallamos

(x - 2) elevado a 0 equivale a la unidad, por tanto,

es un polinomio de grado 3, lo que significa que

ha de ser un polinomio de grado 2 (inferior en 1 al grado de

, como se ha dicho):

De esta manera la fórmula de Hermite para esta integral es:

y ahora sólo nos queda determinar los coeficientes indeterminados A, B, C, D y E. Para ello se derivan ambos miembros, teniendo en cuenta que la derivada de una integral es la función integrando:

A continuación ponemos el denominador común en el miembro de la derecha, ese denominador debe coincidir siempre con el del miembro de la izquierda. Estos denominadores se cancelan:

En esta expresión podemos ir dando distintos valores a x, por ejemplo, si x=2 obtenemos inmediatamente E = 7. Sucesivamente consideramos los valores x=0, x=1, x=-1, x=3, nos resultan las ecuaciones:

que junto a E=7, forman un sistema cuya solución es:

A = 7, B = -21/2, C = 31/6, D = 7, E = 7.

Por lo tanto la integral buscada es:

Ejemplo 18: Hallemos por el método de Hermite la integral:

Solución: El denominador q(x) ya aparece descompuesto en factores (observe que el segundo factor es complejo), por tanto restando 1 a cada exponente obtenemos:

es un polinomio de grado 2, y la integral puede ser expresada así:

Ahora derivamos ambos miembros:

A continuación, pondríamos denominador común en el miembro de la derecha, obtendríamos un sistema con los coeficientes, etc., etc. Se puede comprobar que estos coeficientes tienen los valores:

A = -1/4, B = 0, C = 1/4, M = -1/4, N = -3/4.

Por lo tanto,

la primera integral del miembro de la derecha es ln |x|, mientras que la segunda la hacemos abajo:

y en la última integral hacemos x+1= t, y según la tabla de integrales, comprobamos que se trata del arctg x. En definitiva:

Ejercicios para el alumno:

El alumno deberá comprobar los resultados de las dos integrales siguientes:

Integrales de radicales (Parte I)

Se trata de hallar integrales de funciones en las que parezca una raiz cuadrada bien en el numerador o en el denominador. Estudiaremos seis de los principales casos:

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5

CASO 6

* * *

Para ello es necesario previamente conocer el resultado de dos integrales, las de: sen² x , cos² x (siga el vínculo para verlas):

y ahora hacemos el cambio x/a = sen t , con lo que dx = a cos t dt. y la integral se convierte en:

cuyo resultado lo tenemos arriba, por lo tanto:

[1]

Para deshacer el cambio tener en cuenta que t = arcsen (x/a), y cos t = (1 - (x/a)²)^(½).

y ahora hacemos el cambio x/a = senh t , con lo que dx = a cosh t dt.

tengase en cuenta que 1 + senh² x = cosh² x. Ahora debemos considerar el resultado de la integral:

(vease el vínculo) por lo tanto:

[2]

* * *

Estas integrales, en ocasiones pueden expresarse en una de las dos formas siguientes:

si éste es nuestro caso, entonces sólo tenemos que hacer la sustitución:

, con lo que la integral pasa a ser del caso anterior, es decir, se halla según [1] ó [2].

Ejemplo 19: Hallemos la integral:

Solución: el polinomio de segundo grado del radicando puede expresarse en la forma (i):

ahora hacemos el cambio: (x - 1) = t, dx = dt, y luego consideramos [1]:

Ejemplo 20: Hallemos la integral:

Solución: el polinomio de segundo grado del radicando puede expresarse en la forma (ii):

hacemos el cambio (x - 5) = t, dx = dt, y consideramos [2]:

Pero [ATENCIÓN]: No en todas las integrales radicales del caso 2 pueden expresarse de estas maneras. Veamos por ejemplo la integral:

podríamos intentarlo, pero a todo lo más que podemos llegar es:

que no es ni el caso (i) ni el (ii), pues en ambos tenemos +a², con signo positivo. Para estos casos están establecidos los cambios siguientes:

estos cambios la transforman en una integral racional en la forma

Ejemplo 21: Hallemos la integral:

Solución: En este caso tenemos a > 0, en concreto a=1, por lo que según (b):

ahora elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad, con lo que desaparece la raíz y además se cancelan los terminos x² (éste es el objetivo de tan extraña sustitución

entonces la inegral queda:

finalmente se ponen las integrales inmediatas resultantes, y después no olvidemos sustituir el verdadero valor de t que en nuestro caso es:

* * *

Algunos ejercicios para el alumno:

Integrales de radicales (Parte II)

En este caso la integral siempre puede ser expresada de una de las tres formas:

sin más que hacer el cambio correspondiente y consultar la tabla de integrales.

Ejemplo 22: Hallemos la integral

Solución: En primer lugar extraemos el coeficiente de x², o sea el 2, del radical con lo que la integral puede realizarse:

Donde pn(x) es un polinomio de grado n. Este tipo de integrales se realiza por el llamado "método germany" (o método alemán) que consiste en expresar la integral en la forma:

siendo qn-1(x) un polinomio de grado (n-1) con coeficientes indeterminados, así como l es otro coeficiente a determinar. Una vez determinados estos coeficientes, la integral a realizar es una integral del caso 3.

Ejemplo 23: Hallemos la integral

Solución: En este caso, el polinomio del numerador es (x^²), que es de grado 2, por lo tanto el polinomio qn-1(x) será un polinomio de grado 1: qn-1(x) = A x + B. Entonces:

Para determinar los coeficientes A, B y l lo hacemos como en el método de Hermite, es decir, derivando ambos miembros:

a continuación en el miembro de la derecha ponemos denominador común,

, y cancelamos estos denominadores:

2 x² = 2 A (x² - x + 1) + 2 Ax² + (2 B - A) x - B + 2l

De aquí podemos sacar el sistema:

Por lo tanto:

y ahora la integral del segundo término es del caso 3:

, o sea,

y el resultado final es:

El alumno puede realizar los siguientes ejercicios:

Para este caso el cambio x ± a = 1/t la transforma en una integral del caso 4.

Ejemplo 24: Hallemos la integral:

Solución: Hacemos la sustitución habitual, llamando al binomio del denominador 1/t:

ahora simplemente sustituimos y simplificamos:

la integral resultante es una integral del caso 4:

que la hacemos por el método aleman, como en el ejemplo 23:

los coeficientes resultan ser:

por lo tanto:

ahora sustituiríamos t por su valor: 1/(x-2).

El alumno puede realizar los siguientes ejercicios:

Estas integrales se transforman directamente a integrales racionales con el cambio:

Ejemplo 25: Hallemos la integral

Solución: sin más, hacemos el cambio:

ahora despejamos x:

y sustituimos:

finalmente deberíamos sustituir t por su valor.

Integrales binómicas

Se trata de integrales de la forma:

que incluye integrales de raíces cuadradas (p = 1/2), de raíces cúbicas (p = 1/3), etc.. Nosotros por comodidad al referirnos a ellas, vamos a hablar de dos tipos:

Obsérvese que las integrales de tipo I son las de tipo general pero con a=b=n=1. Toda integral binómica tipo general debe ser transformada abinómica tipo I para ser integrada.

En concreto, toda integral binómica tipo general se convirte en tipo I con el cambio:

b xⁿ = a t

Esto lo vamos a ver con un ejemplo, tranformemos a tipo I la integral:

para ello hacemos el cambio:

ahora despejamos x y hallamos dx:

y sustituimos en la integral:

donde hemos extraido un 2 del parentesis (2 + 2t)¹/², la integral es de tipo I.

* Forma de integrar una integral binómica tipo I.

Se procede según los exponentes a y b sean números enteros o no , de acuerdo a los tres casos:

i) b: entero. Entonces se desarrolla el binomio de Newton,

y se desarrolla en integrales inmediatas.

ii) b=p/q (no entero), a: entero. En este caso se utiliza el cambio:

siendo el exponente de z el denominador del cociente p/q.

iii) b=p/q (no entero), a: no entero, pero a + b: entero, en este caso se multiplica y divide a la integral por

, entonces ésta puede ser expresada:

y a continuación se realiza el cambio:

siendo el exponente de z, al igual que ántes, el denominador del cociente p/q.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 26: Hallemos la integral indefinida:

Solución: Se trata del ejemplo que hemos comenzado anteriormente, y que como hemos dicho, con el cambio

, queda transformada en integral tipo I:

Esta integral tiene la forma del caso (ii) b=1/2 (no entero), a=2 (entero), por lo tanto el cambio indicado es:

1 + t = z²

es decir,

, con lo que la integral se convierte en inmediata:

finalmente sustituiremos el valor de z, y en éste el valor de t:

Ejemplo 27: Hallemos la integral indefinida:

Solución: Se trata de una integral que podemos expresar en la forma

en la que claramente se ve que es binómica tipo general, con m=-4, n=½, p=-½. Para transformarla en tipo I hacemos el cambio:

lo que conduce a:

integral binómica tipo I, en la que tanto a como b son no enteros pero a + b es -3, entero (el signo es indeferente), y por tanto la podemos hacer según el caso (iii):

como b=-1/2, lo primero que hacemos es multiplicar y dividir al integrando por t^-1/2, es decir:

ahora realizamos el cambio:

con lo que la integral resultante es:

finalmente debemos sustituir el valor de z y el correspondiente a t, y el resultado es:

* * *

Algunos ejercicios que puede realizar el alumno:

Integrales trigonométricas

Se trata de integrales en la que aparecen las funciones trigonométricas: sen x, cos x, tan x. Estas funciones pueden aparecer dentro de una expresión racional P/Q, para este caso hay una cambio siempre válido, es el llamado cambio general que las transforma en integrales racionales.

CAMBIO GENERAL:

Según esto para expresar el seno y el coseno como funciones de t, podemos considerar:

expresiones que se obtienen de: sen 2A = 2 sen A cos A; cos 2A = cos²A - sen²A, haciendo 2A = x. Con lo cual, podemos poner:

Ejemplo 28: Hallemos la integral,

Solución: Haciendo el cambio general, tan x/2 = t, no tenemos más que sustituir directamente,

para transformarla en racional:

Finalmente debemos sustituir el valor de t:

El alumno puede practicar con este método general haciendo los siguientes ejercicios:

* * *

Las integrales trigonométricas que estamos viendo suelen ser expresadas en los libros como:

, donde por R nos referimos a una expresión racional. Ahora vamos a ver que ciertas integrales de la forma:

, en las que aparece sen x ó cos x multiplicando a dx aunque pueden ser hechas por el método general, suele ser más fácil realizarla por una simple sustitución: sen x = t ó cos x = t. Como en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 29: Hallemos la integral,

Solución: Realizamos el cambio indicado,

con lo que nos queda:

una integral racional cuyo resultado es:

El alumno puede practicar (utilizando el cambio general o éste visto aquí) las integrales:

* * *

CAMBIO ALTERNATIVO:

En ocasiones nos aparecen integrales en las que (1) aparece la función tangente y/o (2) aparecen las funciones seno y coseno elevadas apotencias pares, en estos casos conviene realizar un cambio que llamaremos "trigonométrico alternativo":

Apoyándonos en una circunferencia trigonométrica, cuyo radio es 1, hacemos el cambio:

Por la gráfica, observamos un triángulo rectángulo cuyos catétos miden 1 y t (el segmento rojo es latangente de x), entonces la hipotenusa es la raiz de estos valores al cuadrado. Entonces podemos poner:

con este cambio las integrales trigonométricas se convierten a racionales, pero se exige que en ellas el seno y al coseno estén elevados a potencias pares para que al sustituir desaparezcan los radicales del denominador.

Ejemplo 30: Hallemos la integral,

Solución: Como aparece sólo la función tangente hacemos este cambio alternativo: tg x = t

finalmente en t sustituimos tg x.

Ejemplo 31: Hallemos la integral,

Solución: En esta integral aparece tg x y la función sen x elevada a una potencia par, por tanto puede ser adecuado este cambio, tg x = t, x = arc tg t: