Cálculo vectorial

Sistemas de coordenadas

Se muestran tres diferentes sistemas ortogonales de coordenadas de uso común en estudios de electromagnetismo.

Las matrices de transformación entre los diferentes sistemas de coordenadas cumplen todas las propiedades algebraicas para transformaciones ortonormales, a saber:

• La matriz de transformación directa es simplemente la transpuesta de la matriz de transformación inversa.
• El determinante de la matriz de transformación es unitario.

Coordenadas Rectangulares

En el sistema de coordenadas rectangulares, también denominadas coordenadas cartesianas en honor a su inventor, el matemático francés Rene Descartes, la posición de un punto se encuentra determinada por tres números independientes que definen las distancias a los llamados planos coordenados.

En la Figura 4 , se pueden observar los tres planos coordenados que forman ángulos rectos entre si y cuyas intersecciones son los llamados ejes coordenados.

Las distancias perpendiculares medidas a los planos coordenados constituyen las coordenadas de la posición del punto dado.

Figura 4. Sistema de coordenadas cartesianas.

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Un vector en coordenadas cartesianas se puede notar usando las proyecciones del vector sobre los ejes coordenados y un conjunto de tres vectores directores que apuntan en dirección de dichos ejes.

En la Figura 5 , se muestran los vectores unitarios directores del sistema de coordenadas rectangulares.

Figura 5. Vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas.

De acuerdo con las propiedades del producto escalar, un vector cualquiera se nota en el sistema de coordenadas cartesianas como:

Donde,  son las proyecciones del vector A sobre los ejes coordenados x, y , z respectivamente y son los vectores unitarios directores del sistema de coordenadas cartesianas.

El vector posición de cualquier punto en coordenadas cartesianas por tanto viene dado por:

Ecuación 9 Vector posición en coordenadas cartesianas.

Los productos vectoriales de los vectores directores del sistema de coordenadas cartesianas siguen una regla de rotación, la cual se ilustra en la Ecuación 10 .

Ecuación 10 Rotación en los productos vectoriales del sistema cartesiano.

Coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas utiliza como base el sistema de coordenadas polares en 2D proyectado hacia el espacio usando la coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas.

En este sistema, las coordenadas x e y son reemplazadas por un vector dirigido a la proyección del punto sobre el planoXY cuya magnitud es igual a la distancia del punto al eje z , la cual es la primera coordenada del sistema. El ángulo de dirección de dicho vector medido con respecto al semieje x positivo constituye la segunda coordenada del sistema y la tercera coordenada coincide con la coordenada z del sistema cartesiano.

En la Figura 6 , pueden observarse las tres coordenadas asociadas a un punto en el sistema cilíndrico de coordenadas.

Figura 6. Sistema de Coordenadas cilíndricas

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En este sistema de coordenadas al igual que en el sistema cartesiano, existen tres vectores directores que permiten indicar la dirección de un vector. La Figura 7 , ilustra los tres vectores directores del sistema.

Figura 7. Vectores directores del sistema de coordenadas cilíndricas.

Un vector en coordenadas cilíndricas queda definido por:

Donde  es la proyección radial del vector con respecto al eje z sobre el plano XY ,  es la componente angular medida con respecto al semieje x positivo y  coincide con la componente cartesiana del mismo nombre.

Al igual que en el sistema cartesiano, los productos vectoriales de los vectores directores del sistema de coordenadas cilíndricas siguen una regla de rotación, la cual se ilustra en la Ecuación 11 .

Ecuación11 Rotación en los productos vectoriales del sistema de coordenadas cilíndricas.

El vector posición de cualquier punto en coordenadas cilíndricas queda definido por:

Los vectores  del sistema de coordenadas cilíndricas, cambian de dirección de acuerdo con la coordenada ; a diferencia de los vectores del sistema cartesiano que son constantes e independientes de las coordenadas.

Esta característica que se ilustra en el Ejemplo 7 , debe ser tomada en cuenta para la derivación o integración directa cuando se involucra la coordenada .

Para estos casos, resulta muy conveniente usar las identidades de los vectores unitarios que permiten convertir un vector de un sistema de coordenadas a otros.

En la Ecuación 12 se muestra la matriz de transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas y en la Ecuación 13 la matriz de transformación inversa.

Estas matrices fueron obtenidas por el método de suma de proyecciones de un sistema de coordenadas sobre otro, por lo que los productos escalares entre vectores de diferentes sistemas de coordenadas pueden obtenerse de forma directa por el cruce de filas y columnas de la matriz directa o inversa.

Ecuación 12 Transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas.

Ecuación 13 Transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas.

Coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas esféricas se utilizan también tres coordenadas para notar la posición de un punto o un vector en un espacio tridimensional, dos de estas coordenadas son angulares y una de ellas es métrica.

Se utiliza la longitud de un vector ( R ) que une el origen de coordenadas con punto dado, el ángulo que este vector forma con el semieje z positivo  y el ángulo que su proyección sobre el plano XY forma con el semieje X positivo , tal como se muestra en la Figura 8 .

Los ángulos  y  toman los nombres de ángulo polar y ángulo azimutal respectivamente.

Figura 8. Sistema de coordenadas esféricas.

En este sistema de coordenadas al igual que en los anteriores, existen tres vectores directores que permiten indicar la dirección de un vector y que se muestran en la Figura 9 .

Un vector en coordenadas esféricas queda definido por:

Donde  es la proyección radial del vector con respecto al origen de coordenadas,  es la componente angular medida con respecto al semieje x positivo proyectada sobre el plano XY y  es la proyección en dirección de incremento del ángulo .

Figura 9. Vectores directores del sistema de coordenadas esféricas.

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En el sistema de coordenadas esféricas, los productos vectoriales de los vectores directores también siguen una regla de rotación, la cual se ilustra en la Ecuación 14 .

Ecuación14 Rotación en los productos vectoriales del sistema de coordenadas esféricas.

El vector posición de cualquier punto en coordenadas esféricas queda definido por:

En este sistema de coordenadas, la dirección de los tres vectores directores cambia de acuerdo con las coordenadas  y , por lo que no se pueden asumir como constantes en operaciones de derivación, integración o transformación de coordenadas que las involucren.

Para estos casos conviene también usar una matriz de transformación a coordenadas cartesianas como la ilustrada en la Ecuación 15 . En la Ecuación 16 , se muestra la matriz de transformación inversa.

Ecuación 15 Matriz de transformación directa de coordenadas esféricas.

Ecuación 16 Matriz de transformación inversa de coordenadas esféricas.

Mediante la combinación de la Ecuación 13 y la Ecuación 15 se puede obtener una matriz de transformación directa y otra de transformación inversa entre los dos sistemas de coordenadas curvilíneas lo cual completa la totalidad de las transformaciones posibles entre los tres sistemas.

Ecuación 17 Transformación de coordenadas esféricas a cilíndricas

Ecuación 18 Matriz de transformación inversa de coordenadas cilíndricas a esféricas.