INTEGRAL DE FLUJO

$\begin{displaymath}F_{\nu} = \oint I_{\nu} \cos \theta d \omega \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}F_{\nu} = 2 \pi \int_0^{\pi} I_{\nu} \cos \theta \sin \theta ... ...{\pi / 2}^{\pi} I_{\nu}^{in} \cos \theta \sin \theta d \theta \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}= 2 \pi \int_0^{\pi / 2} \int_{\tau_{\nu}}^{\infty} S_{\nu}... ...\nu} - \tau_{\nu}) \sec \theta} \sin \theta dt_{\nu} d \theta \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}= 2 \pi \int_{\tau_{\nu}}^{\infty} S_{\nu} \int_0^{\pi / 2} ... ...nu} - \tau_{\nu}) \sec \theta} \sin \theta d \theta dt_{\nu} \end{displaymath}$

Cambiando de variables, sean $w = \sec \theta$ y $x = t_{\nu} - \tau_{\nu}$ .

$\begin{displaymath}\int_0^{\pi / 2} e^{-(t_{\nu} - \tau_{\nu}) \sec \theta} \sin \theta d \theta = \int_0^1 \frac {e^{-xw}} {w^2} dw \end{displaymath}$

Integral exponencial:

$\begin{displaymath}E_n(x) = \int_1^{\infty} \frac {e^{-xw}} {w^n} dw \end{displaymath}$

Así llegamos a la expresión:

$\begin{displaymath}F_{\nu}(\tau_{\nu}) = 2 \pi \int_{\tau_{\nu}}^{\infty} S_{\nu... ...nt_0^{\tau_{\nu}} S_{\nu} E_2(\tau_{\nu} - t_{\nu}) dt_{\nu} \end{displaymath}$

Usando la integral exponencial y el cambio de variables: $w = -\sec \theta$ y $x = \tau_{\nu} - t_{\nu}$ obtenemos el flujo observado en la superficie de la atmósfera:

$\begin{displaymath}F_{\nu}(0) = \int_0^{\infty} S_{\nu}(\tau_{\nu}) E_2(\tau_{\nu}) dt_{\nu} \end{displaymath}$

Vemos de aquí que el flujo es igual a la suma de $S_{\nu}$ a cada profundidad multiplicada por un factor de extinción apropiado para cada profundidad.

EXPRESIÓN TEÓRICA DEL FLUJO

Nos proponemos a continuación obtener una expresión teórica de la densidad de flujo de radiación, o simplemente el flujo, en cualquier punto de una atmósfera estelar semi-infinita. Si admitimos que la estrella tiene simetría esférica, I_n no depende del ángulo acimutal f. En consecuencia, la expresión (6.16) permite escribir el flujo monocromático en la profundidad óptica t_n de la atmósfera de la siguiente manera :

(7.32)

Si se elige un elemento de área en la atmósfera normal al radio de la estrella y la dirección radial corresponde a q = 0⁰, entonces los dos términos del segundo miembro en (7.32) representan los flujos emergente e incidente, respectivamente. Reemplazando las intensidades emergente e incidente por sus respectivas expresiones (7.25) y (7.26), resulta :

Si suponemos además que la función fuente S_n no depende del ángulo q (condición de isotropía), se obtiene la siguiente expresión teórica del flujo :

Esta expresión puede simplificarse usando integrales exponenciales y efectuando cambios de variables apropiados. En efecto, si en el primer término se hace la sustitución : w = secq , x = (t_v - t_v), se obtiene en forma inmediata que senq dq = dw/w². La primera integral con variable angular resulta entonces :

(7.33)

Análogamente, haciendo las sustituciones w’ = - secq, y = (t_v – t_v), se obtiene que senqdq = - dw’/w’² y la segunda integral angular de la expresión teórica del flujo resulta :

(7.34)

Conviene aclarar en este último caso que cuando la variable q tiende a p/2, la nueva variable w’ tiende a +¥. Esto es así debido a que cuando q tiende a p/2 lo hace viniendo desde q = p y, por ende, elcosq tiende a cero por valores negativos. En consecuencia, w’= 1/cosq tiende a +¥.

Teniendo en cuenta (7-33) y (7-34) la expresión teórica del flujo queda :

(7.35)

la cual se conoce como integral del flujo o ecuación integral de Milne.

La expresión obtenida es de gran importancia ya que contrariamente a la intensidad específica, el flujo constituye un parámetro que puede ser observado en todos los objetos astronómicos. En realidad, las observaciones permiten conocer el flujo en la superficie estelar. Por lo tanto, el flujo teórico a comparar con las observaciones será el dado por (7-35) pero para t_v = 0, esto es :

(7.36)

El flujo superficial teórico está pues compuesto de la suma sobre todas las profundidades ópticas contribuyentes, de la función fuente en cada punto, atenuada por el correspondiente factor de extinción. Debe tenerse en cuenta que el flujo superficial expresado en (7-36), representa la energía por unidad de tiempo e intervalo de frecuencia que teóricamente atraviesa un elemento de área ubicado sobre la superficie de la estrella. El flujo monocromático total emitido teóricamente por la estrella resulta de multiplicar (7-36) por la superficie total de la estrella. Si no existe absorción de la radiación entre la estrella y la tierra, llamando f_v a la cantidad de energía por unidad de tiempo (flujo) que se recibe en la tierra (fuera de la atmósfera), por unidad de área e intervalo de frecuencia, por conservación de la energía se tendrá :

4pR²F_v(0) = 4pr²f_v , (7.37)

en la cual r es la distancia tierra-estrella y R el radio de la estrella supuesta esférica. En la práctica, cuando se conocen R y r, suelen compararse las cantidades medidas f_v para diferentes rangos de frecuencia, con los correspondientes valores teóricos (R/r)²F_v(0) calculados de (7-37), usando una determinada función fuente.

Flujo y radiancia

Consideremos ahora un elemento de área dA orientado arbitrariamente en una región atravesada por radiación. Si es la intensidad específica monocromática en el punto donde se ubica dA y en la dirección q, entonces de acuerdo a la expresión (6.6), la cantidad representa físicamente la cantidad de energía que atraviesa dA por unidad de tiempo e intervalo de longitud de onda, en la particular dirección q, y dentro del ángulo sólido dw. Si se integra esta cantidad sobre todos los ángulos sólidos posibles, se obtendrá entonces la cantidad total de energía comprendida en el intervalo (l, l + dl), que atraviesa dA en la unidad de tiempo y en todas las direcciones posibles. Denotaremos con F_l este nuevo parámetro astrofísico y lo denominaremos densidad de flujo monocromático de radiación o simplemente flujo monocromático. Luego :

(6.14)

El flujo integrado será entonces :

(6.15)

Teniendo en cuenta la relación (6.10), el flujo anterior puede descomponerse de la siguiente manera :

(6.16)

Si se elige convenientemente el punto a partir del cual se mide el ángulo q, las dos integrales del segundo miembro pueden interpretarse como flujo saliente y entrante, respectivamente. Si se considera una estrella esférica y elegimos sobre su superficie un elemento de área normal al radio, el flujo entrante es nulo y la densidad de flujo de radiación resulta igual al flujo saliente. Por su parte, si consideramos un elemento de área en el interior de la estrella, F representará el flujo neto total, o bien el balance entre la radiación de todas las longitudes de onda que sale respecto de la que entra en el punto considerado.

Como es fácil imaginar, la densidad de flujo de radiación en cualquier punto de un campo isótropo es nula. Esta propiedad, usualmente conocida como segunda propiedad de un campo isótropo, resulta evidente de las expresiones (6.10) y (6.14). En efecto, de ambas expresiones se desprende que :

, (6.17)

expresión ésta que se anula en cualquier punto del campo isótropo considerado al anularse la integral.

Otro parámetro astrofísico usado a menudo es la radiancia o emitencia de una fuente. Por definición, la radiancia monocromática L_l es la cantidad de energía por unidad de tiempo e intervalo de longitud de onda que atraviesa la unidad de área hacia todo un semiespacio. Es decir :

(6.18)

La radiancia integrada será entonces :

(6.19)

Es evidente que en la superficie de una estrella, la radiancia y la densidad de flujo de radiación serán coincidentes. Para un campo isótropo existe una relación simple entre la radiancia y la intensidad específica. En efecto, de (6.17) se tiene :

(6.20)

La integral de la expresión anterior se resuelve de la siguiente manera :

Luego: (6.21)

La expresión (6.21) representa la tercera propiedad de un campo de radiación isótropo.

SOLUCIÓN FORMAL DE LA ECUACIÓN DEL TRANSPORTE

RADIATIVO

Vamos ahora a considerar el caso general de una fotosfera en la cual existe material en condiciones de absorber y emitir radiación. Nuestro propósito es encontrar una solución general de la ecuación del transporte radiativo (7.13), obtenida para una atmósfera plano-paralela. Haciendo nuevamente la sustitución m = cos q, la ecuación a resolver es la siguiente :

(7.18)

Se trata pues de una ecuación diferencial lineal, de primer orden y con coeficientes constantes. Para encontrar la solución general multiplicamos ambos miembros de (7.18) por el factor de extinción

y dividimos luego por la variable m. Así obtenemos :

Luego :

Integrando la ecuación anterior entre dos profundidades ópticas

se tiene:

en la cual t_n es la profundidad óptica t_n tomada como variable de integración. Multiplicando ambos miembros de la expresión anterior por

y despejando resulta :

(7.19)

Para comprender el significado físico de la solución general (7.19) regresaremos por un momento a los dos casos particulares antes considerados: la capa de espesor finito y la atmósfera semi-infinita.

En el primer caso (capa finita), consideraremos

(frontera superior) y

(frontera inferior). La (7.19) se escribirá ahora de la siguiente manera :

, (7.20)

válida para 0 < m £ 1.

El primer término del segundo miembro de (7.20) representa claramente la intensidad específica que alcanza la frontera superior de la capa según la dirección m, proveniente de la frontera inferior cuya profundidad óptica es T_n. La exponencial

es el factor de extinción en la dirección considerada. Por su parte, el segundo término del segundo miembro de (7.20) representa la intensidad específica monocromática emitida en cada punto de la capa en la dirección considerada, correspondientemente atenuada por el factor de extinción e integrada sobre todo el espesor óptico de la capa. Esta última aseveración se constata fácilmente si se tiene en cuenta la expresión (6.55). En efecto, de acuerdo a esa expresión, el incremento de la intensidad específica dI_n producido por una masa de densidad r que emite en la dirección de propagación ds es j_nr ds, o bien, j_nr dx/cosq. Si expresamos dx en función de dt_n, el incremento anterior dI_ndebería ser: -S_n dt_n/cosq. La fracción de intensidad creada en cada punto que alcanza la frontera superior de la capa será pues: Integrando esta última expresión sobre todo el espesor óptico de la capa finita (entre T_n y 0) y cambiando los límites de integración, se obtiene el segundo término del segundo miembro de la expresión (7.20). Si se considera el caso en que ,

y valores de m negativos, se obtiene entonces la expresión de la radiación emergente por la frontera inferior.

En el caso particular de que la función fuente S sea constante dentro de la capa y que no haya intensidad incidente sobre la frontera inferior, la (7.20) permite expresar la intensidad de un rayo emergente por la frontera superior, normal a la capa (m = 1), de la siguiente manera :

Si T_n>> 1, resulta directamente I_n(0,1) = S. Es decir, si la función fuente es constante en una capa de espesor finito ópticamente gruesa (T_n >> 1) sobre la cual no incide radiación por la frontera inferior, la intensidad específica monocromática que emerge normalmente de dicha capa es igual a la misma función fuente.

Para interpretar físicamente la solución (7.19) en el caso de una atmósfera semi-infinita tomaremos = 0 y haremos tender

a infinito. El primer término de la solución general (7.19) desaparece en este caso en virtud de la condición límite impuesta en (7.14). En consecuencia, se tendrá ahora :

(7.21)

Si sólo se consideran valores de m positivos (radiación emergente), la fórmula anterior expresa el hecho de que la intensidad emergente de una atmósfera semi-infinita en una dirección m, está dada por la suma sobre todas las profundidades ópticas t_n de las intensidades generadas en cada profundidad t_n correspondientemente atenuadas por el factor

La ecuación (7.21) constituye la forma integral básica de la ecuación del transporte radiativo. Si pudiésemos resolver esta ecuación estaríamos en condiciones de expresar lo que predice la teoría. Sin embargo, para efectuar la integración en (7.21) debemos conocer de qué manera varía la función fuente con la profundidad óptica t_n. Hemos visto que en ciertos casos S_n se reduce a funciones simples tales como B(n,T) o J_n. En ocasiones, sin embargo, S_n puede resultar una función muy complicada.

A manera de ejemplo ilustrativo, calcularemos la intensidad específica monocromática emergente de una atmósfera semi-infinita caracterizada por una función fuente lineal de la forma :

S_n (t_n) = a + bt_n (7.22)

Reemplazando (7.22) en (7.21) resulta :

Haciendo el cambio de variables x = t_n/m, se obtiene :

(7.23)

La primera de las integrales del segundo miembro es obviamente la unidad, en tanto que la segunda puede resolverse “por partes”, llamando m = x y dv = e^-x. Dado que con esta sustitución dm = dx y v = e^-x, resulta :

El primer término del segundo miembro se anula ya que al aplicar la regla de L’Hópital resulta :

Por lo tanto, si S_n es una función lineal de la profundidad óptica, la intensidad específica monocromática emergente de la atmósfera semi-infinita resulta una función lineal de la variable m :

I_n(0,m) = a + bm (7.24)

En general, para resolver el problema es necesario conocer la función fuente lo que no siempre es posible.

Consideremos ahora un punto arbitrario interior a una atmósfera semi-infinita, ubicado a una profundidad óptica t_n. Supondremos que no incide radiación sobre la superficie de la atmósfera y admitiremos además que es válida la condición de contorno (7.14). La intensidad I_n(t_n,m) resultante en el punto a profundidad óptica t_n y en la dirección considerada debe ser la suma algebraica de las intensidades emergente

e incidente

en ese punto, según la dirección considerada (Figura 7-8). Obviamente, m será positivo y negativo en uno y otro caso, respectivamente.

Consideremos en primer lugar la radiación emergente del punto considerado. Si el ánguloq se mide como indica la Figura 7-8, la radiación emergente corresponde a los valores angulares comprendidos en el intervalo3p/2<q£p/2, o bien 0<m£1. Para poder aplicar la solución general (7.19) consideraremosy haremos tender

a infinito. En ese caso, teniendo en cuenta (7.14), resulta :

, (7.25)

válida para losrayos comprendidos en el intervalo0<m £1.

Pero el punto considerado también recibe radiación puesto que no se encuentra sobre la frontera superior. Considerando ahora y

, la radiación incidente resulta de (7.19) de la siguiente manera

, (7.26)

válida para losrayos comprendidos en el intervalo –1£m<0.

La solución completa de la ecuación del transporte radiativo en un punto cualquiera de una atmósfera estelar semi-infinita, de capas plano-paralelas, estará dada por la suma de (7.25) y (7.26) :

(7.27)

Debe tenerse en cuenta que el primer término de la expresión anterior es válido para0<m£1, en tanto que el segundo es válido para –1£m<0. Al igual que antes, para poder conocer la intensidad específica monocromática en un punto cualquiera de una fotosfera es necesario conocer la función fuente.

Al considerar el caso particular de la atmósfera semi-infinita, lo que en verdad nos interesa es poder predecir teóricamente cuál es la intensidad específica monocromática emergente en una cierta dirección. Este resultado, obtenido en(7.21), es muy importante porque nos permite efectuar comparaciones con las observaciones de la superficie solar. No debemos perder de vista que estamos suponiendo que el transporte de energía es sólo radiativo y que las capas fotosféricas son plano-paralela

La (7.21) es una ecuación integral relativamente simple. Lamentablemente, en la mayoría de los casos S_n es una función bastante complicada. Si la función fuente S_nestá dada por la expresión (6.62) puede considerarse relativamente simple, pero aún así existen problemas para conocer el campo radiativo porque S_ndepende de J_n, la que a su vez depende del campo radiante I_n. Estamos pues dentro de un círculo vicioso, motivo por el cual construiremos de otra manera los modelos de atmósferas estelares.

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martes, 5 de abril de 2016

Astronomía y astrofísica

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RADIATIVO

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