domingo, 17 de abril de 2016

El Potencial Electrodinámico

DESCRIPCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDA
Considérese A(z, t) como un potencial vectorial electrodinámico dependiente del espacio z y del tiempo t que cumple con la ecuación de onda en un medio libre de fuentes, es decir, dondediv A(z, t) = 0.

La ecuación de onda para el potencial A(z, t) es:


La velocidad de fase o velocidad de propagación de la onda es la distancia z que recorre la onda en un instante de tiempo t

V = z / t

Por lo tanto, se puede deducir que z = Vt.

Recordando que

  (1)

entonces:


sustituyendo z = Vt en la ecuación (1), se puede llegar a la siguiente expresión


En el vacío, V = c = ( m 0 x 0 )-½, es la velocidad de la luz, aproximadamente 300.000Km/s.

En términos generales, los campos que cumplen con la ecuación de onda son de la forma

f(z, t) = f( z ± Vt )

donde z ± Vt es la fase de la onda.

Entonces el potencial A(z,t) puede ser expresado de la siguiente manera

A(z, t) = A1 f1( z - Vt ) + A2 f2( z + Vt )


Donde el primer término representa a la onda incidente y el segundo término a la onda reflejada. A1 y A2 son dos vectores constantes en el tiempo y en el espacio.


Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales
La ecuación de una onda es una función de la posición y del tiempo, y = f (x,t ). Una onda armónica unidimensional es aquella que propagándose en una dimensión puedes describirla mediante una función sinusoidal (seno o coseno).
Supón que el extremo de una cuerda tensa vibra con un m.a.s.. Los distintos puntos de la cuerda describirán movimientos armónicos de las mismas características. Puedes observar que es así en la animación adjunta. Observa como el punto rojo vibra con el mismo m.a.s. que el extremo de la cuerda
Animación 6. Melde. Creative commons
La elongación del extremo (x=0) de la cuerda en un instante será:
donde  es la separación máxima de la posición de equilibrio y se denomina amplitud.

Si la perturbación se mueve con una velocidad constante , la elongación de un punto situado en la posición x en el instante t será:
que es la que tenía el extremo (),  segundos antes.

Teniendo en cuenta que la pulsación del movimiento armónico es ,
 
Teniendo en cuenta la relación entre el período y la longitud de onda, , la ecuación de la onda puedes expresarla en la forma:

Icono IDevice
La ecuación de una onda armónica puede expresarse:
 
Imagen 6.Fffred. Dominio público
Al ángulo se le denomina fase de la onda ya que define el estado de vibración del punto  en el instante , y  es la constante de fase o fase inicial.
Si la diferencia de fase entre dos puntos es 2radianes, están en fase, ya que su estado de vibración es el mismo. Por el contrario, si la diferencia de fase es de radianes, están en oposición de fase y sus estados vibratorios son opuestos.



Descripción de la propagación: Función de onda

El objetivo de este apartado es establecer la ecuación que nos permita conocer el valor de la posición de cualquier punto del medio en que se propaga la perturbación en cada instante. Esta ecuación se llama función de onda.
Por "la posición de cualquier punto", me refiero a y, la separación del punto de la posición de equilibrio.
La función de onda, como es válida para todos los puntos y para todos los tiempos, será función de x y de t.
y =f (x,t)
Recuerda que cada punto repite lo que hizo el foco en un tiempo anterior.
Tenemos una cuerda por la que se propaga un pulso.
Situamos la cuerda en un sistema de referencia O y el pulso alejándose del origen.
Tratamos de representar la forma del pulso en el instante t=0 mediante la función matemática que representa la altura frente a la distancia y =f(x).
pulso
Admitimos que el pulso no varía de forma mientras avanza.
Introducimos un nuevo sistema O', que se mueve con la misma velocidad del pulso v. En este nuevo sistema de referencia el pulso estará descrito por la función matemática y' =f(x') que nos dará su forma en cada instante.
Los coordenadas en los dos sistemas de referencia están relacionadas entre sí :
y=y'
x=x' + a=x' + vt
a=vt e igual a la separación de los sistemas de referencia, donde t es el tiempo y la función "se mueve" con velocidad v.
Por lo tanto la forma del pulso en el sistema O puede describirse por:
y =f(x- vt)
y describe la propagación de una perturbación representada por la función f(x), sin distorsión, a lo largo del eje X, hacia la derecha y con velocidad v.
Esto equivale a conocer en el sistema de referencia O la altura "y" para cada punto "x" en cada instante (ecuación de la ordenada en función de t) . Conociendo como varían las posiciones con el tiempo podemos predecir donde estarán en el futuro. Hemos logrado una expresión del tipo y=f(x,t)
Si se diera un pulso con desplazamiento hacia la izquierda la función sería y =f(x+a)=f(x+vt).
El pulso puede tener cualquier forma, onda, diente de sierra, etc., pero siempre existirá una función matemática que lo describa.
Esta función matemática se llama función de onda.
En el caso de una onda que se propaga en una cuerda, la función de onda representa el desplazamiento vertical de la cuerda en un punto "x" en el tiempo "t".
Describe la posición de los puntos por los que pasa la onda en función del tiempo que transcurrió desde que se inicio y de la distancia al punto donde se originó.
La función de onda es la solución matemática de la ecuación de onda.
La función de onda se puede aplicar también a una onda longitudinal. En el gráfico inferior la perturbación que recorre un medio es un pulso y las partículas están vibrando y separándose de la posición de equilibrio.
El pulso que origina en este ejemplo una onda longitudinal es un pulso de sonido, pero el tratamiento matemático es el mismo que vimos para las transversales. El desplazamiento horizontal variable "X", es función de la posición y del tiempo: X= f(x-vt)
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Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

Conociendo una propiedad física del medio en que se transmite la onda (la presión de un punto del aire, el campo eléctrico o simplemente el desplazamiento de un punto en una cuerda), podemos escribir una ecuación diferencial que exprese su comportamiento en función del tiempo.
En el desplazamiento de una cuerda arriba y abajo al pasar la onda esa propiedad es "y" (el desplazamiento vertical):
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Estamos describiendo un movimiento ondulatorio que se propaga a lo largo del eje X, sin distorsión y con velocidad v.
Podemos comprobar que una solución de ésta ecuación diferencial es la función de onda y =f (x - vt).

La función de onda armónica satisface la ecuación diferencial

La función de onda que describe cualquier movimiento ondulatorio armónico (el pulso no es armónico) que se propaga con velocidad v y sin distorsión, a lo largo del eje de abscisas es:
y(x,t)=A sen k (x - v ·t)
Esta expresión corresponde a la de una onda armónica y satisface la ecuación diferencial anterior. Podemos comprobarlo derivando dos veces, primero respecto a t y luego respecto a x:
Derivando de nuevo:
Análogamente derivando respecto a x:
Se cumple que:




Ondas hacia la derecha

Debe admitir como soluciones las de la forma
y = f(x-vt)\,
que representan señales que se propagan hacia la derecha sin deformarse.

3 Ondas hacia la izquierda

Una cuerda, u otro sistema vibrante, normalmente es simétrica respecto al sentido de propagación de las ondas. No hay diferencia entre agitar el extremo de la izquierda y producir una onda que se mueve hacia la derecha, que agitar el de la derecha y que la onda resultante se mueva hacia la izquierda.
Por tanto, la ecuación diferencial buscada debe admitir también soluciones de la forma
y = g(x+vt)\,
con g una función arbitraria.

4 Superposición

La ecuación resultante debe admitir además que sobre la misma cuerda vibrante se propaguen simultáneamente dos o más señales, sin afectarse mutuamente. Por ello la solución general debe ser de la forma
y = f(x-vt) + g(x+vt)\,

5 Derivando una vez

La solución general es una función de dos variables, x y t, siendo la velocidad de las ondas una constante. Necesitamos una ecuación que ligue las derivadas parciales respecto a la posición y respecto al tiempo.

5.1 Derivando respecto al espacio y al tiempo

Comenzamos con las soluciones de la forma y = f(x − vt), donde f es una función arbitraria de una sola variable, esto es que podemos escribir estas soluciones en la forma
y(x,t) = f(s)\qquad s = x - vt
esto es, y depende de x y t no de cualquier forma, sino a través de la combinación definida por s. Si ahora derivamos respecto a la posición x, aplicando la regla de la cadena
\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}s}\,\frac{\partial s}{\partial x} = f'(s)
ya que
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}s}=f'(s)    \frac{\partial s}{\partial x} = 1
Si derivamos respecto al tiempo, nos resulta
\frac{\partial y}{\partial t} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}s}\,\frac{\partial s}{\partial t} = -v f'(s)
donde la derivada de s respecto al tiempo vale
\frac{\partial s}{\partial t} = \frac{\partial(x-vt)}{\partial t}= -v
Eliminando f'(s) entre las dos derivadas obtenemos la relación
\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{1}{v}\,\frac{\partial y}{\partial t}
Esta ecuación en derivadas parciales la verifican todas las soluciones de la forma y = f(x − vt). Sin embargo, como veremos, eso no es suficiente para nuestros objetivos.

5.2 El problema del signo

La ecuación anterior nos vale para las ondas que viajan hacia la izquierda, pero no para las que van hacia la derecha. Si realizamos un análisis similar para las soluciones de la forma
y(x,t) = g(x+vt)\,   \Rightarrow   \frac{\partial y}{\partial x}=+\frac{1}{v}\,\frac{\partial y}{\partial t}
que no es la misma ecuación que en el caso anterior. Por ello, no nos vale ni una ni la otra, pues deseamos una ecuación que valga para los dos a la vez.

5.3 ¿Elevar al cuadrado?

Una posibilidad de eliminar el problema del signo es elevar al cuadrado los dos miembros, de forma que obtenemos la ecuación diferencial
\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)=\frac{1}{v^2}\,\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2
Esta ecuación la verifican tanto las soluciones de la forma f(x − vt) como las de la forma g(x + vt), pero no la combinación de ambas f(x − vt) + g(x − vt), por lo que tampoco nos vale.
Por ejemplo, consideremos las funciones sencillas
y_1= x-vt\,    y_2=x+vt\,     y_3=y_1+y_2 = 2x\,
Para la primera tenemos
\frac{\partial y_1}{\partial x} = 1    \frac{\partial y_1}{\partial t} = -v   \Rightarrow   \left(\frac{\partial y_1}{\partial x}\right)=\frac{1}{v^2}\,\left(\frac{\partial y_1}{\partial t}\right)^2
Del mismo modo, para la segunda
\frac{\partial y_2}{\partial x} = 1    \frac{\partial y_2}{\partial t} = v   \Rightarrow   \left(\frac{\partial y_2}{\partial x}\right)=\frac{1}{v^2}\,\left(\frac{\partial y_2}{\partial t}\right)^2
Pero, para la tercera
\frac{\partial y_3}{\partial x} = 2    \frac{\partial y_3}{\partial t} = 0   \Rightarrow   \left(\frac{\partial y_3}{\partial x}\right)=4\neq 0 = \frac{1}{v^2}\,\left(\frac{\partial y_3}{\partial t}\right)^2
Por tanto, debemos seguir buscando una ecuación más general.

6 Derivando dos veces

Volvamos a las soluciones de la forma y = f(x − vt), y calculemos su segunda derivada respecto a la posición
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{\partial }{\partial x}\left(f'(s)\right) = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}s}\left(f'(s)\right)\,\frac{\partial s}{\partial x} = f''(s)
Si derivamos respecto al tiempo, nos resulta
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \frac{\partial }{\partial t}\left(-vf'(s)\right) = -v\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}s}\left(f'(s)\right)\,\frac{\partial s}{\partial t} = v^2f''(s)
Eliminando f''(s) entre las dos derivadas obtenemos la relación
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
Veamos si esta ecuación nos vale.
  • Según acabamos de ver, es satisfecha por las funciones de la forma
y_1(x,t) = f(x-vt)\,   \Rightarrow   \frac{\partial^2 y_1}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 y_1}{\partial t^2}
  • Puesto que la velocidad aparece al cuadrado, también es satisfecha por las ecuaciones que viajan hacia la izquierda
y_2(x,t) = g(x+vt)\,   \Rightarrow   \frac{\partial^2 y_2}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 y_2}{\partial t^2}
  • Al ser la derivada de la suma la suma de las derivadas, también es satisfecha por una combinación de las soluciones anteriores
y=y_1+y_2=f(x-vt) = g(x+vt)\,   \Rightarrow   \frac{\partial^2 y}{\partial^2 x}=\frac{\partial^2 y_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 y_2}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 y_1}{\partial t^2}+\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 y_1}{\partial t^2}=\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
Puesto que cumple todas las condiciones, esta sí es la ecuación que estamos buscando.

7 Redefinición de onda

7.1 Ecuación de onda

Reescribiendo el resultado anterior, tenemos que la ecuación de onda en una dimensión es
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=0
El procedimiento, a partir de este punto, es darle la vuelta al razonamiento. Se define la ecuación de onda como esta ecuación diferencial.

7.2 Definición de onda

A partir de la ecuación anterior, una onda se define matemáticamente como una solución de la ecuación de onda.
Puede demostrarse que la solución general de esta ecuación es de la forma
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=0   \Rightarrow   y(x,t)=f(x+vt+g(x-vt)\,
esto es, que no hay más soluciones que las que ya conocemos.
Hay que señalar que, al ser f y g funciones arbitrarias, la forma de la solución y(x,t) puede ser muy diversa. En particular no tiene por qué resultar una onda viajera.

7.3 Una onda que no viaja

Por ejemplo, la onda estacionaria
y = A\cos(\omega t)\cos(k x)\,
en la que las crestas no se desplazan, sino que simplemente suben y bajan, es una onda, ya que es solución de la ecuación diferencial.
Las segundas derivadas valen
\frac{\partial^2y}{\partial x^2} = -k^2A\cos(\omega t)\cos(k x)=-k^2y        \frac{\partial^2y}{\partial x^t} = -\omega^2A\cos(\omega t)\cos(k x)=-\omega^2y
Sustituyendo en la ecuación de onda
\frac{\partial^2y}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = -\left(k^2-\frac{\omega^2}{v^2}\right)y
que se anula si hacemos
v = \frac{\omega}{k}
Podemos comprobar que esta solución estacionaria es una combinación de una onda que viaja a la derecha y otra que viaja hacia la izquierda.
y = A\cos(\omega t)\cos(k x) = \frac{A}{2}\cos(\omega t-kx)+\frac{A}{2}\cos(\omega t+ kx) =  \frac{A}{2}\cos(k(x-vt))+\frac{A}{2}\cos(k(x+vt)) = f(x-vt)+g(x+vt)





Descripción de la propagación

propaga.gif (2378 bytes)
Consideremos una función Y =f(x), si reemplazamos x por x-a, obtenemos la función Y =f(x-a). La forma de la curva no cambia, los mismos valores se obtienen de Y para valores de x aumentados en a. Si a es una cantidad positiva, la curva se traslada sin cambiar de forma hacia la derecha desde el origen a la posición a. Del mismo modo Y=f(x+a) corresponde a un desplazamiento de la función hacia la izquierda, en la cantidad a.
Si a=vt, donde t es el tiempo, la función "se desplaza" con velocidad v. Y =f(x-vt) describe la propagación de una perturbación representada por la función f(x), sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v.

Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

Cada vez que conozcamos que una propiedad física Y, por ejemplo el desplazamiento de un punto de una cuerda, satisface la ecuación diferencial
podemos estar seguros que estamos describiendo un movimiento ondulatorio que se propaga a lo largo del eje X, sin distorsión y con velocidad v.
Podemos comprobar que una solución de esta ecuación diferencial es Y =f(x-vt).

Clases de movimiento ondulatorios

  • El movimiento ondulatorio transversal es aquél en el que la dirección de propagación es perpendicular a la dirección de vibración, tal como sucede en una cuerda, o las ondas electromagnéticas.
  • En el movimiento ondulatorio longitudinal coinciden la dirección de vibración y de propagación, un ejemplo es el del sonido.
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