AMIGOS PARA SIEMPRE: Astronomía y astrofísica

SOLUCIÓN FORMAL

Proponemos una solución de la forma:

$\begin{displaymath}I_{\nu}(\tau_{\nu}) = f \: exp(b \tau_{\nu}) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\frac{dI_{\nu}} {d\tau_{\nu}} = f \: b \: exp(b \tau_{\nu}) +... ... {\tau_{\nu}} \frac{df} {d\tau_{\nu}} = - I_{\nu} + S_{\nu} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\Rightarrow \hspace{0.3cm} b = -1 \hspace{0.3cm} \Righta... ..._0^{\tau_{\nu}} S_{\nu} (t_{\nu}) exp(t_{\nu}) dt_{\nu} + C_0 \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}I_{\nu} = exp(- \tau_{\nu}) \int_0^{\tau_{\nu}} S_{\nu} (t_... ...(t_{\nu}) dt_{\nu} + C_0 \: exp(- \tau_{\nu}) \hspace{0.3cm} \end{displaymath}$

Para:

$\begin{displaymath}\tau = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} C_0 = I_{\nu}(0) \end{displaymath}$

La siguiente ecuación es válida para medio interestelar, cuando la observación es a lo largo de la línea visual.

$\begin{displaymath}I_{\nu} = \int_0^{\tau_{\nu}} S_{\nu} (t_{\nu}) exp(-(\tau_{\nu} - t_{\nu})) dt_{\nu} + I_{\nu}(0) exp(- \tau_{\nu}) \end{displaymath}$

Soluciones porcentuales.

Estas soluciones están expresadas en unidades físicas, es decir en la que solo dependerán de la concentración del soluto y el solvente.
Estas soluciones nos indican la cantidad de soluto disuelto en 100 partes de solución.
Las soluciones porcentuales se las puede expresar de la siguiente manera:

1. Porcentaje masa/masa ó peso a peso (% m/m ó p/p)
2.Porcentaje masa/volumen (% m/V)
3.Porcentaje volumen/ volumen (% V/V)

1. - Porcentaje masa/masa (% m/m).- Se define como la masa de soluto en 100g de solución (Es lo mismo que %m/m).
Para esta solución debe medirse la masa o el volumen de soluto y llevar un peso de solución. La totalidad de la solución es la suma aditiva del peso de soluto y el peso del solvente. Si se desea convertir los gramos de solución a ml, se deberá conocer la densidad de la solución.

2.- Porcentaje masa/volumen (% m/V).-El porcentaje peso en volumen o masa en volumen (p/v o m/v) indica la masa de soluto por unidad de volumen.

3. - Porcentaje volumen/ volumen. - Da cuenta del volumen de soluto por volumen de solución.

Cálculo de Partes por Millon (ppm)

Son las partes de masa de soluto por un millón de partes de masa de solución.

Esta concentración se utiliza para soluciones muy diluidas como en el análisis de agua o preparaciones biológicas.
En estas soluciones muy diluidas, su densidad es muy cercana a la del agua y se supone que la densidad de la solución es de 1.00 g/ml. Por lo anterior, se puede hacer la simplificación de mg soluto/Litro de solución.

ejemplo 1

Una muestra de agua contiene 3.5 mg de iones fluoruro (F-) en 825 mL de solución. Calcule las partes por millón del ion fluoruro en la muestra.

ejemplo 2

Calcule los mg de fluoruro (F-) que hay en una muestra de 1.25 L de solución que tiene 4.0 ppm de ion fluoruro.

Cálculo de Partes por Billon (ppb)

expresa cuantos gramos de soluto hay disueltos en un billón de gramos de solución:

Molaridad

Esta es una de las formas más utilizadas en química. se representa con la letra M y se define como una disolución 1,0 molar (1,0 M) contiene 1,0 moles de soluto en cada litro de la disolución. En la preparación de muchas soluciones es necesario expresar la concentración del soluto en moles por cada unidad de volumen. la preparación de soluciones molares, es decir la determinación dela cantidad de soluto que se necesita pesar para obtener la concentración molarrequerida:

y se calcula con la siguiente expresión

M = PM expresado en gramos (moles)/lt de solución

Ejemplo

¿Cuál es la molaridad de una una disolución de 20 g de NaCl en 180 mL de agua?

Primero debemos saber cuantas moles son 20 g de NaCl:

nNaCl = 20/58,5 = 0,34 moles

Ahora determinamos la concentración de la disolución, suponiendo que el volumen de agua no varía en el proceso de disolución:

M = (0,34 moles de NaCl)/(0,18 L de disolución) = 1,89M

Molalidad

Es la cantidad de soluto (medida en moles) disuelta en cada Kilogramo de disolvente. Esta escala se define así:

M = PM expresado en gramos (moles)/Kg de disolvente

Esta cantidad no cambia al cambiar la temperatura o la presión.

Ejemplo

Cuál es la molalidad de una disolución de 3,2g de CH3OH en 200g de agua?

Peso Molecular del soluto = 12 + (4 x 1) + 16 = 32

nmoles de soluto = 3,2/32 0,1 moles

m (0,1 moles de soluto)/(0,2 Kg de disolvente) = 0,5 m

Normalidad

Esta es otra de las formas más utilizadas en química. se representa con la letra N y se define como una disolución 1,0 Normal (1,0 N) contiene 1,0 equivalente químico de soluto en cada litro de la disolución. En muchas operaciones analíticas, y principalmente en análisis cuantitativo, es indispensable trabajar con las soluciones de concentración muy exacta. A estas se les denomina soluciones normales y se les designa con la letra N. Las soluciones normales son las soluciones que disuelven el equivalente químicogramo (Eq. q.g. ) de soluto en un litro de solución. El equivalente químico expresado en gramos, proporciona el peso de soluto necesario para la preparación de soluciones normales.

y se calcula con la siguiente expresión

N = Peq/Lt solución

Para preparar las soluciones se debe por lo tanto primero determinar el valor del equivalente químico.

Peq = PM/eq

Formalidad

Una solución uno formal (1 F) es aquella que se prepara disolviendo un peso de la formula, en gramos, de una sustancia en solvente y diluyendo 1 litro. El término formal es relativamente nuevo; puede aplicarse a soluciones de todos los compuestos iónicos o de otra índole y es el término apropiado para expresar las concentraciones de sustancia como las sales. El termino molar debe de aplicarse para designar la concentración de moléculas en solución y no debe ser aplicado a soluciones de sustancias que están en gran parte en forma de iones de solución. No obstante, el uso a establecido que las concentraciones de iones y de sustancias iónicas, así como de compuestos moleculares, se designen en términos de molaridad, a menos que por una razón especifica se requiera el uso del termino formal.

Titulo de una solución

El título de una solución es el peso de alguna substancia que equivale químicamente a 1 ml de dicha solución. Así, una solución de nitrato de plata, que posea un título de 1 mg de cloruro, contiene nitrato de plata en cantidad suficiente para que cada mililitro de solución reacciones completamente con dicho peso de ion cloruro. El título se podrá haber expresado también en miligramos o en gramos de cloruro de potasio, cloruro de bario, ioduro de sodio o de cualquier otro compuesto que reaccione con el nitrato de plata. La concentración de las soluciones de los reactivos que se utilizan en los laboratorios industrialespara el análisis de rutina de muchas muestras, se suelen expresar con ventaja en función de su título.

ECUACIÓN DE TRANSPORTE EN GEOMETRÍA ESFÉRICA

$\begin{displaymath}d \tau_{\nu} = \kappa_{\nu} \rho dz \hspace{0.3cm} \Rightar... ...\frac{d I_{\nu}} {\kappa_{\nu} \rho dz} = - I_{\nu} + S_{\nu} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\frac{d I_{\nu}} {dz} = \frac{\partial I_{\nu}} {\partial r} ... ...rac{\partial I_{\nu}} {\partial \theta} \frac{d\theta} {dz} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}dr = \cos \theta dz \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{dr} {dz} = \cos \theta \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}r d\theta = -\sin \theta dz \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{d\theta} {dz} = - \frac{\sin \theta} {r} \end{displaymath}$

Así obtenemos la ecuación:

$\begin{displaymath}\frac{\partial I_{\nu}} {\partial r} = \frac{\cos \theta} {\k... ...frac{\sin \theta} {r \kappa_{\nu} \rho} = -I_{\nu} + S_{\nu} \end{displaymath}$

válida para interiores estelares o átmosferas muy opacas ( por ejemplo estrellas supergigantes).

ECUACIÓN DE TRANSPORTE EN GEOMETRÍA PLANA

La átmosfera solar tiene un espesor $\Delta z \simeq 700Km \simeq 0.0001 R_{ \odot}$ . Debido a este pequeño espesor se puede aplicar la aproximación plano-paralela en la cual $\theta$ no depende de z.

$\begin{displaymath}\frac{d I_{\nu}} {dz} \simeq \frac{\partial I_{\nu}} {\partia... ...o} \frac{\partial I_{\nu}} {\partial r} = -I_{\nu} + S_{\nu} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}dx = -dr \hspace{0.8cm} d \tau_{\nu} = \kappa_{\nu} \rho dx \end{displaymath}$

Obtenemos la ecuación de transporte radiativo, válida para estrellas solares:

$\begin{displaymath}\cos \theta \frac{d I_{\nu}} {d \tau_{\nu}} = I_{\nu} - S_{\nu} \end{displaymath}$

Comparando con la ecuación de transporte obtenemos:

$\begin{displaymath}\tau_{\nu} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} - \tau_{\nu} \sec \theta \end{displaymath}$

En forma integral:

$\begin{displaymath}I_{\nu} (\tau_{\nu}) = - \int_c^{\tau_{\nu}} S_{\nu}(\tau_{\n... ... e^{-(t_{\nu} - \tau_{\nu}) \sec \theta} \sec \theta dt_{\nu} \end{displaymath}$

El límite inferior de la integral (c), es la constante de $I_{\nu} (0)$ .
Radiación hacia afuera $\theta \leq 90^{\circ}$
Radiación hacia adentro $\theta \geq 90^{\circ}$
Tomamos $I_{\nu} (0) = 0$ para estrellas normales, así:

$\begin{displaymath}I_{\nu} (\tau_{\nu}) = I_{\nu}^{out} (\tau_{\nu}) + I_{\nu}^{in} (\tau_{\nu}) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}I_{\nu}^{in} (\tau_{\nu}) = -\int_0^{\tau_{\nu}} S_{\nu} e^{-(t_{\nu} - \tau_{\nu}) \sec \theta} \sec \theta dt_{\nu} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}I_{\nu}^{out} (\tau_{\nu}) = \int_{\tau_{\nu}}^{\infty} S_{... ... e^{-(t_{\nu} - \tau_{\nu}) \sec \theta} \sec \theta dt_{\nu} \end{displaymath}$