sábado, 9 de abril de 2016

Apuntes de óptica

Óptica de medios conductores
 Propagación en medios conductores
Consideremos un medio que presenta conductividad $\sigma \neq 0$. Los metales tienen valores de $\sigma$ muy altos, pero los dieléctricos reales también pueden tener conductividades diferentes de cero. Si este medio es, además, no magnético ($\mu = 1 $) y sin densidad volumétrica de carga ($\rho=0$), las ecuaciones de Maxwell se escriben
$\displaystyle \vec{\nabla} \wedge \vec{H} = \frac{4 \pi}{c} \sigma {\vec E}+ \frac{\epsilon}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$
(2.59)
$\displaystyle \vec{\nabla} \wedge \vec{E} =- \frac{\mu}{c} \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$
$\displaystyle \vec{\nabla} \vec{E} = 0$
$\displaystyle \vec{\nabla} \vec{H} = 0 \vspace{5mm}$,
donde $\vec{j}=\sigma\vec{E}$. Podemos ensayar el uso de una onda armónica, ${\vec E}={\vec E_0}e^{i(\omega t -k {\vec r}{\vec s})}$, como solución de las ecuaciones de Maxwell en medios con conductividad. La derivada temporal de una onda armónica es proporcional a ella misma,
\begin{displaymath} \frac{\partial {\vec E}}{\partial t} = i \omega {\vec E_0}e... ...ga t -k {\vec r}{\vec s})} = i \omega {\vec E} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(2.60)
La primera ecuación de Maxwell se puede escribir como
\begin{displaymath} \vec{\nabla} \wedge \vec{H} = (-\frac{4 \pi \sigma}{\omega}... ...frac{1}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \vspace{5mm} \end{displaymath},(2.61)
que es formalmente idéntica a la ecuación de Maxwell que se aplica en el caso de medios dieléctricos. Es necesario hacer la identificación de la permeabilidad dieléctrica $\epsilon$ con una función de la permeabilidad generalizada ${\hat \epsilon}=\epsilon-\frac{4 \pi \sigma}{c} i$. Si $\sigma = 0$, obtenemos de nuevo la permeabilidad ordinaria de los medios dieléctricos ideales. Podemos calcular también el índice de refracción generalizado ${\hat n}$, a partir de la relación ${\hat n}^2 = {\hat \epsilon}$. El índice complejo es ${\hat n} = n -i\kappa$, donde $n$ es el índice de refracción ordinario y $\kappa$ es el denominado coeficiente de extinción. Identificando términos y aislando adecuadamente podemos escribir
$\displaystyle n= \left [ \frac{\epsilon}{2} + \sqrt{\frac{\epsilon^2}{4} + \frac{4 \pi^2 \sigma^2}{\omega^2}} \right ] ^{1/2}$
(2.62)
$\displaystyle \kappa= \left [ -\frac{\epsilon}{2} + \sqrt{\frac{\epsilon^2}{4} + \frac{4 \pi^2 \sigma^2}{\omega^2}} \right ] ^{1/2}$.
En el caso particular en que $\sigma/\omega >> \epsilon$, entonces
\begin{displaymath} n \approx \kappa \approx \sqrt{2\pi \sigma / \omega} \vspace{5mm} \end{displaymath}, (2.63)
fórmula conocida como la relación de Drude. La solución a la ecuación de ondas en un medio con $\sigma \neq 0$ será
\begin{displaymath} {\vec E}={\vec E_0}e^{ip(ct-{\hat n} {\vec r}{\vec s})} = {... ...p {\vec r}{\vec s}}e^{ip(ct-n{\vec r}{\vec s})} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(2.64)
Vemos que es una ecuación similar a la que se obtiene cuando las ondas se propagan libremente en un medio dieléctrico. Sin embargo, la amplitud decae exponencialmente a medida que la onda se propaga. Analicemos como se transmite una onda electromagnética desde un medio dieléctrico a un medio metálico. En esta sección utilizaremos los ángulos $\theta$ i $\theta'$ para referirnos a los ángulos de incidencia y refracción, para evitar confusiones con la permeabilidad dieléctrica $\epsilon$. Aplicando las condiciones de contorno en un cambio de medio, podríamos deducir de nuevo la fórmula de Snell de la refracción, para este caso. Lo que obtendríamos es una expresión de aspecto familiar,
\begin{displaymath} n \sin(\theta) = {\hat n'} \sin({\hat \theta'}) \vspace{5mm} \end{displaymath},(2.65)
aunque notablemente diferente en cuanto a su interpretación. Ahora, el índice del segundo medio es complejo y${\hat \theta'}$ es también complejo. El producto ${\hat n'} \sin({\hat \theta'})$ es real, pero ${\hat n'} \cos({\hat \theta'}) = a -bi$, en general, no lo será. La onda en el segundo medio se escribirá
\begin{displaymath} {\vec E'}={\vec E_0} e^{ip(ct-{\hat n'}{\vec r}{\vec s})} =... ...(x\sin({\hat \theta'})+z\cos({\hat \theta'})))) \vspace{5mm} \end{displaymath},(2.66)
y operando obtendremos,
\begin{displaymath} {\vec E'}={\vec E_0} e^{ip(ct-{\hat n'}{\vec r}{\vec s})}= ... ...} e^{ip(ct-(x n \sin(\theta)+z a ))} e^{-pb z} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(2.67)
La onda se amortigua rápidamente a medida que penetra en un medio conductor. Además, la onda se propaga en la dirección ${\vec s}'=(n\sin(\theta), 0 , a)$. Por lo tanto, el ángulo de refracción (con sentido físico) es
\begin{displaymath} \tan(\theta') = \frac{n\sin(\theta)}{a} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(2.68)
Por otra parte, la mayor parte de la luz se refleja. Por ejemplo, si calculamos el factor de reflexión $R$ para incidencia normal desde el aire a un metal, se obtiene
\begin{displaymath} R = \Vert \frac{1-\hat n}{1+\hat n} \Vert^2 \approx 1 - \frac{2}{\sqrt{\sigma T}} \approx 1 \vspace{5mm} \end{displaymath}.(2.69)

Esto explica la razón por la que se utilizan recubrimientos metálicos para fabricar espejos.





Óptica de medios anisótropos

Nomenclatura
Los medios anisótropos se caracterizan por presentar propiedades ópticas diferentes según la dirección considerada. Esto es típico de los materiales cristalinos. En general, el vector campo eléctrico ${\vec E}$ y el vector desplazamiento ${\vec D}$ están relacionados por la relación ${\vec D} = \epsilon {\vec E}$, donde $\epsilon$ se un tensor de 3x3 elementos. Es posible demostrar que este tensor se simétrico, y por lo tanto, diagonaliza en una cierta base de vectores ortogonales.
\begin{displaymath} \epsilon = \left ( \begin{array}{ccc} \epsilon_x & 0 & 0 ... ...silon_y & 0\\ 0 & 0 & \epsilon_z \\ \end{array} \right ) \end{displaymath}.(2.70)
Podemos definir el tensor de índices,
\begin{displaymath} \left ( \begin{array}{ccc} n_x & 0 & 0 \\ 0 & n_y & 0\\ ... ...} & 0\\ 0 & 0 & \sqrt{\epsilon_z} \\ \end{array} \right ) \end{displaymath},(2.71)
así como las velocidades principales,
\begin{displaymath} v_x= \frac{c}{\sqrt{\epsilon_x}} \quad v_y= \frac{c}{\sqrt{\epsilon_y}} \quad v_z= \frac{c}{\sqrt{\epsilon_z}} \end{displaymath}.(2.72)
Estas variables contienen información de la física del problema y más adelante serán analizadas con mayor detalle.
2.5.2 Ecuaciones de Maxwell. Soluciones
Consideramos un medio dieléctrico anisótropo, no magnético ($\mu = 1 $), sin conductividad ($\sigma = 0$) ni densidad de carga ($\rho=0$). En estas condiciones, las ecuaciones de Maxwell se escriben:
$\displaystyle \vec{\nabla} \wedge \vec{H} = \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$
(2.73)
$\displaystyle \vec{\nabla} \wedge \vec{E} =- \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$
$\displaystyle \vec{\nabla} \vec{D} = 0$
$\displaystyle \vec{\nabla} \vec{H} = 0 \vspace{5mm}$.

La solución de ondas planas armónicas para estas ecuaciones será
$\displaystyle {\vec E} = {\vec E_0} \exp (ip(ct - n {\vec r}{\vec s}))$
(2.74)
$\displaystyle {\vec H} = {\vec H_0} \exp( ip(ct - n {\vec r}{\vec s}))$
$\displaystyle {\vec D} = {\vec D_0} \exp( ip(c t - n {\vec r}{\vec s})) \vspace{5mm}$,

donde $n = \frac{c}{v_n}$ es el índice de refracción y $v_n$ es la velocidad de fase. Introduciendo estas soluciones en las ecuaciones de Maxwell, y calculando las derivadas espaciales y temporales correspondientes, obtenemos las siguientes condiciones:
$\displaystyle n({\vec H} \wedge {\vec s}) = {\vec D}$
(2.75)
$\displaystyle n({\vec s} \wedge {\vec E}) = {\vec H}$
$\displaystyle {\vec H} {\vec s} = 0$
$\displaystyle {\vec D} {\vec s} = 0 \vspace{5mm}$.

De cada ecuación se deduce una condición:
  1. ${\vec H}$, ${\vec s}$ y ${\vec D}$ forman un triedro.
  2. ${\vec s}$, ${\vec E}$ y ${\vec H}$ forman un triedro.
  3. ${\vec H}$ y ${\vec s}$ son perpendiculares.
  4. ${\vec D}$ y ${\vec s}$ son perpendiculares.
Además, combinando estas cuatro ecuaciones y haciendo desaparecer el campo magnético, podemos escribir
\begin{displaymath} {\vec D} = n^2 ({\vec E} - {\vec s}({\vec E}{\vec s})) \vspace{5mm} \end{displaymath}.(2.76)
Manipulando esta ecuación, podemos escribir las componentes del vector ${\vec D}$,
\begin{displaymath} D_i = \frac{c^2 {\vec E}{\vec s}}{v_i^2-v_n^2} s_i \vspace{5mm} \end{displaymath},(2.77)
de donde se deduce que el vector ${\vec D}$ es constante y por lo tanto la luz está linealmente polarizada. Multiplicando ${\vec D}$ por ${\vec s}$ se deduce la siguiente relación:
\begin{displaymath} \frac{s_x^2}{v_x^2 - v_n^2}+\frac{s_y^2}{v_y^2 - v_n^2} + \frac{s_z^2}{v_z^2 - v_n^2} =0 \vspace{5mm} \end{displaymath}.(2.78)
Figura 2.15: Campos propagándose en un medio anisótropo
\includegraphics[width=\textwidth]{8_8_2.eps}
Como podemos ver a la izquierda de la figura 2.15, los vectores ${\vec E}$, ${\vec H}$, ${\vec D}$, ${\vec s}$ y ${\vec S}$ se disponen de la manera que se indica. El vector de Poynting es proporcional al producto vectorial ${\vec E} \wedge {\vec H}$. La dirección del rayo, y por lo tanto, la dirección de la propagación de la energía no coincide con la dirección del vector normal al frente de onda ${\vec s}$. La ecuación 2.78 aporta mucha información: ${\vec s}=(s_x,s_y,s_z)$ es el vector normal al frente de onda e indica su dirección de propagación. Por otra parte, $v_x$, $v_y$ y $v_z$ son parámetros que vienen fijados por el medio, puesto que se expresan directamente en términos de las componentes del tensor dieléctrico, y $v_n$ es la velocidad que puede tomar el frente de onda. Fijado el medio y la dirección de propagación ${\vec s}$, la fórmula 2.78 resulta una ecuación cuya incógnita es $v_n$. Se puede comprobar que esta ecuación tiene dos soluciones para $v_n$, que denominaremos $v_{n1}$ y $v_{n2}$. Por lo tanto, para una posible dirección del frente de onda, se pueden propagar dos ondas que viajan con velocidades diferentes. Se puede comprobar que las polarizaciones de estas ondas (${\vec D_1}$ y ${\vec D_2}$), verifican ${\vec D_1}{\vec D_2} =0$. Por otra parte, aunque la dirección de propagación de la fase sea común, la dirección del rayo de cada onda es diferente. Estos resultados se muestran gráficamente en la figura 2.15.
Definición: las direcciones ${\vec s}$ que verifican que $v_{n1}= v_{n2}$ se denominan ejes opticos. Podemos distinguir tres casos:
$\epsilon_x = \epsilon_y = \epsilon_z $Sistema equivalente a un medio homogéneo
$\epsilon_x = \epsilon_y \neq \epsilon_z $Sistema uniaxial (un eje óptico)
$\epsilon_x \neq \epsilon_y \neq \epsilon_z $Sistema biaxial (dos ejes ópticos)
En el primer caso considerado, los valores de la diagonal del tensor dieléctrico son iguales y, por lo tanto, es como si $\epsilon$ fuera un escalar; se puede asimilar este caso a la propagación en un medio homogéneo. Esto es lo que pasa con los materiales que cristalizan en el sistema cúbico. El segundo caso se da en determinados materiales que cristalizan según los sistemas hexagonal, tetragonal o trigonal. Desde el punto de vista óptico presentan la característica de tener un eje óptico. Los cristales que no tienen ninguna dirección de simetría y los tres elementos del tensor dieléctrico son diferentes, tienen dos ejes ópticos.
2.5.3 Medios uniaxiales
Ahora estudiaremos con más detalle los medios uniaxiales. Partimos de la ecuación 2.78. En los medios uniaxiales se verifica que $\epsilon_x = \epsilon_y$ o lo que es el mismo, $v_x = v_y$. Denominaremos $v_x = v_y = v_o$(velocidad ordinaria). En los medios uniaxiales la ecuación 2.78 toma la forma
\begin{displaymath} (v_o^2-v_n^2) \left ( (v_z^2-v_n^2)\sin^2(\alpha) + (v_o^2-v_n^2)\cos^2(\alpha)\right ) =0 \vspace{5mm} \end{displaymath},(2.79)
donde hemos escrito el vector ${\vec s}$ en coordenadas esféricas:
$\displaystyle s_x = \sin(\alpha) \cos(\beta)$
(2.80)
$\displaystyle s_y = \sin(\alpha) \sin(\beta)$
$\displaystyle s_z = \cos(\alpha) \vspace{5mm}$,
$\alpha$ es el ángulo que forma el vector ${\vec s}$ con el eje $z$ y $\beta$ es el ángulo que forma la proyección del vector ${\vec s}$en el plano $xy$ con el eje $x$. Recordemos que la base de vectores que se está utilizando es aquella en la que el tensor dieléctrico diagonaliza. Esta ecuación tiene, como ya comentamos anteriormente, dos soluciones, que en este caso son
$\displaystyle v_{n1} = v_o$
(2.81)
$\displaystyle v_{n2}^2 = v_o^2 \cos^2(\alpha) + v_z^2 \sin^2(\alpha) \vspace{5mm}$.
La primera de las soluciones para la velocidad de fase no depende de la dirección ${\vec s}$ considerada y es igual a $v_o$. Por lo tanto, la velocidad de fase de una de las ondas será siempre $v_o$ (de igual manera que se propagaría una onda en el interior de un dieléctrico homogéneo e isótropo). Como consecuencia de esto, un emisor puntual en el interior de un medio anisótropo uniaxial generaría una onda esférica. La segunda de las soluciones indica que la onda se propaga con velocidades diferentes según la dirección considerada; $v_{n2}$ es la velocidad extraordinaria. La dirección del eje óptico la encontraremos igualando las dos velocidades de fase obtenidas, $v_{n1}= v_{n2}$. Esta relación se verifica cuando $\alpha =0$, es decir, cuando el eje óptico coincide con la dirección $z$ (dirección del vector propio del tensor dieléctrico correspondiente al valor propio $\epsilon_z$). La solución $v_{n2}$ es la ecuación de una elipse, lo que indica que los frentes de onda asociados son elípticos. Por lo tanto, un emisor puntual en el interior de este medio generaría un frente de onda con forma de elipsoide de revolución.
Figura 2.16: Eje óptico y frentes de onda
\includegraphics[width=8cm]{Eo1.eps}
La figura 2.16 muestra los dos frentes de onda generados. Existe una dirección (eje $z$) en la que los dos frentes de onda se han propagado a la misma velocidad: es el eje óptico. Un problema interesante que podemos estudiar es el comportamiento de una onda plana que incide normalmente sobre una lámina planoparalela de material anisótropo uniaxial, como por ejemplo, la calcita.
Figura 2.17: Onda ordinaria y extraordinaria en un medio uniaxial
\includegraphics[width=\textwidth]{8_8_4.eps}
La figura 2.17 ilustra el experimento. Una onda plana incide normalmente, y por lo tanto, el vector normal al frente de onda ${\vec s}$ no se desvía al cambiar de medio (ángulo de incidencia, $0^0$, ángulo de refracción $0^0$). En el interior del medio uniaxial viajarán dos ondas, las polarizaciones de las cuales serán normales entre si. La dirección de la energía vendrá dada por el vector de Poynting ${\vec S} = \frac{c}{4 \pi} {\vec E} \wedge {\vec H}$. En un medio uniaxial, una de las ondas se comporta como si se propagara en un medio ordinario, por lo tanto, la dirección del vector de fase${\vec s}$ y la del vector de Poynting son coincidentes. En cambio, para la onda extraordinaria estos dos vectores tendrán direcciones diferentes. Además, estas dos ondas se propagan con velocidades de fase $v_{n1}$ y $v_{n2}$ y, por lo tanto, existirá un desfase entre ellas. Cuando los frentes de onda llegan al segundo plano de separación de medios, se producirá una nueva refracción. En el caso de la onda ordinaria, el vector de fase incide normalmente y por lo tanto la onda no se desvía. En cuanto a la onda extraordinaria, la dirección del rayo forma un cierto ángulo con la superficie de separación. En cambio, el vector de fase incide normalmente sobre esta superficie. Como vimos anteriormente, al deducir la ley de la refracción, ésta se aplica sobre la dirección del vector de fase ${\vec s}$ y no sobre la dirección del rayo ${\vec S}$ (que en el caso de los medios dieléctricos ordinarios son coincidentes). Por lo tanto, se trata también de incidencia normal y , consecuentemente, las dos ondas, ordinaria y extraordinaria, salen con direcciones del vector de Poynting paralelas. Visualmente, si observamos un objeto interponiendo un cristal de calcita con caras planoparalelas, observaremos que la imagen se desdobla. Una imagen aparece justo en la misma posición donde está el objeto (onda ordinaria) y la otra sale desplazada (onda extraordinaria). Utilizando un polarizador verificaríamos que estas dos ondas están polarizadas linealmente y sus direcciones de polarización son normales entre sí.
2.5.4 Láminas retardadoras

Figura 2.18:Propagación según una dirección normal al eje óptico
\includegraphics[width=.8\linewidth]{Eo3.eps}
Figura 2.19: Propagación según el eje óptico
\includegraphics[width=.8\linewidth]{Eo2.eps}
Un ejemplo interesante de dispositivo óptico basado en los materiales anisótropos uniaxiales son las láminas retardadoras. Para cualquier dirección de propagación de la fase pueden viajar dos ondas con polarizaciones perpendiculares entre sí. Consideremos una lámina planoparalela de un material uniaxial, de grosor $d$ y cortada de manera que el eje óptico sea paralelo a las caras de la lámina. Al incidir normalmente un haz de luz sobre ésta, en el interior de la lámina se propagarán dos ondas: como se trata de un medio uniaxial, la onda ordinaria viajará sin cambiar de dirección. Sin embargo, como que el eje óptico es paralelo a las caras, el rayo asociado a la onda extraordinaria también se propagará en la misma dirección, según se indica en la figura2.18. Ahora bien, los dos rayos llegarán desfasados a la segunda cara de la lámina, puesto que el índice de refracción es diferente para cada uno. Por lo tanto, tenemos dos ondas desfasadas con polarizaciones ortogonales entre sí y que viajan en la misma dirección. En general, tendremos luz polarizada elíptica. El desfase entre las dos componentes se calcula haciendo:
\begin{displaymath} \delta = \frac{2 \pi}{\lambda} n_e d - \frac{2 \pi}{\lambda} n_0 d \vspace{5mm} \end{displaymath}.(2.82)
donde $n_0=c/v_0$ y $n_e=c/v_e$. Por lo tanto, tomando $d$ de forma apropiada, podemos obtener láminas que generen, por ejemplo, un desfase de $\pi/2$ entre ambas componentes tomando $d=\lambda/4(n_e-n_0)$(denominadas láminas $\lambda/4$). Las láminas que generan un de desfase $\pi$ se denominan láminas $\lambda/2$. Con una lámina $\lambda/4$ y polarizadores lineales se puede obtener fácilmente luz polarizada circular. Un último comentario: si el eje óptico fuese perpendicular a las caras de la lámina, no apreciaríamos ningún desfase entre las dos componentes ya que las dos ondas se propagan a la misma velocidad (véase la figura 2.19).
Publicado por en

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)