sábado, 23 de abril de 2016

Temas de física

Campo eléctrico

Cuando vemos un objeto pensamos en él como "un todo" simplemente masa, y todos sabemos que esta masa está compuesta por átomos. Si penetramos un poco más adentro de la estructura tenemos que los átomos están constituidos por dos partes básicas, los electrones y el núcleo y aquí hay que tener en cuenta que estos elementos mas internos tienen otra característica, la carga eléctrica. Las cargas eléctricas de ambas partes generan fuerzas que mantienen la integridad del átomo.

Una particularidad de las cargas eléctricas es que pueden ser de dos signos, y, que su signo determina la dirección de las fuerzas de interacción entre ellas. El átomo es eléctricamente neutro, los electrones tienen una carga que se ha convenido en asumir negativa, mientras el núcleo tiene una carga resultante de igual magnitud pero de signo contrario o positiva.

La evidencia que condujo al descubrimiento de las cargas eléctricas y de las fuerzas eléctricas depende más de las propiedades de la masa en su conjunto y solo indirectamente al hecho de que la materia está constituida por átomos. La propiedad más importante de los cuerpos para el caso que nos ocupa es su conductividad eléctrica, esto es, la facilidad con la que los electrones se pueden desplazar dentro del material. En términos generales y sin entrar en exactitudes las propiedades eléctricas de los diferentes materiales los separan en dos grupos: aquellos en los que las cargas negativas (electrones) se trasladan con facilidad y que se denominan conductores y los que el movimiento de los electrones es difícil, losaisladores.

Cuando frotamos un material aislador con otro del mismo tipo, por ejemplo, una varilla de teflón con un trozo de piel con sus pelos, la barra de teflón adquiere una carga eléctrica mientras que la piel adquiere una carga igual pero de sentido contrario. Esto hace suponer que se han transferido electrones de un cuerpo al otro y por lo tanto se ha perdido la neutralidad. En realidad, en el experimento, el teflón ha quedado con un exceso de electrones, está cargado negativamente y la piel con una deficiencia por lo que su carga será positiva, pero recuerde que esto es convencional por lo que es irrelevante para los resultados.

Ahora asumimos que tenemos una pequeña bola de corcho a la que transferimos la carga del teflón y otra, que hacemos lo mismo con las cargas del trozo de piel. Ambas bolas las colgamos de sendos hilos y las acercamos, el resultado será una fuerza de atracción entre ellas aun sin tocarse. Pero si transferimos a las dos bolas las cargas desde uno de los cuerpos, es decir del teflón o de la piel, al acercarlas se produce el efecto contrario se repelen, es decir en ambos casos hay una fuerza interactuando entre los cuerpos. Este comportamiento da la primera conclusión sobre los cuerpos cargados de electricidad:

Los cuerpos cargados con signo contrario se atraen, mientras que con el mismo signo se repelen.

El concepto de la acción a distancia, donde una fuerza podía actuar a través de un espacio abierto, incluso en el vacío, fue siempre difícil de aceptar. La acción a distancia sugería que de alguna manera debía llegar la fuerza creada por uno de los cuerpos al otro. Michael Faraday sugirió una vía para resolver esta dificultad, el primer cuerpo influye en el espacio que lo rodeaba por un campo que estaba presente, aunque el otro cuerpo existiera o no, dando origen al concepto de campo eléctrico. En la figura 1 se muestra una visualización del campo eléctrico usando hilos muy finos que flotan en aceite alrededor de una pequeña esfera cargada.

Observe que los hilos se orientan radialmente a la esferita cargada representada en negro en el centro, lo que indica que el campo eléctrico es radial y uniforme en todas direcciones (en la figura se ve en un plano pero en realidad es tridimensional). La orientación de los hilos sugirió un concepto muy útil, las lineas de fuerza. Es decir, se supuso que del centro del cuerpo cargado partían en todas direcciones unas lineas que representaban una fuerza y por lo tanto con una dirección definida. Se asumió dirigidas hacia afuera las lineas de fuerza que salen de un cuerpo cargado positivo y hacia adentro las de uno cargado negativo.

En resumen:

Un cuerpo cargado eléctricamente tiene a su alrededor un espacio de influencia que se denomina campo eléctrico y que al interactuar con otro cuerpo cargado adquiere la naturaleza de una fuerza.

Intensidad del campo eléctrico

Para definir la intensidad del campo eléctrico apoyémonos en la figura 2a, en ella se muestra un objeto con una carga positiva pequeña q0 en las inmediaciones de otro objeto cargado con una carga positiva grande Q. La intensidad del campo eléctrico (E) producido por Q en la localización de q0 se define como la magnitud de la fuerza que actúa sobre q0 (F) dividida por la magnitud de su carga.
figura 2
Figura 2. Interacción entre la carga de prueba y un cuerpo con una carga grande.
figura 3
Figura 3. Influencia de una carga de prueba grande.
 figura 4
 Figura 4.
figura 5
 Figura 5.
 figura 6
 Figura 6.
 E ≡ ∣F∣ / ∣q0∣*

* Se usa el símbolo ≡ para indicar que es una definición.  Los símbolos ∣...∣ se usan para indicar que se refiere solo a la magnitud sin tener en cuenta el signo.

 La definición está referida a la magnitud (intensidad) del campo eléctrico cuya unidad en el sistema internacional (SI) es newton por coulomb (N/C), sin embargo, el campo eléctrico es una cantidad vectorial  y:
La dirección del campo eléctrico en un punto se define como la dirección de la fuerza que se ejerce sobre una carga pequeña positiva colocada en ese punto.

Observe que E en la figura 2a, dada la definición, es horizontal y hacia la derecha. Sin embargo, en la figura 2b es horizontal y hacia la izquierda debido a que la carga pequeña positiva recibe una fuerza de atracción hacia el cuerpo con carga negativa grande.

Note algo importante, en ambos casos nos referimos a una carga de prueba pequeña y debe ser así para que la definición realmente funcione. Veamos:

Considere el uso de la esfera de prueba con carga q0 de la figura 3 colocada en el punto P en las inmediaciones del cuerpo que produce el campo eléctrico cuya intensidad queremos determinar, esta esfera de prueba con carga relativamente grande influye sobre la distribución de las cargas en la esfera que produce el campo eléctrico, y la consecuencia de esta reorganización es que la fuerza ejercida sobre la carga de prueba resulta diferente a lo que debía ser si no se hubieran reorganizado. Por lo tanto, la intensidad de campo eléctrico medido difiere del que existe en realidad en ausencia de la carga de prueba, lo que significa que ladefinición de E implica el uso de cargas de prueba lo suficientemente pequeñas (puntuales) como para que su influencia en el otro cuerpo sea despreciable.

Lineas de fuerza

Las lineas de fuerza en realidad son un artificio práctico que sirve para darle carácter físico tangible al espacio de influencia continuo que rodea un cuerpo cargado, pero esto no significa que el cuerpo cargado deba interpretarse como una suerte de erizo de mar del que parten lineas individuales entre las cuales no existe el campo eléctrico. Sin duda el concepto de lineas de fuerza fue una idea brillante de Faraday que permitió utilizar herramientas algebraicas para cuantificarlo numéricamente y darle una alternativa más cómoda a la representación visual.

Propiedades de las lineas de fuerza

Las lineas de fuerza son lineas continuas direccionales en el espacio que están determinadas por el campo eléctrico de acuerdo a tres reglas simples:
1.- Las lineas comienzan en las cargas positivas dirigidas en todas direcciones y terminan en las cargas negativas, si la carga es solitaria entonces terminan en el infinito. Se dibujan de forma que la tangente a la linea de fuerza en cualquier punto coincida con la dirección del campo eléctrico E en ese punto.
2.- El número de lineas que abandonan o llegan a una carga es proporcional a la magnitud de la carga, o lo que es lo mismo; la densidad espacial de lineas de fuerza alrededor de un punto en particular es proporcional a la intensidad del campo eléctrico en ese punto.
3.- Nunca las lineas de fuerza se cruzan.

Usemos las figuras 4, 5 y 6 para ilustrar lo que decimos.

En la figura 4 se representan las lineas de fuerza para dos cargas de igual magnitud pero de signo contrario. Esta configuración de cargas se denomina dipolo y en este caso la cantidad de lineas de fuerza que nacen en la carga positiva es igual a las que terminan en la carga negativa. En las regiones muy cercanas a las cargas, la lineas de fuerza son casi radiales y el pequeño espacio entre las lineas (alta densidad) indica un campo eléctrico fuerte en esas zonas.

En la figura 5 se muestran las lineas de fuerza en las proximidades de dos cargas iguales positivas. De la misma forma, las lineas son casi radiales en las zonas cercanas a las cargas y se han dibujado la misma cantidad de lineas de fuerza emergiendo de cada carga debido a que ambas son de la misma magnitud. Todas las lineas nacen en las cargas positivas, pero como no hay carga negativa, estas se extienden hasta el infinito. La lineas de fuerza no están próximas en la zona entre las cargas lo que indica que allí el campo eléctrico es débil.

Finalmente en la figura 6 se muestra la distribución de las lineas de fuerza para dos cargas de magnitud diferente y signo contrario, una +2q y la otra -q. Note que la cantidad de lineas de fuerza dibujadas en la carga +2q es el doble que las dibujadas en la carga -q. Evidentemente el exceso de lineas de fuerza que nacen en la carga positiva y no pueden encontrar su final en la carga negativa se extenderán hasta el infinito.




Campo eléctrico y potencial de una carga puntual

El campo eléctrico de una carga puntual Q en un punto P distante r de la carga viene representado por un vector de
  • módulo 
  • dirección radial
  • sentido hacia afuera si la carga es positiva, y hacia la carga si es negativa
El potencial del punto P debido a la carga Q es un escalar y vale

Celec_7.gif (1934 bytes)
Un campo eléctrico puede representarse por líneas de fuerza, líneas que son tangentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos.
En la figura, se representan las líneas de fuerza de una carga puntual, que son líneas rectas que pasan por la carga. Las equipotenciales son superficies esféricas concéntricas.
Celec_1.gif (4345 bytes)

Campo eléctrico de un sistema de dos cargas eléctricas

Cuando varias cargas están presentes el campo eléctrico resultante es la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada una de las cargas. Consideremos el sistema de dos cargas eléctricas de la figura.
Celec_2.gif (2798 bytes)El módulo del campo eléctrico producido por cada una de las cargas es

Y las componentes del campo total son
Celec_3.gif (2107 bytes)Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es
tal como se muestra en la figura.
El potencial en el punto P debido a las dos cargas es la suma de los potenciales debidos a cada una de las cargas en dicho punto.

Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. Representaremos en el applet la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.

La ecuación de las líneas equipotenciales es



La ley de Coulomb nos describe la interacción entre dos cargas eléctricas del mismo o de distinto signo. La fuerza que ejerce la carga Q sobre otra carga q situada a una distancia r es.

La fuerza F es repulsiva si las cargas son del mismo signo y es atractiva si las cargas son de signo contrario.
fuerzas.gif (2530 bytes)

Concepto de campo

Es más útil, imaginar que cada uno de los cuerpos cargados modifica las propiedades del espacio que lo rodea con su sola presencia. Supongamos, que solamente está presente la carga Q, después de haber retirado la carga q del punto P. Se dice que la carga Q crea un campo eléctrico en el punto P. Al volver a poner la carga q en el punto P, cabe imaginar que la fuerza sobre esta carga la ejerce el campo eléctrico creado por la carga Q.
campo.gif (1923 bytes)Cada punto P del espacio que rodea a la carga Q tiene una nueva propiedad, que se denomina campo eléctrico E que describiremos mediante una magnitud vectorial, que se define como la fuerza sobre la unidad de carga positiva imaginariamente situada en el punto P.

La unidad de medida del campo en el S.I. de Unidades es el N/C
En la figura, hemos dibujado el campo en el punto P producido por una carga Q positiva y negativa respectivamente.

Energía potencial

La fuerza de atracción entre dos masas es conservativa, del mismo modo se puede demostrar que la fuerza de interacción entre cargas es conservativa.
El trabajo de una fuerza conservativa, es igual a la diferencia entre el valor inicial y el valor final de una función que solamente depende de las coordenadas que denominamos energía potencial.

El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl, tangente a la trayectoria.
 dW=F·dl=F·dl·cosθ=F·dr.
 donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la partícula cargada q en la dirección radial.
Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición inicial A, distante rA del centro de fuerzas y la posición final B, distante rB del centro fijo de fuerzas.
El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a la posición B. La fuerza de atracción F, que ejerce la carga fija Q sobre la carga q esconservativa.  La fórmula de la energía potencial es
El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r=∞, Ep=0
El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica que la energía total (cinética más potencial) de la partícula es constante, en cualquier punto de la trayectoria.


Concepto de potencial

Del mismo modo que hemos definido el campo eléctrico, el potencial es una propiedad del punto P del espacio que rodea la carga Q. Definimos potencial V como la energía potencial de la unidad de carga positiva imaginariamente situada en P, V=Ep/q. El potencial es una magnitud escalar.

La unidad de medida del potencial en el S.I. de unidades es el volt (V).

Relaciones entre fuerzas y campos

campo1.gif (1388 bytes)Una carga en el seno de un campo eléctrico E experimenta una fuerza proporcional al campo cuyo módulo es F=qE, cuya dirección es la misma, pero el sentido puede ser el mismo o el contrario dependiendo de que la carga sea positiva o negativa.

Relaciones entre campo y diferencia de potencial

La relación entre campo eléctrico y el potencial es.

potencial.gif (2754 bytes)
En la figura, vemos la interpretación geométrica. La diferencia de potencial es el área bajo la curva entre las posiciones A y B. Cuando el campo es constante
VA-VB=E·d que es el área del rectángulo sombreado.
El campo eléctrico E es conservativo lo que quiere decir que en un camino cerrado se cumple

Dado el potencial V podemos calcular el vector campo eléctrico E, mediante el operador gradiente.


Trabajo realizado por el campo eléctrico

El trabajo que realiza el campo eléctrico sobre una carga q cuando se mueve desde una posición en el que el potencial es VA a otro lugar en el que el potencial es VB es

potencial1.gif (2529 bytes)

  • El campo eléctrico realiza un trabajo W cuando una carga positiva q se mueve desde un lugar A en el que el potencial es alto a otro B en el que el potencial es más bajo. Siq>0 y VA>VB entonces W>0.
  • El campo eléctrico realiza un trabajo cuando una carga negativa q se mueve desde un lugar B en el que el potencial es más bajo a otro A en el que el potencial es más alto.
     
  • Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga positiva q desde un lugar B en el que el potencial es más bajo hacia otro lugar A en el que el potencial más alto.
  • Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga negativa q desde un lugar A en el que el potencial es más alto hacia otro lugar B en el que el potencial más bajo.

El campo eléctrico es un campo físico que es representado mediante un modeloque describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturalezaeléctrica.1 Se describe como un campo vectorial en el cual una carga eléctricapuntual de valor q sufre los efectos de una fuerza eléctrica \mathbf{F} dada por la siguiente ecuación:
(1)\mathbf{F} = q \mathbf{E}
En los modelos relativistas actuales, el campo eléctrico se incorpora, junto con elcampo magnético, en campo tensorial cuadridimensional, denominado campo electromagnético Fμν.2
Los campos eléctricos pueden tener su origen tanto en cargas eléctricas como encampos magnéticos variables. Las primeras descripciones de los fenómenos eléctricos, como la ley de Coulomb, solo tenían en cuenta las cargas eléctricas, pero las investigaciones de Michael Faraday y los estudios posteriores de James Clerk Maxwell permitieron establecer las leyes completas en las que también se tiene en cuenta la variación del campo magnético.
Esta definición general indica que el campo no es directamente medible, sino que lo que es observable es su efecto sobre alguna carga colocada en su seno. La idea de campo eléctrico fue propuesta por Faraday al demostrar el principio de inducción electromagnética en el año 1832.
La unidad del campo eléctrico en el SI es Newton por Culombio (N/C), Voltio por metro (V/m) o, en unidades básicas, kg·m·s−3·A−1 y la ecuación dimensional es MLT-3I-1.

Campo eléctrico producido por un conjunto de cargas puntuales. Se muestra en rosa la suma vectorial de los campos de las cargas individuales; \vec E =\vec E_1 +\vec E_2 + \vec E_3 .


El campo eléctrico se representa matemáticamente mediante el vector campo eléctrico, definido como el cociente entre la fuerza eléctrica que experimenta una carga testigo y el valor de esa carga testigo (una carga testigo positiva).
La definición más intuitiva del campo eléctrico se la puede dar mediante la ley de Coulomb. Esta ley, una vez generalizada, permite expresar el campo entre distribuciones de carga en reposo relativo. Sin embargo, para cargas en movimiento se requiere una definición más formal y completa, se requiere el uso decuadrivectores y el principio de mínima acción. A continuación se describen ambas.
Debe tenerse presente de todas maneras que desde el punto de vista relativista, la definición de campo eléctrico es relativa y no absoluta, ya que observadores en movimiento relativo entre sí medirán campos eléctricos o "partes eléctricas" del campo electromagnético diferentes, por lo que el campo eléctrico medido dependerá del sistema de referencia escogido.

Definición mediante la ley de Coulomb

Campo eléctrico de una distribución lineal de carga. Una carga puntual P es sometida a una fuerza en dirección radial \vec u_r por una distribución de carga \lambda en forma de diferencial de línea (dL), lo que produce un campo eléctrico d\vec E.
Partiendo de la ley de Coulomb que expresa que la fuerza entre dos cargas en reposo relativo depende del cuadrado de la distancia, matemáticamente es igual a:1
\bold{F}_{12} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2_{12}} \hat{\bold{r}}_{12}
Donde:
\scriptstyle \epsilon_0 es la permitividad eléctrica del vacío, constante definida en el sistema internacional,
q_1,\ q_2 son las cargas que interactúan,
r_{12} = \|\bold{r}_{12}\| es la distancia entre ambas cargas,
\bold{r}_{12}, es el vector de posición relativa de la carga 2 respecto a la carga 1.
y \hat r es el unitario en la dirección \vec r. Nótese que en la fórmula se está usando \epsilon_0, esta es la permitividad en el vacío. Para calcular la interacción en otro medio es necesario cambiar la permitividad de dicho medio. ( \epsilon = \epsilon_r \epsilon_0)
La ley anterior presuponía que la posición de una partícula en un instante dado, hace que su campo eléctrico afecte en el mismo instante a cualquier otra carga. Ese tipo de interacciones en las que el efecto sobre el resto de partículas parece depender solo de la posición de la partícula causante sin importar la distancia entre las partículas se denomina en física acción a distancia. Si bien la noción de acción a distancia fue aceptada inicialmente por el propio Newton, experimentos más cuidados a lo largo del siglo XIX llevaron a desechar dicha noción como no-realista. En ese contexto se pensó que el campo eléctrico no solo era un artificio matemático sino un ente físico que se propaga a una velocidad finita (la velocidad de la luz) hasta afectar a otras partículas. Esa idea conllevaba modificar la ley de Coulomb de acuerdo con los requerimientos de la teoría de la relatividad y dotar de entidad física al campo eléctrico.1 Así, el campo eléctrico es una distorsión electromagnética que sufre el espacio debido a la presencia de una carga. Considerando esto se puede obtener una expresión del campo eléctrico cuando este solo depende de la distancia entre las cargas:
\bold{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{\bold{r}}
Donde claramente se tiene que \scriptstyle \bold{F} = q \bold{E}, la que es una de las definiciones más conocidas acerca del campo eléctrico. Para una distribución continua de cargas el campo eléctrico viene dado por:
\bold{E}(\bold{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_V \frac{\rho(\bold{r}')}{\|\bold{r}-\bold{r}'\|^3}(\bold{r}-\bold{r}')\text{d}^3\bold{r}'

Definición formal

La definición más formal de campo eléctrico, válida también para cargas moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz, surge a partir de calcular la acción de una partícula cargada en movimiento a través de un campo electromagnético.2 Este campo forma parte de un único campo electromagnético tensorial F^{\mu\nu} definido por un potencial cuadrivectorial de la forma:1
(1)F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}\quad; \qquad A^i = \left( \frac{\phi}{c},\bold{A} \right)
donde \phi es el potencial escalar y \scriptstyle \bold{A} es el potencial vectorial tridimensional. Así, de acuerdo al principio de mínima acción, se plantea para una partícula en movimiento en un espacio cuadridimensional:
(2)S = - \int_a^b (mc\text{d}s + \frac{e}{c}A_i \text{d}x^i)
donde e es la carga de la partícula, m es su masa y c la velocidad de la luz. Reemplazando (1) en (2) y conociendo que \text{d}x^i = u^i \text{d}s, donde \text{d}x^i es el diferencial de la posición definida \text{d}x^i = (c\text{d}t, \text{d}x, \text{d}y, \text{d}z) y u^i es la velocidad de la partícula, se obtiene:
(3)S = - \int_a^b (mc\text{d}s + \frac{e}{c}\bold{A}\cdot\text{d}\bold{\text{r}} - e \phi\text{d}t )
El término dentro de la integral se conoce como el lagrangiano del sistema; derivando esta expresión con respecto a la velocidad se obtiene el momento de la partícula, y aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange se encuentra que la variación temporal de la cantidad de movimiento de la partícula es:
(4)\frac{\text{d}\bold{p}}{\text{d}t} = - \frac{e}{c} \frac{\partial \bold{A}}{\partial t} - e \boldsymbol\nabla \phi + \frac{e}{c} \bold{v} \times (\boldsymbol\nabla \times \bold A)
De donde se obtiene la fuerza total de la partícula. Los dos primeros términos son independientes de la velocidad de la partícula, mientras que el último depende de ella. Entonces a los dos primeros se les asocia el campo eléctrico y al tercero el campo magnético. Así se encuentra la definición más general para el campo eléctrico:2
(5)\bold{E} = -\frac{1}{c} \frac{\part \bold A}{\part t} - \boldsymbol\nabla \phi
La ecuación (5) brinda mucha información acerca del campo eléctrico. Por un lado, el primer término indica que un campo eléctrico es producido por la variación temporal de un potencial vectorial descrito como \scriptstyle \bold B = \boldsymbol \nabla \times \bold A donde \scriptstyle \bold B es el campo magnético; y por otro, el segundo representa la muy conocida descripción del campo como el gradiente de un potencial.2

Descripción del campo eléctrico

Matemáticamente un campo se describe mediante dos de sus propiedades, su divergencia y su rotacional. La ecuación que describe la divergencia del campo eléctrico se la conoce como ley de Gauss y la de su rotacional es la ley de Faraday.1

Ley de Gauss

Para conocer una de las propiedades del campo eléctrico se estudia qué ocurre con el flujo de este al atravesar una superficie. El flujo de un campo \Phi se obtiene de la siguiente manera:
(8)\Phi_E = \oint_S \vec E \cdot \text{d}\vec a
donde d \vec a  es el diferencial de área en dirección normal a la superficie. Aplicando la ecuación (7) en (8) y analizando el flujo a través de una superficie cerrada se encuentra que:
(9)\oint_S \vec E \cdot \text{d}\vec a = \frac{1}{\epsilon_0} Q_{enc}
donde Q_{enc} es la carga encerrada en esa superficie. La ecuación (9) es conocida como la ley integral de Gauss y su forma derivada es:
(10)\vec\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}
donde \rho es la densidad volumétrica de carga. Esto indica que el campo eléctrico diverge hacia una distribución de carga; en otras palabras, que el campo eléctrico comienza en una carga y termina en otra.1
Esta idea puede ser visualizada mediante el concepto de líneas de campo. Si se tiene una carga en un punto, el campo eléctrico estaría dirigido hacia la otra carga.

Ley de Faraday

En 1821, Michael Faraday realizó una serie de experimentos que lo llevaron a determinar que los cambios temporales en el campo magnético inducen un campo eléctrico. Esto se conoce como la ley de Faraday. La fuerza electromotriz, definida como el rotacional a través de un diferencial de línea está determinado por:
(11)\epsilon = \oint \vec E \cdot \text{d}\vec\text{l} = - \frac{d \Phi}{dt}
donde el signo menos indica la Ley de Lenz y \Phi es el flujo magnético en una superficie, determinada por:
(12)\Phi = \int \vec B \cdot\text{d}\vec{\text{a}}
reemplazando (12) en (11) se obtiene la ecuación integral de la ley de Faraday:
(13)\oint \vec E \cdot\text{d}\vec{\text{l}} = - \int \frac{d \vec B}{dt} \cdot\text{d}\vec{\text{a}}
Aplicando el teorema de Stokes se encuentra la forma diferencial:
(14)\vec\nabla \times \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\text{d}t}
La ecuación (14) completa la descripción del campo eléctrico, indicando que la variación temporal del campo magnético induce un campo eléctrico.1

Expresiones del campo eléctrico

Campo electrostático (cargas en reposo)

Un caso especial del campo eléctrico es el denominado electrostático. Un campo electrostático no depende del tiempo, es decir es estacionario. Para este tipo de campos la Ley de Gauss todavía tiene validez debido a que esta no tiene ninguna consideración temporal, sin embargo, la Ley de Faraday debe ser modificada. Si el campo es estacionario, la parte derecha de la ecuación (13) y (14) no tiene sentido, por lo que se anula:
(15)\vec\nabla \times \vec E = 0
Esta ecuación junto con (10) definen un campo electrostático. Además, por el cálculo diferencial, se sabe que un campo cuyo rotacional es cero puede ser descrito mediante el gradiente de una función escalar V, conocida como potencial eléctrico:
(16)\vec E = - \vec\nabla V
La importancia de (15) radica en que debido a que el rotacional del campo eléctrico es cero, se puede aplicar el principio de superposición a este tipo de campos. Para varias cargas, se define el campo eléctrico como la suma vectorial de sus campos individuales:
(17)\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \vec E_3 + ...
entonces
(18)\vec\nabla \times \vec E = \vec\nabla \times (\vec E_1 + \vec E_2 + \vec E_3 +\dots) = (\vec\nabla \times \vec E_1) + (\vec\nabla \times \vec E_2) + (\vec\nabla \times \vec E_3)+\dots = 0

Líneas de campo

Líneas de campo eléctrico correspondientes a cargas iguales y opuestas, respectivamente.
Un campo eléctrico estático puede ser representado geométricamente con líneas tales que en cada punto el campo vectorial sea tangente a dichas líneas, a estas líneas se las conoce como "líneas de campo". Matemáticamente las líneas de campo son las curvas integrales del campo vectorial. Las líneas de campo se utilizan para crear una representación gráfica del campo, y pueden ser tantas como sea necesario visualizar.
Las líneas de campo son líneas perpendiculares a la superficie del cuerpo, de manera que su tangente geométrica en un punto coincide con la dirección del campo en ese punto. Esto es una consecuencia directa de la ley de Gauss, es decir encontramos que la mayor variación direccional en el campo se dirige perpendicularmente a la carga. Al unir los puntos en los que el campo eléctrico es de igual magnitud, se obtiene lo que se conoce como superficies equipotenciales, son aquellas donde el potencial tiene el mismo valor numérico. En el caso estático al ser el campo eléctrico un campo irrotacional las líneas de campo nunca serán cerradas (cosa que sí puede suceder en el caso dinámico, donde el rotacional del campo eléctrico es igual a la variación temporal del campo magnético cambiada de signo, por tanto una línea de campo eléctrico cerrado requiere un campo magnético variable, cosa imposible en el caso estático).
En el caso dinámico pueden definirse igualmente las líneas solo que el patrón de líneas variará de un instante a otro del tiempo, es decir, las líneas de campo al igual que las cargas serán móviles.

Campo electrodinámico (movimiento uniforme)

El campo eléctrico creado por una carga puntual presenta isotropía espacial, en cambio, el campo creado por una carga en movimiento tiene un campo más intenso en el plano perpendicular a la velocidad de acuerdo a las predicciones de la teoría de la relatividad. Esto sucede porque para un observador en reposo respecto a una carga que se mueve con velocidad uniforme la distancia en la dirección del movimiento de la carga serán menores que las medidas por un observador en reposo respecto a la carga, por efecto de la contracción de Lorentz, suponiendo que la carga se mueve a lo largo del eje X de observador tendríamos la siguiente relación de coordenadas entre lo medido por el observador en movimiento respecto a la carga \scriptstyle (\bar{x},\bar{y},\bar{z}) y el observador en reposo respecto a la carga \scriptstyle (x, y, z):
\bar{x} = \frac{x- Vt}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}, \quad \bar{y} = y, \quad \bar{z}=z
Siendo V la velocidad de la carga respecto al observador, así la distancia efectiva a la carga medida por el observador en movimiento respecto a la carga cumplirá que:
\bar{r}^2 = \frac{(x-Vt)^2 + (1-\frac{V^2}{c^2})(y^2+z^2)}{1-\frac{V^2}{c^2}}
Y por tanto el campo eléctrico medido por un observador en movimiento respecto a la carga será:
(19)\bold{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{\|\bar{r}\|^3}\bar{\bold{r}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q\left( 1-\frac{V^2}{c^2} \right)}{r^3\left( 1-\frac{V^2}{c^2}\sin^2 \theta \right)^{3/2}}\bold{r}
Donde \scriptstyle \theta es el ángulo formado por el vector de posición del punto donde se mide el campo (respecto a la carga) y la velocidad del movimiento. De esta última expresión se observa que si se considera una esfera de radio r alrededor de la carga el campo es más intenso en el "ecuador", tomando como polos norte y sur la interasección de la esfera con la trayectoria de la partícula, puede verse que el campo sobre la esfera varía entre un máximo \scriptstyle E_\bot y un mínimo \scriptstyle E_\| dados por:
(20)E_\| =\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q\left( 1-\frac{V^2}{c^2} \right)}{r^2}, \qquad E_\bot = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2\sqrt{ 1-\frac{V^2}{c^2}}}
Esta pérdida de simetría esférica es poco notoria para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz y se hace muy marcada a velocidades cercanas a la luz.

Campo electrodinámico (movimiento acelerado)

El campo de una carga en movimiento respecto a un observador se complica notablemente respecto al caso de movimiento uniforme si además de un movimiento relativo la carga presenta un movimiento acelerado respecto a un observador inercial. A partir de los potenciales de Lienard-Wiechert se obtiene que el campo creado por una carga en movimiento viene dado por:
(21)\bold{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon} \left[ \frac{q(1-\frac{v^2}{c^2})}{(r-\frac{\bold{r}\cdot\bold{v}}{c})^3}(\bold{r}-\frac{\bold{v}}{c}r) + \frac{q}{c^2(R-\frac{\bold{r}\cdot\bold{v}}{c})^3} \left[ \bold{r} \times \left( (\bold{r}-\frac{\bold{v}}{c}r) \times \dot{\bold{v}} \right) \right] \right]
El primer miembro solo depende de la velocidad y coincide con el campo eléctrico provocado por una carga en movimiento uniforme, a grandes distancias varía según una ley de la inversa del cuadrado 1/R2 y, por tanto, no supone emisión de energía, el segundo miembro depende de la aceleración \dot{\bold{v}} y tiene una variación 1/R que representa la intensidad decreciente de una onda esférica de radiación electromagnética, ya que las cargas en movimiento acelerado emiten radiación.

Energía del campo eléctrico

Un campo en general almacena energía y en el caso de cargas aceleradas puede transmitir también energía (principio aprovechado en antenas de telecomunicaciones). La densidad volumétrica de energía de un campo eléctrico está dada por la expresión siguiente:1
(22)u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2
Por lo que la energía total en un volumen V está dada por:
(23) U = \frac{\epsilon_0}{2}\int_{V} E^2 \ dV
donde dV es el diferencial de volumen.
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