Cálculo vectorial

Definición de vectores .

Un vector es un segmento de recta orientado en el espacio y se caracteriza por •  su origen o punto de aplicación, O, y su extremo A ; •  su dirección, la de la recta que lo contiene; •  su sentido, el que indica la flecha; •  su módulo, la longitud del segmento OA.

 

Suma y resta de vectores.

La suma o resta de vectores es otro vector a + b = suma que tiene por coordenadas la suma de las coordenadas de los dos vectores. a + b = suma = (a1 + b1,a2 + b2) En el applet inferior se puede observar la suma y la resta de vectores si seleccionamos la opción que aparece debajo del panel de selección de vectores. La resta a - b equivale a sumar dos vectores a + b1 donde b1=-b.

 

Producto de un escalar por un vector.

El producto de un escalar, k,  por un vector r es otro vector, kr, de la misma dirección que r y cuyo sentido viene determinado por el signo de k. Si k = 0, el vector kr es el vector nulo. A la derecha puede observarse como aumentando el valor de k aumenta el vector v2. El vector v2 es k veces el vector v1 en módulo.

 

Producto escalar de dos vectores.

Dados dos vectores a y b se llama producto escalar del vector a por el vector b (se lee a multiplicado escalarmente porb, o a escalar b ), al escalar fruto de la siguiente operacion a · b =  axbx+ayby. Puede comprobarse que la anterior operación puede también expresarse como el producto de los módulos de ambos vectores multiplicado por el coseno del ángulo,θ,  que forman entre sí, es decir, a · b = a b cosθ. También se puede decir que el producto escalar nos proporciona el valor de la proyección de un vector sobre el otro.

 

Producto vectorial de dos vectores.

Dados dos vectores a y b , se llama producto vectorial de a por b o a x b (se lee a multiplicado vectorialmente por b ) a un vector p perpendicular al plano formado por los dos vectores (dirección del vector). El sentido de dicho vector es el de avance de un tornillo de rosca a derechas que girara del primer vector hacia el segundo por el camino más corto. El módulo del vector producto vectorial es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el seno de ángulo, θ, que forman (tomado desde a hasta b). |p| =| a  x b| = a b sinθ p= a  x b= a b sinθ  u donde u es el vector unitario en la dirección perpendicular al plano formado por a y b. Producto escalar El producto escalar es una multiplicación entre dos vectores que da como resultado un escalar. Para vectores expresados en coordenadas cartesianas el producto escalar se realiza multiplicando cada coordenada por la misma coordenada en el otro vector y luego sumando los resultados. Para vectores expresados en forma polar (módulo de cada uno y ángulo entre ellos) se calcula multiplicando los dos módulos por el coseno del ángulo que separa a los vectores. Producto escalar de dos vectores  Dados dos vectores,1,2  , se define Producto Escalar de  1y2, y se representa  por 1 .2  alNÚMERO obtenido multiplicando los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman. 1 .2 = |1|.|2|. cos () El producto escalar de dos vectores cumple una serie de propiedades.  Las escenas que siguen te ayudarán a estudiarlas. La escena calcula el Producto escalar de dos vectores V1 y V2.    1. Modifica los vectores v1 y v2 y estudia cómo se calcula su producto escalar (pulsa el control Prod. Esc.). Comprobando propiedades Modifica los vectores de la escena para comprobar  las siguientes propiedades: 4. Justifica en tu cuaderno de trabajo las propiedades comprobadas. Ya conoces el producto escalar de dos vectores. Vamos a abordar ahora dos problemas de gran importancia en el estudio de la geometría analítica : "Conocidas las coordenadas de dos vectores, determinar sus módulos y el ángulo que forman"  Para poder acceder al cálculo de distancias y ángulos , necesitamos calcular el producto escalar de dos vectores conocidas sus coordenadas; la expresión que obtendremos recibe el nombre de Expresión analítica del producto escalar.  Expresión analítica del producto escalar Si las coordenadas de dos vectores u y v respecto a una base ortonormal son u (u1,u2) y v(v1,v2) entonces el producto escalar u.v adopta la siguiente expresión: u.v = u1.v1+u2.v2 La escena siguiente calcula el producto escalar aplicando la expresión anterior y determina elángulo que forman dos vectores y el módulo de cada uno de ellos. Ejercicios 1. Activa los controles v1, v2, Prod. Escalar y Exp.Anal. , observa el cálculo del producto escalar a partir de sus coordenadas y compara los resultados obtenidos por ambos procedimientos. Modifica los vectores y comprueba cómo los dos resultados coinciden en todos los casos. 2. Activa el control Módulo y analiza cómo se calcula el módulo de un vector a partir de sus coordenadas. 3 Activa el control Ángulo y analiza cómo se calcula el ángulo que forman dos vectores. 2. Respecto de una base ortonormal tenemos: u(2,-3) y v(3,1).  Calcula u.v, |u|, |v| y el ángulo que forman. 3. Representa los siguientes pares de vectores, calcula el producto escalar  y el ángulo que forman. ¿Cómo son estos vectores? (2,-1) y (1,-2) (2,-3) y (3,2) (-2, 4) y (4, -2) (0,-3) y (3,0) 4.¿Cuánto ha de valer x para v (x,1) sea perpendicular a  u (2,-3).                                              Ayuda 5. Determina un vector perpendicular al vector u (-3,4).

Tipos de bases en el plano

Combinación lineal de vectores

Producto escalar de vectores

Ejemplos

Vector unitario