Cálculo vectorial

Producto vectorial

El producto vectorial tiene asociada también una relación geométrica que se descubre a partir del cálculo de la altura del triángulo formado por los vectores A , B y A-B de la Figura 1 , en función de las componentes de los vectores A y B.

A partir del teorema de Pitágoras:

Se despeja la altura

Se reemplaza por la relación expresada en la Ecuación 1

Se multiplica toda la ecuación por el común denominador del lado derecho y se obtiene:

Se simplifica el lado derecho de la igualdad

Para lo cual se utiliza la expresión

Finalmente se reduce el resultado:

Ecuación 5 Magnitud del producto vectorial en función de las componentes rectangulares

A partir de una operación matricial simple también puede obtenerse un vector cuya magnitud sea

Ecuación 6 Producto vectorial de dos vectores

La magnitud de este vector es la misma magnitud obtenida por procedimiento geométrico.

Al vector indicado en la Ecuación 6 se denomina producto vectorial de A y B .

Este vector es perpendicular a A y a B dirigido según la ley de la mano derecha tomada desde A hasta B.

Cuando se invierten las dos últimas filas del determinante de la Ecuación 6 se obtiene un vector igual pero negativo, de donde se deduce la relación expresada en la Ecuación 7 conocida como propiedad anticonmutativa del producto vectorial.

Esta misma relación geométrica se muestra en la Figura 3 :

Ecuación 7 Anticonmutatividad del producto vectorial.

Figura 3. Producto vectorial.

Ver Simulación

Como se puede deducir de la Ecuación 5 , el producto vectorial de un vector por si mismo es nulo.

El producto vectorial cumple además la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.

Ecuación 8 Propiedad distributiva del producto escalar con respecto a la suma

Se llama producto vectorial o producto cruz de vectores 

a

 y 

b

 el vector 

c

, cuya longitud númericamente equivale al área del paralelogramo constuido en vectores 

a

 y

b

, perpendicular al plano de estos vectores y dirigido de tal manera que la revolución mínima del 

a

 hacia 

b

 en torno al vector 

c

 se haga de la derecha a la izquierda, si verlo del final del vector 

c

.

Producto vectorial v 

a

 = 

{x₁; y₁; z₁}

 y 

b

 = 

{x₂; y₂; z₂}

 ven el sistema cartesiano de coordenadas – es un vector, cuyo valor se puede calcular, utilizando las fórmulas siguientes: 

a  ×  b  =	i	j	k	= i(y1z2 - z1y2) - j(x1z2 - z1x2) + k(x1y2 - y1x2)
	x1	y1	z1
	x2	y2	z2

или

a

 × 

b

 = 

{y₁ z₂ - z₁ y₂; z₁ x₂ - x₁ z₂; x₁ y₂ - y₁ x₂}

 

Propiedades del producto vectorial

• Interpretación geométrica geométrico del producto vectorial. Módulo del producto vectorial de dos vectores 
  a
   y 
  b
  equivale al área del paralelogramo construído en estos vectores.
• Producto vectorial de dos vectores que no son nulos 
  a
   y 
  b
   equivale a cero sólo cuando los vectores son colineales
• Si el vector 
  c
   equivale al producto vectorial de los vectores 
  a
   y 
  b
  , entonces es perpendicular a estos vectores.
• a
   × 
  b
   = -
  b
   × 
  a
• (
  k
   
  a
  ) × 
  b
   = 
  a
   × (
  k
   
  b
  ) = 
  k
   (
  a
   × 
  b
  )
• (
  a
   + 
  b
  ) × 
  c
   = 
  a
   × 
  c
   + 
  b
   × 
  c

Ejemplo 1. Calcular producto vectorial de los vectores 

a

 = 

{

1; 2; 3

}

 y 

b

 = 

{

2; 1; -2

}

.
Решение

a  ×  b  =	i	j	k	=
	1	2	3
	2	1	-2

 = 

i

(2 · (-2) - 3 · 1) - 

j

(1 · (-2) - 2 · 3) + 

k

(1 · 1 - 2 · 2) = 

{

-7; 8; -3

}

El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y susentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

Ejemplos: 

Calcular el producto vectorial de los vectores  = (1, 2, 3) y  = (−1, 1, 2).

Dados los vectores  y , hallar el producto vectorialde dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a  y .

El producto vectorial de  es ortogonal a los vectores  y .