ONDAS O MOVIMIENTO ONDULATORIO

SUPERPOSICIÓN DE ONDAS: INTERFERENCIAS INTERFERENCIAS Cuando dos ondas se cruzan, interfieren y dan en el punto de cruce una resultante de características bien definidas -producto de la combinación de las dos-, pero prosiguensin modificarse la una a la otra, transportando cada una su energía.  En el punto en que se cruzan las ondas, si sigue llegando el tren de ondas, la interferencia se mantiene en el tiempo con las mismas características iniciales de fase o de desfase. Podemos representar los valores de los desplazamientos originados por cada onda respecto a la posición de equilibrio y el efecto de la resultante -suma de las amplitudes-. En esta gráfica podemos ver como varía la distancia a la posición de equilibrio frente al tiempo. Esto se muestra en el applet que veremos aquí. Cuando dos ondas de igual amplitud, dirección y frecuencia interfieren forman una resultante que es la suma de las dos. La suma puede variar entre los siguientes valores: Si las ondas que interfieren están en fase, la onda resultante tendrá la misma dirección, la misma frecuencia y su amplitud será el doble. Si su desfase es de 180º se anulan, no dan onda, se destruyen. Si su desfase se encuentra entre los dos valores anteriores, la onda resultante tendrá la suma/resta de las amplitudes de las dos ondas que interfieren. La resultante será distinta en cada instante. La fase inicial entre las ondas que interfieren se mantiene constante, (a2- a1), y la resultante tendrá una fase distinta, (a), pero tambien constante en el tiempo. Para dos ondas de igual dirección y frecuencia, pero de diferente amplitud y fase que se superponen : y1 =A1sen ( wt -a1) y2 =A2sen ( wt -a2) La resultante es la suma de las dos  yR=A sen ( wt -a)  de amplitud : A 2=A12+A22+2·A1.A2·cos ( a1-a2) Calculamos la fase (a ) de la onda resultante sabiendo que su tangente es: tg a =(A1sen a1+A2sen a2) / (A1cos a1+A2cosa2). Los valores dados por las fórmulas anteriores son fáciles de calcular aplicando el diagrama de Fresnel: Los valores instantáneos son las proyecciones sobre el eje y de los valores de A1 , A2 y la resultante de la superposición (A). y1 =A1 sen ( wt -a1) ; azul y2 =A2 sen ( wt -a2) ; roja yR=A sen ( wt - a)  A 2 =A12+ A22+ 2· A1.A2· cos ( a1-a2) El valor instantáneo de la resultante (yR) es la proyección de A sobre el eje y. La construcción anterior se llama construcción de Fresnel En el siguiente gráfico podemos ver la forma de sumar vectorialmente dos ondas y como representaríamos la suma de más de dos ondas. Suma de ondas de igual amplitud y frecuencia con desfase constante. A es la resultante de dos ondas de igual amplitud desfasadas. El valor en cada momento (instantáneo) de A lo obtendremos al poner a girar A con" w" y hallar su proyección en el eje y. y =Asen ( wt ) Si representamos "y" frente al tiempo se ve una sinusoide   A es la resultante de 4 ondas de igual amplitud y con igual desfase de unas a otras. El valor en cada momento (instantáneo) de A lo obtendremos al poner a girar A con " w" y hallar su proyección en el eje y. y =Asen ( wt ) Si las ondas que interfieren tienen distinta frecuencia, pero con valores próximos, la interferencia da "pulsaciones" o "batidos". La onda denominada pulsación es de amplitud variable (varía entre la suma de las amplitudes de las ondas que la forman y su diferencia) y tiene una frecuencia que es la media aritmética de las frecuencias de las ondas que la forman. (Ver en las figuras inferiores dos ejemplos de "batidos" ) Se puede trazar una envolvente a esta onda resultante o pulsación y comprobar que la envolvente tiene también forma ondulada de tal manera que podremos definir para ella un período: "tiempo que tarda desde una amplitud máxima (suma de las amplitudes) hasta tener otra vez ese mismo valor". La frecuencia del batido es la inversa del período. Cuando dos cuerdas de guitarra vibran con frecuencias muy próximas pero no idénticas oímos un tono oscilante cuya intensidad varía alternativamente entre un valor alto y uno bajo. La frecuencia de esta variación de intensidad es la frecuencia de batido. INTERFERENCIA DE ONDAS PRODUCIDAS POR DOS FUENTES QUE EMITEN ONDAS DE IGUAL FRECUENCIA Teoría Consideremos dos fuentes puntuales S1 y S2 que oscilan en fase con la misma frecuencia angular w, y que emiten ondas armónicas. Cuando emite solamente S1 el punto P describe el movimiento armónico simple (M.A.S.)de amplitud A1 y frecuencia angular w .y 1=A1sen(kr1-w t) Cuando emite solamente S2 el punto P describe el M.A.S. de amplitud A2 y frecuencia angular w . y 2=A2sen(kr2-w t) Cuando emiten simultáneamente S1 y S2. El punto P describe un M.A.S. que es la composición de dos M.A.S. de la misma dirección y frecuencia. Los casos más importantes son aquellos en los que los M.A.S. están en fase y en oposición de fase. El caso de la interferencia es igual que el que denominamos de superposición de ondas. La diferencia de fase se puede producir porque están emitiendo con fases diferente unos de otros y están a igual distancia o porque emiten en la misma fase pero se desfasan al recorrer caminos diferentes. En fase o interferencia constructiva.Dos M.A.S están en fase cuando la diferencia de fase kr1- kr2 es cero o un múltiplo entero de 2p .Teniendo en cuenta que k=2p /l La amplitud resultante es la suma aritmética de las amplitudes. En oposición de fase o interferencia destructiva.Dos M.A.S están en oposición de fase cuando la diferencia de fase kr1- kr2 es un múltiplo entero de p .Teniendo en cuenta que k=2p /l La amplitud resultante es la diferencia de las amplitudes. Si las amplitudes son iguales, el punto P no se mueve. Resumiendo, las condiciones de interferencia son Interferencia constructiva  Interferencia destructiva  Ondas que se desfasan una distancia que equivale a un ángulo cualquiera. En este caso la interferencia no es constructiva ni destructiva. Pueden desfasarse un ángulo cualquiera y da una onda de amplitud A (cuyo valor debe calcularse empleando el T.de Pitágoras generalizado) pero de la misma frecuencia que las que interfieren. kr1- kr2 =cualquier valor entre 0 y 2p. Las proyecciones de A sobre el eje y dan los valores instántaneos de la interferencia: y R =A·sen(w t - desfase) Amplitud resultante de dos ondas de diferente amplitud y desfasadas En el caso general, es necesario sumar vectorialmente las amplitudes para obtener la resultante. Si la separación a de las fuentes S1 y S2 es pequeña comparada con la distancia desde las fuentes hasta la pantalla, podemos despreciar la pequeña diferencia entre r1y r2 y suponer que las amplitudes A 1 y A2 son prácticamente iguales. Podemos escribir donde r1- r2=a senq . A partir de esta expresión podemos hallar las direcciones q para las cuales la interferencia es constructiva o destructiva Interferencia constructiva a senq =nl. Interferencia es destructiva  También podemos hallarsobre la pantalla las posiciones x, que registran interferencia constructiva y destructiva Para ello hacemos la aproximación siguiente: si el ángulo q es pequeño, sen q =tg q =x/D Interferencia constructiva . Interferencia destructiva Intensidad La intensidad de un movimiento ondulatorio es proporcional al cuadrado de la amplitud: I es la intensidad resultante en el punto P cuando las dos fuentes emiten simultáneamente, y I0 es la intensidad en el punto P debido a una fuente. En la interferencia constructiva a =np y por tanto la intensidad I=4I0. En cambio, en la interferencia destructiva a =( 2n+ 1)p /2 y la intensidad I=0. Interferencia constructiva I= 22 I0. Interferencia destructiva I=0. Es importante señalar que en la interferencia constructiva la intensidad en P debida a las dos fuentes es 22 veces la que corresponde a una de las fuentes. INTERFERENCIA DE ONDAS PRODUCIDAS POR VARIAS FUENTES Descripción  Consideremos ahora el caso de varias fuentes idénticas distribuídas linealmente, tal como se muestra en la figura. Supongamos que deseamos examinar el estado del punto P situado a una distancia muy lejana comparada con la separación de las fuentes. Cuando emite una sola fuente el punto P describe un M.A.S. de amplitud A 1 y frecuencia angular w . Cuando emiten Nfuentes simultáneamente, el punto P describe un M.A.S. que es la composición de otros tantos M.A.S. de la misma dirección y frecuencia. a =separación entre las fuentes. Recuerda la suma de dos amplitudes : Suma vectorial de amplitudes de dos ondas que se desfasan (kx) en el camino:   Suma de varias ondas iguales y de desfase constante entre ellas Calculamos la amplitud A resultante sumando vectorialmente las amplitudes correspondientes a cada una de las fuentes. En el caso de que lleguen varias ondas de igual amplitud y un desfase constante entre ellas tendrán una amplitud que será la resultante de sumar vectorialmente sus amplitudes. En el gráfico adjunto se ve la suma de 4 ondas.    En el caso de que lleguen varias ondas desfasadas con un valor constante entre ellas pueden ocurrir que la suma sea cero como en el caso de la figura de la izquierda. Si un número n de fuentes de luz se desfasan por el camino y dan una resultante de amplitud cero, la interferencia es destructiva y podemos decir que ¡luz mas luz=oscuridad! Calculamos la amplitud resultante A sumando vectorialmente las amplitudes correspondientes a cada una de las fuentes. Si todas las fuentes son iguales, sus vectores tienen la misma longitud A1 =A2 Se desfasan por efecto del camino kx. x=a senq. a =separación entre las fuentes y el ángulo de desfase,d entre dos vectores consecutivos es igual al producto del número de onda k por la diferencia de caminos a senq entre dos fuentes consecutivas. d =k a senq Recuerda que: k=2 p/l A partir de la figura podemos calcular la amplitud resultante A y cada uno de los lados A 1 del polígono. Observando en la figura los triángulos rectángulos podemos entender las siguientes fórmulas: Siendo r el radio del polígono regular. Eliminando el radio r, expresamos la amplitud resultante A en función de la amplitud A 1 debida a cada una de las fuentes: Y la intensidad que es proporcional al cuadrado de la amplitud: Los ceros de intensidad se producen cuando: a·sen q =nl (siendo n=1,2,3..) excepto para n=1. La expresión de la intensidad da un máximo muy pronunciado, igual a: N2I0 para d =2np . DIFRACCIÓN Difracción producida por una rendija No existe ninguna diferencia física específica entre la interferencia y la difracción. Podemos decir que cuando hay pocas fuentes que interfieren le llamamos interferencia, pero si hay un gran número de ellas le llamamos difracción. La difracción es junto con la interferencia un fenómeno típicamente ondulatorio. La difracción se puede observar cuando una onda atraviesa una ranura cuyas dimensiones son comparables a la longitud de la onda. La onda, al atravesar la ranura, se abre y en lugar de seguir la dirección del rayo incidente se forman gran número de rayos abriéndose en abanico. El caso más sencillo corresponde a la difracción Fraunhofer, en la que el obstáculo es una rendija estrecha y larga de modo que podemos ignorar los efectos de los extremos. Supondremos que las ondas incidentes son normales al plano de la rendija, y que el observador se encuentra a una distancia grande en comparación con la anchura de la misma. De acuerdo con el principio de Huygens, cuando la onda incide sobre una rendija, todos los puntos de su plano se convierten en fuentes secundarias de ondas, emitiendo nuevas ondas, denominadas ondas difractadas, por lo que la explicación del fenómeno de la difracción no es cualitativamente distinto de la interferencia. Una vez estudiada la interferencia de un número limitado de fuentes, la difracción se explica a partir de la interferencia de un número infinito de fuentes. La difracción de Fraunhofer para una abertura circular es un círculo brillante sobre la pantalla rodeado de anillos alternadamente claros y oscuros. Descripción Sea b la anchura de la rendija, y consideremos que las infinitas fuentes secundarias de ondas están distribuidas a lo largo de ella. Supongamos que x es la diferencia entre ellas. La diferencia de caminos entre la fuente que pasa por el origen y la que pasa por el punto x es, tal como se ve en la figura,x senq.La diferencia de caminos entre la fuente situada en el origen y la situada en el otro extremo de la rendija será b senq . El estado del punto P es la superposición de infinitos M.A.S. La suma de los infinitos vectores de amplitud infinitesimal produce un arco de circunferencia, cuya cuerda es la resultante A. Sabiendo que el ángulo a que forma el vector situado en x=b, con la horizontal vale el producto del número de onda kpor la diferencia de caminos: k b senq=p b senq /l equivale a lo que se desfasaron las dos ondas procedentes de los dos extremos de la ranura. y que este ángulo es el mismo que el que subtiende el arco de la circunferencia de radio r, calculamos fácilmente la longitud de la cuerda, es decir la resultante. La cuerda 2·PQ El desfase de una fuente y la próxima es d . Hallamos el arco sabiendo que, para pequeñas distancias, el seno es igual a la tangente y que los infinitos vectores infinitesimales A 1=rd dan en total ra cuando se suman en línea recta, que es la condición de máxima amplitud Ao de la interferencia (no existe desfase entre ellas). Eliminando el radio r, queda: y como las intensidades son proporcionales a los cuadrados de las amplitudes El máximo de la difracción se produce cuando el argumento del seno es cero: Para que dicho argumento sea cero el ángulo q debe ser cero. Tenemos un máximo de intensidad en el origen, en la dirección perpendicular al plano de la rendija. Los mínimos de intensidad se producen cuando el argumento del seno es un múltiplo entero de p, es decir, cuando: o bien, cuando: bsenq =nl (n=1, 2, 3...)