ONDAS O MOVIMIENTO ONDULATORIO

CONSTRUCCIÓN DE UN FRENTE DE ONDAS USANDO EL PRINCIPIO E HUYGENS

HUYGENS, usando modelos geométricos elaborados sobre papel y comparándolos con los resultados experimentales para verificar su validez, construyó un método para explicar la propagación de las ondas que consiste en suponer que, en un momento dado, todos los infinitos puntos de un frente de ondas se convierten en clónicos del primer emisor y empiezan a emitir hacia delante. Descartamos "alegremente" que emitieran en todas direcciones pues interferirían con las ondas que vienen detrás. Años más tarde Kirchhof explicaría que se puede dar una explicación suponiendo la emisión en todas direcciones. El nuevo frente (frente secundario) está formado por la envolvente que une los puntos a los que llega simultáneamente la perturbación originada por esos puntos emisores clónicos del inicial.

CONSTRUCCIÓN DE UNA ONDA REFLEJADA y REFRACTADA

Cuando el extremo del frente de ondas llega a la separación de los dos medios, la partícula del medio 2 sobre la que incide se pone a emitir radialmente, pero propagándose con distintas velocidades en cada medio (en la figura de esta página, menor velocidad en el medio 2) por lo que se originan dos frentes representados por semicírculos desiguales.
Poco a poco el frente va llegando a todas las partículas del medio 2 que se ponen a repetir la emisión de la primera. La envolvente de las ondas que retornan al primer medio es el frente de la onda reflejada
La envolvente, en un instante dado, de las ondas que se propagan en el segundo medio es el frente de onda de la onda refractada.

FRENTE DE ONDA Y RAYO

Se define el frente de onda como la superficie envolvente a donde llega la onda en un momento dado. Puede tener diferentes formas: en las ondas planas que se propagan por la superficie del agua será una línea recta, en las circulares, que fácilmente podemos crear en al superficie del agua, será una circunferencia y en las sonoras (como las que se producen una explosión) será una esfera.

La línea imaginaria perpendicular al frente de onda se llama rayo.

ÁNGULO DE INCIDENCIA Y ÁNGULO DE REFRACCIÓN

Se llama ángulo de incidencia -i- al formado por el rayo incidente y la normal. La normal es una recta imaginaria perpendicular a la superficie de separación de los dos medios en el punto de contacto del rayo.
El ángulo de reflexión -r- es el formado por el rayo reflejado y la normal.
El ángulo de refracción -r'- es le formado por el rayo refractado y la normal.

ÍNDICE DE REFRACCIÓN LUZ -n-

Se llama índice de refracción "n" al cociente entre la velocidad de la luz en un medio y la velocidad de la luz en el vacío "c". Los valores de "n" son siempre números adimensionales (sin unidades) y mayores que 1.

  Alrededor de 1860 el físico danés Huygens propuso un mecanismo simple para trazar la propagación de ondas. Su construcción es aplicable a onda mecánicas en un medio material.

    Un frente de onda es una superficie que pasa por todos los puntos del medio alcanzados por el movimiento ondulatorio en el mismo instante. La perturbación en todos esos puntos tiene la misma fase. Podemos trazar una serie de líneas perpendiculares a los sucesivos frentes de onda. Estas líneas se denominan rayos y corresponden a las líneas de propagación de la onda. La relación entre rayos y frente de ondas es similar a la de líneas de fuerza y superficies equipotenciales. El tiempo que separa puntos correspondientes de dos superficies de onda es el mismo para todos los pares de puntos correspondientes (teorema de Malus).

    Huygens visualizó un método para pasar de un frente de onda a otro. Cuando el movimiento ondulatorio alcanza los puntos que componen un frente de onda, cada partícula del frente se convierte en una fuente secundaria de ondas, que emite ondas secundarias (indicadas por semicircunferencias) que alcanzan la próxima capa de partículas del medio. Entonces estas partículas se ponen en movimiento, formando el subsiguiente frente de onda con la envolvente de estas semicircunferencias. El proceso se repite, resultando la propagación de la onda a través del medio. Esta representación de la propagación es muy razonable cuando la onda resulta de las vibraciones mecánicas de las partículas del medio, es decir una onda elástica pero no tendría significado físico en las ondas electromagnéticas donde no hay partículas que vibren.

A partir del principio de Huygens puede demostrarse la ley de la refracción. Supongamos que un frente de onda avanza hacia la superficie refractante I₁I₂ que separa dos medios en los cuales las velocidades de la luz son v y v´. Si consideramos I₁ como emisor, en el tiempo Dt en que la perturbación llega de A a I₂, la perturbación originada en I₁habrá alcanzado la esfera de radio r´= v´Dt. En el mismo tiempo la perturbación correspondiente llega a todos los puntos de la envolvente BI₂, y tomando los rayos normales a los frentes de onda, de la figura se deduce que:  

Þ

n1 sen ai

=

n2 sen ar

Lo cual está de acuerdo no solo a la experiencia no sólo en cuanto a direcciones de propagación sino también en que en el medio de mayor índice de refracción la velocidad es menor contrariamente a lo que suponían Descartes y Newton.

            La teoría ondulatoria no pudo progresar en aquella época debido a la gran autoridad de Newton que la combatía arguyendo que dicha teoría no podía explicar la propagación rectilínea.

INTERFERENCIAS DE ONDAS

Introducción

La interferencia es la combinación por superposición de dos o más ondas que concurren en un punto del espacio.
Dos focos que emiten a un medio ondas armónicas -descritas por la función matemática seno- de la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud y que salen de los focos en fase, se dice que tienen una emisión coherente.

Cuando las ondas se cruzan puede resultar que no estén en fase porque ya fueron emitidas desfasadas o porque se desfasaron en el recorrido.
La onda resultante será una onda armónica cuya amplitud va a depender de las fases de las que concurren en el punto.
Las ondas viajeras se desfasan por efecto de la diferencia de camino recorrido: y=A sen (kx - wt). El desfase se expresa en el término kx. Ver expresión matemática de una onda viajera.
Pulsa aquí para repasar como se superponen dos ondas de igual amplitud y con un desfase entre ellas.
Los puntos del medio que no están a la misma distancia de los dos focos reciben las ondas desfasadas por efecto del desigual camino recorrido para llegar a ellos. Este desfase puede dar lugar a que en unos puntos una onda anule a la otra y a que en otros se refuercen.
Imaginemos en un estanque un corcho flotando quieto. De pronto comienzan a llegar a él las ondas desfasadas procedentes de dos puntos, de tal manera que una onda lo induzca a subir y la otra a bajar. Si el impulso es de igual amplitud pero opuesto, el resultado será que el corcho permanece quieto en todo momento. 
En unos puntos del medio los efectos se refuerzan y pasan por alcanzar una altura doble de la que alcanzarían si llegara una sola onda y, medio periodo después, ese punto se hunde en una sima de doble profundidad. En otros puntos se pueden dar todos los casos posibles entre este de reforzamiento extremo y el de permanente quietud.
Se demuestra que:

Si la diferencia de caminos es igual a un número entero de longitudes de onda, la interferencia es constructiva (de reforzamiento).

Si la diferencia de caminos, entre los focos emisores y el punto, es un número impar de semilongitudes de onda, la onda resultante será nula. Estos puntos alcanzan un estado estacionario y la recta que los une es una rama de hipérbola (la hipérbola es una curva cuyos puntos mantienen una diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante).

Interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincrónicas

Consideremos dos fuentes puntuales S₁ y S₂ que oscilan en fase con la misma frecuencia angular w , y que emiten ondas armónicas.

Cuando emite solamente S1 el punto P describe el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de amplitud A1 y frecuencia angular w .y1=A1·sen(kr1-w t) Cuando emite solamente S2 el punto P describe el M.A.S. de amplitud A2 y frecuencia angular w . y2=A2·sen(kr2-w t)

Cuando emiten simultáneamente S₁ y S₂. El punto P describe un M.A.S. que es la composición de dos M.A.S. de la misma dirección y frecuencia. Los casos más importantes son aquellos en los que los M.A.S. están en fase y en oposición de fase.
En fase o interferencia constructiva.

Dos M.A.S están en fase cuando la diferencia de fase kr2-kr1 es un múltiplo entero de 2p .Teniendo en cuenta que k=2p/lkr2-kr1 =2np     r2-r1 =nλ La amplitud resultante es la suma de amplitudes A=A1+A2

En oposición de fase o interferencia destructiva.

Dos M.A.S están en oposición de fase cuando la diferencia de fase kr2-kr1 es un múltiplo entero de p .Teniendo en cuenta que k=2p /lkr2-kr1 =(2n+1)p     r2-r1 =(n+½)λ La amplitud resultante es la diferencia de amplitudes. Si ambas son iguales, el punto P no se mueve.

Amplitud resultante

En el caso general, es necesario sumar vectorialmente las amplitudes para obtener la resultante.

• La amplitud es máxima A=A₁+A₂ cuando kr₂-kr₁=2nπ
• La amplitud es mínima A=A₁-A₂ cuando kr₂-kr₁=(2n+1)π

Si la separación d de las fuentes S₁ y S₂ es pequeña comparada con la distancia desde las fuentes hasta la pantalla, podemos despreciar la pequeña diferencia entre r₁ y r₂ y suponer que las amplitudes A₁ y A₂ son prácticamente iguales. Podemos escribir

Máximos y mínimos de intensidad

	En la figura, vemos la amplitud debida a la interferencia de las ondas emitidas por dos fuentes sincrónicas separadas una distancia d, tal como se vería en una cubeta de ondas cuando nos situamos cerca de las fuentes.
	En la figura, vemos la intensidad debida a la interferencia de las ondas producidas por dos fuentes sincrónicas separadas una distancia d, codificada en escala de grises. El color negro indica mínimo de intensidad y el color blanco máximo de intensidad.
	Las curvas que describen los máximos (en color azul) y mínimos (en color rojo) de intensidad es el lugar geométrico de los puntos (x, y) cuya ecuación y=f(x) vamos a determinar

El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de caminos es Δ es r₂-r₁=Δ.
r₂ es la distancia de la fuente S₂ al punto P y r₁ es la distancia de la fuente S₁ al punto P.

Δ=2nπ, si la interferencia es constructiva (máximo de intensidad) Δ=(2n+1)π/2, si la interferencia es destructiva (mínimo de intensidad)

Si las coordenadas del punto P son (x, y), y (0, ±d/2) son las posiciones de las fuentes, la ecuación de la curva r₂-r₁=Δ. es

Elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz cuadrada

Elevando al cuadrado ambos miembros otra vez, obtenemos

que es la ecuación de una hipérbola
Si la pantalla se encuentra a una distancia x de las fuentes. Las posiciones de los máximos y los mínimos se calculan despejando y de la ecuación de la hipérbola

El primer máximo, se produce cuando Δ=0,  y=0 El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2, El segundo máximo, se produce cuando Δ=λ El segundo mínimo, se produce cuando Δ=3λ/2 y así, sucesivamente.

Como podemos apreciar en la figura, la hipérbola se aproxima a una recta, su asíntota, cuando nos alejamos una distancia no demasiado grande de las fuentes.

Despejamos el cociente y/x en la ecuación de la hipérbola

La pendiente de la asíntota se calcula en el límite cuando x→∞

Empleando la relación trigonométrica

Con esta aproximación, la diferencia de caminos r₂-r₁=Δ≈d·senθ. Esta última relación, nos permite determinar las direcciones θ para las cuales la interferencia es constructiva o destructiva.

El primer máximo, se produce cuando Δ=0, para el ángulo θ=0 El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2, para el ángulo d·senθ= λ/2 El segundo máximo, se produce para Δ=λ, para el ángulo d·senθ= λ El segundo mínimo, se produce para Δ=3λ/2, para el ángulo d·senθ= 3λ/2

Si la pantalla está a una distancia x de las fuentes, la posición y de los máximos y mínimos de intensidad se calcula mediante al relación
y=x·tanθ
En la mayor parte de los experimentos, incluso en la cubeta de ondas es difícil apreciar  la parte curva de las hipérbolas, lo podemos comprobar al final de la página en la  simulación de la cubeta de ondas.  En un experimento de óptica, la distancia entre las fuentes d=2·10^-4 m, la longitud de onda λ=6·10^-7 m, y la distancia a la pantalla x=2 m.

Ejemplo

• La separación entre las fuentes es d=100
• La longitud de onda es λ=50

1. La posición de la pantalla se encuentra en x=100,

Determinar las posiciones y de los máximos y mínimos de intensidad a lo largo de la pantalla. Utilizamos la fórmula

• El primer máximo, se produce cuando Δ=0,  y=0
• El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2=25, y=28.7
• El segundo máximo, se produce cuando Δ=λ=50, y=62.9
• El segundo mínimo, se produce cuando Δ=3λ/2=75, y=119.4

2. Se aleja la pantalla de las fuentes  en la posición x=200

• El primer máximo, se produce cuando Δ=0,  y=0
• El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2=25, y=53.1
• El segundo máximo, se produce cuando Δ=λ=50, y=118.1

Si suponemos que la hipérbola en esta posición se aproxima a una recta, su asíntota
Calculamos las direcciones mediante la fórmula d·senθ=Δ y las posiciones mediante la expresión, y=x·tanθ

• El primer máximo, se produce cuando Δ=0,  θ=0, y=0
• El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2=25, θ=14.5º, y=51.6
• El segundo máximo, se produce cuando Δ=λ=50, θ=30º, y=115.5

Como vemos, aunque la pantalla sigue estando cerca de las fuentes la aproximación d·senθ=Δ, da buenos resultados.

Intensidad

Las condiciones de interferencia son

Interferencia constructiva, r2-r1=nl . Interferencia destructiva, r2-r1=(n+½)l

Las direcciones q  para las cuales la interferencia es constructiva o destructiva se calculan

Interferencia constructiva, d·senq ≈nl . Interferencia es destructiva, d·senq ≈(n+½)l

Las posiciones y sobre la pantalla situada a una distancia x de las fuentes, que registran interferencia constructiva y destructiva se calculan mediante y=x·tgq .
Si el ángulo q  es pequeño podemos hacer la aproximación, senq ≈tgq =y/x
La intensidad de un movimiento ondulatorio es proporcional al cuadrado de la amplitud,

I es la intensidad resultante en el punto P cuando las dos fuentes emiten simultáneamente, e I₀ es la intensidad en el punto P debido a una sola de las fuentes.

En la interferencia constructiva, d·senq =nl y  la intensidad I=22I0. En la interferencia destructiva, d·senq =(n+½)l y la intensidad I=0.

En la figura, se muestra la gráfica de la intensidad, el máximo es 4I₀. y el mínimo 0.

Actividades

Se introduce

• La longitud de onda λ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Longitud de onda, o en el control de edición correspondiente.
• La separación d, entre las dos fuentes, actuando en la barra de desplazamiento titulada Separación , o en el control de edición correspondiente.

Se pulsa el botón titulado Dibuja
Se muestra, a la izquierda del applet, el diagrama de amplitudes resultado de la interferencia de las ondas producidas por las dos fuentes sincrónicas. Esta figura es similar a la que se puede observar en el laboratorio cuando se realiza una experiencia con la cubeta de ondas.
A la derecha, el diagrama de intensidades. La intensidad en cada punto se codifica mediante un color perteneciente a la escala de grises. La intensidad máxima corresponde al blanco y la mínima al color negro.
Si se activa la casilla titulada Posiciones y se pulsa el botón titulado Dibuja
Se sustituye este último diagrama, por la representación gráfica de las hipérbolas que describen el lugar geométrico de los puntos P tal que la diferencia de caminos r₂-r₁ de las fuentes S₂ y S₁ al punto P es un múltiplo entero de la longitud de onda nl  (en color azul) o de los puntos cuya diferencia de caminos es un múltiplo semientero de la longitud de onda (n+½)l (en color rojo).