AMIGOS PARA SIEMPRE: Apuntes de óptica

El formalismo básico para describir los fenómenos electromagnéticos relacionados con la óptica ondulatoria son las ecuaciones de Maxwell. En el sistema CGS Gauss se escriben como:

$\displaystyle \vec{\nabla} \wedge \vec{H} = \frac{4 \pi \vec{j}}{c} + \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$	(2.1)
$\displaystyle \vec{\nabla} \wedge \vec{E} =- \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
$\displaystyle \vec{\nabla} \vec{D} = 4 \pi \rho$
$\displaystyle \vec{\nabla} \vec{B} = 0 \vspace{5mm}$ ,

donde $\vec{H}$ es el campo magnético, $\vec{E}$ es el campo eléctrico, $\vec{D}$ es el vector desplazamiento, $\vec{B}$ es el vector inducción magnética, $\vec{j}$ es la densidad de corriente, $\rho$ es la densidad de carga y

es una constante de proporcionalidad. Las ecuaciones de Maxwell se complementan con las denominadas relaciones constitutivas:

$\begin{displaymath} \vec{D}=\epsilon\vec{E} \qquad \vec{B}=\mu\vec{H} \qquad \vec{j}=\sigma\vec{E} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(2.2)

donde $\epsilon$ es la constante dieléctrica, $\mu$ es la permeabilidad magnética y $\sigma$ es la conductividad eléctrica. En un medio dieléctrico homogéneo, isótropo y sin carga, $\rho=0$ , $\sigma = 0$ , $\epsilon$ y $\mu=$ constantes. Las ecuaciones se simplifican:

$\displaystyle \vec{\nabla} \wedge \vec{H} = \frac{\epsilon}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$	(2.3)
$\displaystyle \vec{\nabla} \wedge \vec{E} =- \frac{\mu}{c} \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$
$\displaystyle \vec{\nabla} \vec{E} = 0$
$\displaystyle \vec{\nabla} \vec{H} = 0 \vspace{5mm}$ .

Cuando un campo electromagnético cambia de medio, las componentes normales y tangenciales de éste verifican las relaciones siguientes:

$\displaystyle \textrm{Componentes normales:} \quad \vec{n}(\vec{D_2} - \vec{D_1}) = 4 \pi \rho_{s} \quad \vec{n}(\vec{B_2} - \vec{B_1}) = 0$	(2.4)
$\displaystyle \textrm{Componentes tangencials:} \quad \vec{n} \wedge (\vec{E_2}... ...vec{n} \wedge (\vec{H_2} - \vec{H_1}) = \frac{4\pi}{c} \vec{j}_{s} \vspace{5mm}$ ,

donde $\vec{n}$ es el vector normal a la superficie, y $\rho_{s}$ y $\vec{j}_{s}$ son las densidades superficiales de carga y de corriente, respectivamente. Los subíndices 1 y 2 hacen referencia a los campos en el medio original y en el medio en el que se transmiten los campos, respectivamente. Si las densidades de carga y corriente son cero, $\rho_{s} = 0$ y $\vec{j}_{s} = 0$ , entonces se verifican las siguientes relaciones de continuidad:

$\displaystyle \textrm{Componentes normales:}\quad D_2^n = D_1^n \quad B_2^n = B_1^n$	(2.5)
$\displaystyle \textrm{Componentes tangenciales:}\quad E_2^t = E_1^t \quad H_2^t = H_1^t \vspace{5mm}$ .

Los superíndices

hacen referencia a las componentes normales o tangenciales.

2.1.2 La ecuación de ondas. Soluciones

En un medio homogéneo e isótropo, al combinar las ecuaciones de Maxwell se obtiene el par de ecuaciones siguiente:

$\displaystyle \Delta \vec{H} = \frac{\epsilon \mu}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2}$	(2.6)
$\displaystyle \Delta \vec{E} = \frac{\epsilon \mu}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \vspace{5mm}$ .

Estas expresiones son formalmente ecuaciones de ondas. Así, la velocidad de propagación puede relacionarse con los parámetros

, $\epsilon$ y $\mu$

$\begin{displaymath} \frac{1}{v^2} = \frac{\epsilon \mu}{c^2} \quad v = \frac{c}{\sqrt{\epsilon \mu}} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.7)

En el vacío, $\epsilon = \mu = 1$ , y por lo tanto

. Es decir,

es la velocidad de la luz en el vacío. El índice de refracción se puede escribir en función de los parámetros $\mu$ y $\epsilon$ , $n = c/v =\sqrt{\epsilon\mu}$ . Sean ${\vec r}=(x,y,z)$ el vector posición de un punto y ${\vec s}=(\alpha, \beta, \gamma)$ el vector unitario ( $\Vert{\vec s}\Vert = 1$ ) que indica la dirección de propagación de la onda. Se puede comprobar fácilmente que una función

del tipo $f(vt \pm {\vec r} {\vec s})$ es solución de la ecuación de ondas. Esta solución de la ecuación de ondas se denomina onda plana. En el caso unidimensional, escribiremos la ecuación de ondas como

$\begin{displaymath} \frac{\partial^2 {\vec E}}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 {\vec E}}{\partial t^2} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.8)

En este caso particular, ${\vec s} = (1,0,0)$ , y la solución se escribe como

. De las relaciones entre la pulsación $\omega$ , el periodo

, $T=2 \pi/\omega$ , la longitud de onda $\lambda$ , el número de onda

, $k = 2 \pi/\lambda$ , la longitud de onda, la frecuencia $\nu$ y la velocidad, $\lambda \nu = v$ , podemos escribir el argumento de la función de onda plana como:

$\begin{displaymath} vt \pm {\vec r} {\vec s} = \frac{1}{k}(\omega t \pm k {\vec r} {\vec s}) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.9)

Dependiendo del caso que se estudie, la función

puede ser complicada de describir. El análisis de Fourier afirma que cualquier función puede ser descrita como una combinación lineal de funciones armónicas. Por esta razón, tomaremos funciones de onda armónicas para describir los campos eléctrico y magnético, por ejemplo:

$\begin{displaymath} {\vec E} = {\vec E_0} \cos(\omega t - k {\vec r}{\vec s}) \... ... {\vec H_0} \cos(\omega t - k {\vec r}{\vec s}) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(2.10)

donde los módulos $\Vert{\vec E}_0\Vert$ y $\Vert{\vec H}_0\Vert$ son las amplitudes máximas de los campos eléctrico y magnético, respectivamente. El argumento de estas funciones es adimensional. Por comodidad, a la hora de hacer manipulaciones matemáticas, escribiremos los campos en notación compleja, aunque únicamente la parte real (o la imaginaria) tiene sentido físico, es decir:

$\begin{displaymath} {\vec E} = {\vec E_0} \exp (i(\omega t - k {\vec r}{\vec s}... ...vec H}_0 \exp(i(\omega t - k {\vec r}{\vec s})) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(2.11)

${\vec E_0}$ es la amplitud de la onda y $\exp (i(\omega t - k {\vec r}{\vec s}))$ su fase, que también se puede escribir en términos del índice de refracción. Si definimos $p=\omega/c$ , tendremos que

$\begin{displaymath} {\vec E} = {\vec E_0} \exp (ip(ct - n {\vec r}{\vec s})) \q... ... {\vec H}_0 \exp( ip(c t - n {\vec r}{\vec s})) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.12)

Definimos el concepto de frente de onda como el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma fase, en un momento dado. En el caso de ondas planas, el frente de onda es el plano $k{\vec r}{\vec s} = C$ donde

es una constante. Es posible establecer una relación entre los conceptos defase y camino óptico ( $\Delta = n l$ , donde

es el índice de refracción y

la distancia recorrida por la onda). Sea una onda de pulsación $\omega$ y dirección de propagación ${\vec s}$ . La diferencia de fase entre dos planos `

' y `

' del frente de onda, distantes

entre si, es

$\begin{displaymath} (\omega t - k{\vec r_2} {\vec s}) - (\omega t - k{\vec r_1}... ...s}) = k({\vec r_2}-{\vec r_1}) {\vec s} = k l \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.13)

Si la onda se propaga en un medio de índice

, $kl = (k/n) nl = (k/n) \Delta = \frac{2 \pi}{\lambda n} \Delta= \frac{\lambda_0}{n} \Delta$ . Este resultado se utilizará más adelante en el estudio de los sistemas interferenciales. Otra solución de la ecuación de onda que presenta un gran interés es aquella en la que el valor de la amplitud de la onda sólo depende de la distancia al punto en que se genera. En este caso (onda esférica), es conveniente escribir la ecuación en coordenadas esféricas y quedarnos solo con la parte radial, es decir, ${\vec E} = {\vec E}(r,t)$ :

$\begin{displaymath} \Delta {\vec E} = \frac{1}{r} \frac{\partial^2 r {\vec E}}{... ...{v^2} \frac{\partial^2 {\vec E}}{\partial t^2} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(2.14)

y así podemos escribir

$\begin{displaymath} \frac{\partial^2 r {\vec E}}{\partial r^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 r {\vec E}}{\partial t^2} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.15)

Esta última expresión es formalmente idéntica a la ecuación de ondas en una dimensión escrita en coordenadas cartesianas. Por lo tanto, la solución en este caso será del tipo

$\begin{displaymath} {\vec E} = \frac{{\vec f}(vt \pm r)}{r} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.16)

Aquí el frente de ondas es una esfera.

**Figura 2.1:** Diferencia de fase
$\includegraphics[width=\linewidth]{Diffase.eps}$

**Figura 2.2:** Diferencia de fase (esquema transversal)
$\includegraphics[width=\linewidth]{Diffase2.eps}$

2.1.3 Energía. Vector de Poynting

Introduciendo las soluciones de la ecuación de ondas para los campos eléctrico y magnético en las ecuaciones de Maxwell, podemos deducir las relaciones siguientes :

$\begin{displaymath} {\vec s} \wedge {\vec H} = - n {\vec E} \quad \quad \quad {\vec s} \wedge {\vec E} = \frac{{\vec H}}{n} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(2.17)

relaciones que indican que los vectores campo eléctrico, campo magnético y el vector ${\vec s}$ son ortogonales entre si. Los vectores campos eléctrico y magnético vibran en un plano que se propaga según la dirección ${\vec s}$ , tal y como se muestra en la figura 2.3. La energía electromagnética almacenada en un diferencial de volumen se escribe

$\begin{displaymath} du = \left [ \frac{1}{8 \pi} (\epsilon \Vert {\vec E}\Vert^2 + \mu \Vert {\vec H}\Vert^2) \right ] dv \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(2.18)

y por lo tanto, la variación por unidad de tiempo de energía electromagnética almacenada en un volumen V cerrado por una superficie S es

$\begin{displaymath} \frac{\partial u }{\partial t}= \frac{\partial}{\partial t}... ...mu \Vert {\vec H}\Vert^2) \right ] \right ] dv \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.19)

**Figura 2.3:** Transversalidad de los campos eléctrico y magnético
$\includegraphics[width=14cm]{ones.eps}$

Consideremos un material dieléctrico ideal ( $\sigma = 0$ ). Utilizando las ecuaciones de Maxwell podemos demostrar que la variación de energía puede expresarse como

$\begin{displaymath} \frac{\partial u }{\partial t}= - \frac{c}{4 \pi}\int_S {\vec E} \wedge{\vec H} ds \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.20)

Definimos el vector de Poynting como

$\begin{displaymath} {\vec S} = \frac{c}{4 \pi}{\vec E} \wedge{\vec H} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.21)

El vector de Poynting expresa la variación de energía radiada por unidad de tiempo y de superficie perpendicular a la dirección de propagación. En los medios homogéneos e isótropos el vector de Poynting y el vector ${\vec s}$ tienen la misma dirección. La dirección del rayo (concepto propio de la Óptica Geométrica) y ${\vec S}$ (asociado a la propagación de la energía de la onda) coinciden. Si la longitud de onda corresponde al espectro visible (400-700 nm) el periodo de vibración es del orden de $10^{-14}$ s. Cuando colocamos un detector (célula fotoeléctrica, cámara de vídeo, ojo) ante una onda electromagnética, éste no es capaz de seguir las oscilaciones y por lo tanto detecta un promedio temporal de la señal. Así, definimos la intensidad del campo eléctrico como la media temporal del vector de Poynting.

$\begin{displaymath} I = <\Vert{\vec S}\Vert> = \lim_{\tau \rightarrow \infty} \frac{1}{\tau} \int_0^\tau \Vert{\vec S}\Vert dt \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.22)

Resolviendo la integral anterior, la intensidad detectada, para ondas planas es

$\begin{displaymath} I = \frac{cn}{8 \pi} \Vert E_0\Vert^2 \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(2.23)

mientras que para ondas esféricas tenemos

$\begin{displaymath} I = \frac{cn}{8 \pi} \frac{\Vert E_0\Vert^2}{r^2} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(2.24)

resultado conocido como la ley del cuadrado de la distancia.

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Son aquellas ondas que no necesitan un medio material para propagarse. Incluyen, entre otras, la luz visible y las ondas de radio, televisión y telefonía.

Todas se propagan en el vacío a una velocidad constante, muy alta (300 0000 km/s) pero no infinita. Gracias a ello podemos observar la luz emitida por una estrella lejana hace tanto tiempo que quizás esa estrella haya desaparecido ya. O enterarnos de un suceso que ocurre a miles de kilómetros prácticamente en el instante de producirse.

Las ondas electromagnéticas se propagan mediante una oscilación de campos eléctricos y magnéticos. Los campos electromagnéticos al "excitar" los electrones de nuestra retina, nos comunican con el exterior y permiten que nuestro cerebro "construya" el escenario del mundo en que estamos.
Las O.E.M. son también soporte de las telecomunicaciones y el funcionamiento complejo del mundo actual.

ORIGEN Y FORMACIÓN

Las cargas eléctricas al ser aceleradas originan ondas electromagnéticas

El campo E originado por la carga acelerada depende de la distancia a la carga, la aceleración de la carga y del seno del ángulo que forma la dirección de aceleración de la carga y al dirección al punto en que medimos el campo( sen q).
Un campo electrico variable engendra un campo magnético variable y este a su vez uno electrico, de esta forma las o. e.m. se propagan en el vacio sin soporte material

Para saber más sobre su origen y propagación pulsa aquí

CARACTERÍSTICAS de LA RADIACIÓN E.M.

Los campos producidos por las cargas en movimiento puden abandonar las fuentes y viajar a través del espacio ( en el vacio) creándose y recreándose mutuamente. Lo explica la tercera y cuarta ley de Maxwell.
Las radiaciones electromagnéticas se propagan en el vacio a la velocidad de la luz "c". Y justo el valor de la velocidad de la luz se deduce de las ecuaciones de Maxwell, se halla a partir de dos constantes del medio en que se propaga para las ondas electricas y magnética .
Los campos electricos y magnéticos son perpendiculares entre si ( y perpendiculares a la dirección de propagación) y estan en fase: alcanzan sus valores máximos y mínmos al mismo tiempo y su relación en todo momento está dada por E=c· B
El campo eléctrico procedente de un dipolo está contenido en el plano formado por el eje del dipolo y la dirección de propagación. El enunciado anterior también se cumple si sustituimos el eje del dipolo por la dirección de movimiento de una carga acelerada
Las ondas electromagnéticas son todas semejantes ( independientemente de como se formen) y sólo se diferencian e n su longitud de onda y frecuencia. La luz es una onda electromagnética
Las ondas electromagnéticas transmiten energía incluso en el vacio. Lo que vibra a su paso son los campos eléctricos y magnéticos que crean a propagarse. La vibracion puede ser captada y esa energía absorberse.
Las intensidad instantánea que posee una onda electromagnética, es decir, la energía que por unidad de tiempo atraviesa la unidad de superficie, colocada perpendicularmente a la direción de propagación es: I=c· e_oE². La intensidad media que se propaga es justo la mitad de la expresión anterior.
La intensidad de la onda electromagnética al espandirse en el espacio disminuuye con el cuadrado de la distancia y como "I "es proporcional a E² y por tanto a sen²Q . Por lo tanto existen direcciones preferenciales de propagación

ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO-

Pulsa para ver el espectro de las radiaciones

Instrucciones de manejo del applet

Pulsa el botón izquierdo (o derecho) del ratón y arrastra en horizontal para obtener distintas perspectivas de la propagación (alrededor del eje z). Pulsa y arrastre en vertical para girar alrededor del plano xy.

Realización práctica

Realiza, obseva y comprueba lo siguiente:

1-Supón que le campo eléctrico es el de color verde oscuro y vibra en el plano "yz" y el magnético, el granate , vibra en el plano "xz" . Comprueba que alcanzan el máximo y el mímino al mismo tiempo. Lejos de la fuente los campos viajan en fase

2.-Comprueba girando el enfoque con el que los observas que se propagan perpendicularmente entre si y perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Por lo tanto la Onda E.M. es una onda tranvesrsal

3.- Al ser una onda transversal puede ser polarizada. Para comprobar los efectos del polarizador se visualiza sólo el compo eléctrico ( amarillo) vibrando en el plano formado por el eje z y la bisectriz del yx. El polarizador permite que sólo atraviese la componente de proyección sobre el eje y. Comprueba que la amplitud del rayo polarizado (rojo) es siempre menor en cada instante que la del rayo sin polarizar tal como corresponde a su proyección. Mira desde distintas perspectivas la figura respecto al eje z y plano xy.

Las radiaciones electromagnéticas son las generadas por partículas eléctricas y magnéticas moviéndose a la vez (oscilando). Cada partícula genera lo que se llama un campo, por eso también se dice que es una mezcla de un campo eléctrico con un campo magnético.

Estas radiaciones generan unas ondas que se pueden propagar (viajar) por el aire e incluso por el vacío. Imaginemos que movemos de forma oscilatoria (de arriba a bajo) una partícula cargada eléctricamente (o magnéticamente) como la de la figura:

ondas electromagneticas

Como vemos se crea una perturbación a su alrededor, que es lo que llamamos una onda. Esta onda depende de la velocidad con la que movamos la partícula (y fuerza), y de la amplitud o distancia entre el inicio y el final del recorrido.

Cambiando estos valores podemos cambiar el tamaño de la onda. La onda generada tendrá la misma forma pero más grande y/o con mas ondulaciones por segundo.

Si la partícula tiene un componente eléctrico, pero también uno magnético ya tenemos generada una radiación electromagnética, con su onda electromagnética. Vamos analizar la onda generada. Para medir una onda tenemos 3 datos muy importantes como podemos ver en la siguiente figura:

radiaciones electromagneticas

   Longitud de Onda: Distancia entre dos crestas.

   Amplitud : Es la máxima perturbación de la onda. La mitad de la distancia entre la cresta y el valle.

   Frecuencia: Número de veces que se repite la onda por unidad de tiempo. Si se usa el Hertzio es el numero de veces que se repite la onda por cada segundo.

   Además hay otros dos datos también interesantes:

   Periodo: 1/frecuencia. Es la inversa de la frecuencia.

   Velocidad: la velocidad de la onda depende del medio por el que se propague (por donde viaje). si la onda viaja por el vació su velocidad es igual a la de la luz 300.000Km/segundo. Si se propaga por el aire cambia, pero es prácticamente igual a la del vació.

   Bueno ya tenemos nuestra onda viajando por el aire. Pero..... resulta que una onda electromagnética no se genera por una sola partícula, sino que son dos partículas diferentes, una eléctrica y otra magnética. Además su movimiento es perpendicular, lo que hace la onda sea una mezcla de dos ondas perpendiculares, una eléctrica y otra magnética. Aquí vemos en la figura las dos ondas generadas por las dos partículas a la vez. Una moviéndose sobre el eje Z y la otra sobre el eje Y:

onda electromagnetica

   Aquí puedes ver una animación de la generación de una onda electromagnética. Verás como se mueven las partículas en cada eje y como generan la onda: Onda Electromagnética
   Pero...¿Por qué son tan importantes las ondas electromagnéticas?. Pues que son una forma de transportar energía por el aire. No tiene barreras.

   Podemos emitir una señal desde un receptor (el punto donde se genera la onda) y recibirla en un receptor (el punto donde cogemos la onda). Esta onda puede contener información, que primero, esta información se deberá convertir en una señal en forma de onda electromagnética, y una vez recibida por el receptor, descodificarla y recibir la misma información que se envió. ¡¡¡Ya podemos enviar información por el aire sin necesidad de cables o elementos físicos!!!.

   Las ondas electromagnéticas se usan para la radio, la televisión, internet, etc. Pero tenemos un problema. Por el aire viajan muchas ondas. ¿Cómo las diferenciamos? Pues por su Frecuencia (recuerda numero de veces que se repite la onda), pero es que además a mayor frecuencia, menor longitud de la onda.

   Piensa en una cuerda cuando la movemos (frecuencia con la que la movemos), si la movemos muy lentamente creamos ondas muy anchas (mucha longitud de onda) pero si la movemos muy rápido las ondas son mas estrechitas (poca longitud de onda) : Frecuencia grande = Longitud de onda pequeña y Frecuencia pequeña = longitud de onda grande.

   Ya tenemos nuestras ondas diferenciadas por su longitud de onda o por su frecuencia. Se ha creado una escala para clasificarlas, por orden creciente de longitudes de onda ( o decreciente por su frecuencia) llamada Espectro Electromagnético. Dependiendo de la onda pertenecerá a un espectro u a otro.

espectro electromagenetico

Fíjate que lo medimos en Hertzios, MegaHertzios, etc, es decir por su frecuencia (podría ser por su longitud de onda). Además cada aparato emite unas ondas de diferente frecuencia y si queremos emitir ondas de telefonía móvil pues tendremos que emitirlas en una banda de frecuencia determinada para no confundirlas con otras. Las ondas emitidas con una frecuencia por encima de la infrarroja son las ondas visibles, como por ejemplo la de la luz del sol. Las de frecuencia mas baja no se ven, por ejemplo las de la radio, pero ojo existen.

Bueno esperamos que ya lo tengamos más claro. Conclusión : Estamos rodeado de ondas que viajan y la mayoría no las vemos, aunque ya sabemos que hay están. Las antenas emiten y reciben estas señales, que primero se codifican y al recibirlas se descodifican para recibir la información que transmitimos.

AMIGOS PARA SIEMPRE

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sábado, 9 de abril de 2016

Apuntes de óptica

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

ORIGEN Y FORMACIÓN

CARACTERÍSTICAS de LA RADIACIÓN E.M.

ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO-

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