Apuntes de óptica

Optica paraxial

Espejo esférico cóncavo

Vamos a calcular la posición s’ y tamaño h’ de la imagen producida por un espejo esférico cóncavo de radio r, de un objeto de altura h situado a una distancia s del origen.
La imagen se produce en la intersección del rayo reflejado y del rayo que pasa por el centro del espejo. Se trata de la intersección de dos rectas cuyas ecuaciones vamos a calcular seguidamente.
En primer lugar, establecemos el origen en O y tomamos como positivo el eje X hacia la izquierda.

Como vemos en la figura, el rayo incidente y el rayo reflejado forman un ángulo θ con la dirección radial (normal a la superficie).

• El rayo reflejado parte del punto x₁=r(1-cosθ), y₁=r·sinθ, y forma un ángulo con el eje X de 180-2·θ.
  La ecuación de la recta es, y=ax+b, donde a es la pendiente (tangente del ángulo que forma con el eje X) y bla ordenada en el origen.
  y=-tan(2θ)·x+b, el parámetro b se determina de la condición de que la recta pasa por el punto (x₁, y₁)
  y1=-tan(2θ)·x1+b
  y=-tan(2θ)·x+ r·sinθ+r·tan(2θ)·(1-cosθ)
  El valor del ángulo θ es sinθ=h/r
• El segundo rayo corresponde a una recta que pasa por el centro de coordenadas x₁=r, y₁=0 y que forma un ángulo α con el eje X.
  La ecuación de esta recta es
  y=tanα·x-r·tanα
  El valor del ángulo α es tanα=h/(s-r)
• Despejamos x en el sistema de ecuaciones
  x=r(tanα+sinθ+tan(2θ)⋅(1−cosθ))tanα+tan(2θ)${\displaystyle x=\frac{r\left(\tan \alpha +\sin \theta +\tan (2\theta )·(1-\cos \theta )\right)}{\tan \alpha +\tan (2\theta )}}$
  Esta es la posición s’ de la imagen y su tamaño h’ se calcula tomado cualquiera de las ecuaciones de las dos rectas
  h’=tanα·s’-r·tanα

Objeto: Posición, s=20, tamaño, h=2
Radio del espejo esférico, r=10

Calculamos los ángulos

tanα=220−10=0.2  sinθ=210 θ=11.5

Aproximación paraxial

La figura muestra la trayectoria de dos rayos de luz que parten del punto P (objeto) y después de reflejarse en el espejo esférico de radio r, convergen en el punto P’ (imagen). Uno de los rayos es paralelo al eje horizontal y el otro rayo pasa por el centro del espejo, es normal a su superficie.
Queremos obtener una ecuación que relacione la posición del punto imagen s’ con la del punto objeto s.
En la figura vemos que β=α+θ y que γ=α+2θ
Eliminando el ángulo θ en las dos ecuaciones, tenemos γ=2β-α
Con las aproximaciones

tanα≈α=ds  tanγ≈γ=ds'${\displaystyle \tan \alpha \approx \alpha =\frac{d}{s}\tan \gamma \approx \gamma =\frac{d}{s\text{'}}}$

El segmento d podemos suponer que es un arco de radio r y ángulo de apertura β, por lo que d=r·β

ds'=2dr−ds1s+1s'=2r${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d}{s\text{'}}=2\frac{d}{r}-\frac{d}{s}\\ \frac{1}{s}+\frac{1}{s\text{'}}=\frac{2}{r}\end{array}}$

Esta es la ecuación que relaciona las distancias del objeto y la imagen con el radio de curvatura del espejo esférico.

Se define aumento m como el cociente entre el tamaño de la imagen y’ y la del objeto y. m=h’/h. Utilizando la relación de semejanza entre los dos triángulos

h'h=−s's${\displaystyle \frac{h\text{'}}{h}=-\frac{s\text{'}}{s}}$

El signo negativo indica que P y P’ están en lados opuestos al eje X

Superficie esférica convexa

Vamos a calcular la posición s’ y tamaño h’ de la imagen producida por una superficie esférica convexa de radio rque separa dos medios de distinto índice de refracción n₁ y n₂, de un objeto de altura h situado a una distancia sdel origen.

La imagen se produce en la intersección del rayo refractado y del rayo que pasa por el centro de la superficie esférica. Es la intersección de dos rectas cuyas ecuaciones vamos a calcular seguidamente.
En primer lugar, establecemos el origen en O y tomamos como positivo el eje X hacia la derecha.

Como vemos en la figura, el rayo incidente forma un ángulo θ₁ y el ángulo reflejado forma un ángulo θ₂ con la dirección radial (normal a la superficie). De acuerdo con la ley de Snell de la refracción, n₁·sin θ₁ =n₂·sinθ₂

• El rayo refractado parte del punto x₁=r(1-cosθ₁), y₁=r·sinθ₁, y forma un ángulo con el eje X de 180-(θ₁- θ₂)
  La ecuación de la recta es,
  y=-tan(θ₁- θ₂)·x+b, el parámetro b se determina de la condición de que la recta pasa por el punto (x₁, y₁)
  y₁=-tan(θ₁- θ₂)·x₁+b
  y=-tan(θ₁- θ₂)·x+ r·sinθ₁+r·tan(θ₁- θ₂)·(1-cosθ₁)
  El valor del ángulo θ₁ es sinθ₁=h/r
• El segundo rayo corresponde a una recta que pasa por el centro de coordenadas x₁=r, y₁=0 y que forma un ángulo 180-α con el eje X.
  La ecuación de esta recta es
  y=-tanα·x+r·tanα
  El valor del ángulo α es tanα=h/(-s+r), el signo de s es negativo ya que está a la izquierda del origen.
• Despejamos x en el sistema de ecuaciones
  x=r(−tanα+sinθ1+tan(θ1−θ2)⋅(1−cosθ1))tan(θ1−θ2)−tanα${\displaystyle x=\frac{r\left(-\tan \alpha +\sin {\theta }_1+\tan ({\theta }_1-{\theta }_2)·(1-\cos {\theta }_1)\right)}{\tan ({\theta }_1-{\theta }_2)-\tan \alpha }}$
  Esta es la posición s’ de la imagen y su tamaño h’ se calcula tomado cualquiera de las ecuaciones de las dos rectas
  h’=-tanα·s’+r·tanα

Objeto: Posición, s=-10, tamaño, h=2
Radio del espejo esférico, r=5
Índices de refracción, n₁=1, n₂=2.4
Aplicamos la ley de Snell: 1·sin θ₁=2.4·sin θ₂
Calculamos los ángulos

tanα=2−(−10)+5=215  sinθ1=25 θ1=23.6  θ2=9.6

Aproximación paraxial

Hemos estudiado la refracción de los rayos cuando inciden en una superficie de separación plana que separa dos medios de índices de refracción n₁ y n₂.

Supongamos ahora que la superficie de separación entre los dos medios es esférica de radio r, tal como se muestra en la figura.

Del punto objeto P salen dos rayos de luz (en color rojo), uno paralelo al eje y otro que pasa por el centro C de la superficie esférica. La intersección de dichos rayos da lugar al punto P’ imagen de P.

Sea s la distancia de P a la superficie de separación, vamos a calcular la posición s’ de la imagen P’

Para el rayo paralelo al eje. Aplicamos la ley de Snell

n1⋅sinθ1=n2⋅sinθ2${\displaystyle n_1·\sin {\theta }_1=n_2·\sin {\theta }_2}$

Utilizando la aproximación de ángulos pequeños

n1⋅θ1=n2⋅θ2${\displaystyle n_1·{\theta }_1=n_2·{\theta }_2}$

En la figura vemos que:
β=γ+θ₂= γ+(n₁/n₂) θ₁
θ₁=α+β

Despejando θ₁ en la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda, obtenemos
n₁·α+ n₂·γ=( n₂- n₁)·β

Utilizando las aproximaciones

tanα=ds d=α⋅s  tanγ=ds' d=γ⋅s'${\displaystyle \tan \alpha =\frac{d}{s}d=\alpha ·s\tan \gamma =\frac{d}{s\text{'}}d=\gamma ·s\text{'}}$

Podemos también considerar a d un pequeño arco de radio r y ángulo de apertura β, por lo que, d=r·β. Llegamos a la ecuación

n1s+n2s'=n2−n1r${\displaystyle \frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s\text{'}}=\frac{n_2-n_1}{r}}$

Se define aumento m como el cociente entre el tamaño de la imagen y’ y la del objeto y. m=h’/h
Aplicando la ley de Snell

n1⋅sinθ1=n2⋅sinθ2${\displaystyle n_1·\sin {\theta }_1=n_2·\sin {\theta }_2}$

Utilizando la aproximación de ángulos pequeños

n1⋅θ1=n2⋅θ2tanθ1=ys  y=θ1stanθ2=−h's'  −h'=θ2s'${\displaystyle \begin{array}{l}{n}_1·{\theta }_1=n_2·{\theta }_2\\ \tan {\theta }_1=\frac{y}{s}y={\theta }_{1}s\\ \tan {\theta }_2=\frac{-h\text{'}}{s\text{'}}-h\text{'}={\theta }_{2}s\text{'}\end{array}}$

Llegamos a la expresión para el aumento m

m=−n1s'n2s