Temas de física

Ecuación de Bernoulli

En 1738 el físico suizo Daniel Bernoulli determinó la expresión matemática fundamental que vincula  la presión con la velocidad y la altura de un fluido que circula por un tubo. A esta expresión se le conoce como Ecuación de Bernoulli y ella en sí misma no constituye una ley independiente de la física, es, en su lugar, una consecuencia de la ley de la conservación de la energía aplicada a un fluido ideal.

Antes de entrar en el tema debemos aclarar algunos conceptos que serán utilizados en el artículo, y estos son:

1. -Lineas de corriente: Para muchas aplicaciones resulta conveniente considerar el flujo total del fluido en movimiento como un manojo de corrientes muy finas (infinitesimales) que fluyen paralelas. Estas corrientes, que recuerdan hilos, se conocen como lineas de corriente.

2.- Flujo laminar: Cuando las lineas de corriente de un flujo nunca se cruzan y siempre marchan paralelas se le llama flujo laminar. En el flujo laminar siempre las lineas de corriente marchan en la misma dirección que la velocidad del flujo en ese punto.

3.- Flujo turbulento: En el flujo turbulento el movimiento del fluido se torna irregular, las lineas de corriente pueden cruzarse y se producen  cambios en la magnitud y dirección de la velocidad de estas.

4.- Viscosidad: Este término se utiliza para caracterizar el grado de rozamiento interno de un fluido y está asociado con la resistencia entre dos capas adyacentes del fluido que se mueven una respecto a la otra.

Entrando en la ecuación de Bernoulli

Para deducir la ecuación de Bernoulli debemos partir de que el fluido mantiene las condiciones siguientes:

1.- El fluido es incompresible.

2.- La temperatura del fluido no cambia.

3.- El flujo es laminar. No turbulento

4.- No existe rotación dentro de la masa del fluido, es un flujo irrotacional.

5.- No existen pérdidas por rozamiento en el fluido, es decir no hay viscosidad.

Figura 1. Un fluido circulando por un tubo de sección variable y flujo laminar.

Consideremos ahora el flujo a través de un tubo no uniforme durante un tiempo Δt como se muestra en la figura 1. La fuerza (F) en la parte baja del tubo es P₁A₁ donde P₁ es la presión y A₁ es el área de la sección en esa región del tubo. El trabajo realizado por el fluido colocado detrás de un anillo de fluido para desplazarlo la distancia Δx₁ en la parte baja del tubo es:

W₁ = F₁ Δx₁ = P₁A₁Δx₁ = P₁V     (ecuación 1)

Donde V es el volumen de la región verde de la figura 1.

De la misma manera, el trabajo hecho sobre el fluido en la porción alta del tubo en el mismo tiempo Δt es: 

 W₂ = -P₂A₂Δx₂ = -P₂V      (ecuación 2)

Note que como hemos considerado el fluido incompresible el volumen de fluido que circula a través de A₁ en el tiempo Δt es igual al que lo hace a través de A₂ en el mismo tiempo. Observe también que el trabajo W₂ es negativo debido a que la fuerza en el fluido en la parte alta del tubo se opone a su desplazamiento.

El trabajo neto hecho por esas fuerzas en el tiempo Δt es:

W = P₁V - P₂V     (ecuación 3)

Parte del trabajo neto realizado ha cambiado la energía cinética del fluido y parte se ha utilizado para cambiar su energía potencial gravitacional al ganar en elevación. Si m es la masa que pasa por dentro del tubo en el intervalo de tiempo Δt, entonces el cambio de energía cinética del volumen de fluido es:

 ΔE_c = ½mv₂² - ½mv₁²      (ecuación 4)

Y el cambio en la energía potencial es:

ΔE_p = mgy₂ - mgy₁     (ecuación 4) 

Si aplicamos ahora el teorema trabajo-energía en la forma W = ΔE_c + ΔE_p a este volumen de fluido y sustituimos los valores correspondientes tenemos que:

 P₁V - P₂V = ½mv₂² - ½mv₁² + mgy₂ - mgy₁    (ecuación 5)

Si dividimos ambos lados de la ecuación 5 por V; tenemos en cuenta que la densidad ρ = m/V y reagrupamos los términos de modo que aquellos referidos al punto 1 estén de un lado de la ecuación y los referidos al punto 2 estén en el otro, obtenemos la ecuación de Bernoulli:

P₁ + ½ρv₁² + ρgy₁ = P₂ + ½ρv₂² + ρgy₂        (ecuación 6)

La que puede expresarse también como:

P₁ + ½ρv² + ρgy = constante       (ecuación 7)

En palabras, la ecuación de Bernoulli dice que:

La suma de la presión (P), la energía cinética por unidad de volumen (½ρv²) y la energía potencial por unidad de volumen (ρgy), tiene el mismo valor a todo lo largo de una corriente fluida.

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli

Una importante consecuencia de la ecuación de Bernoulli es el tubo Vénturi descrito en el artículo Efecto Vénturi.

Flujo desde un tanque

Figura 1. Escape de fluido a través de un orificio en un tanque.

Otro fenómeno interesante de importancia práctica es la rapidez con la que fluye un líquido por una abertura en un tanque. Si consideramos un tanque abierto a la presión atmosférica, con un líquido de densidad ρ lleno hasta una altura h por encima de un orificio lateral perforado a la altura y₁ medida desde el fondo del tanque (figura 2), la rapidez con la que el líquido abandona el orificio se puede calcular con el uso de la ecuación de Bernoulli.

Para la solución del problema asumimos que el área de la sección transversal del tanque es tan grande comparada con el área de la sección transversal del orificio (A₂ >> A₁) de modo que el nivel del fluido cae tan lentamente que podemos considerar v₂ ≈ 0. Ahora sustituimos en la ecuación de Bernoulli teniendo en cuenta que la presión en ambos extremos es P_a, es decir, la presión atmosférica.

P_a + ½ρv₁² + ρgy₁ = P_a + ρgy₂

Ley de Poiseuille La ley de Poiseuille se vincula con el caudal de fluido que circula por un conducto. En la figura 1 se muestra un tramo de tubo bajo la presión P1 en el extremo izquierdo y la presión P2 en el extremo derecho y esta diferencia de presiones es la que hace moverse al fluido a lo largo del tubo. El caudal(volumen por unidad de tiempo) depende de la diferencia de presiones (P1 - P2), de las dimensiones del tubo y de la viscosidad del fluido. La relación entre estas magnitudes fue determinada por el francés J. L. Poiseuille asumiendo un flujo laminar y a esta relación se le conoce como Ley de Poiseuille. Donde R es el radio del tubo, L su longitud y η es el coeficiente de viscosidad. Dicho con palabras, la ley expresa que el caudal crece son el aumento de la diferencia de presiones y con el radio del tubo, pero disminuye al aumentar la viscosidad del fluido y la longitud del tubo. Estos resultados coinciden con la observaciones que cualquiera de nosotros haya podido hacer en las situaciones que nos rodean vinculadas a flujo de fluidos. Note que el radio del tubo influye en el caudal a la potencia 4 de modo que la disminución del radio del conducto es muy influyente en el caudal. Ley de Poiseuille Consideremos ahora un fluido viscoso que circula en régimen laminar por una tubería de radio interior R, y de longitud L, bajo la acción de una fuerza debida a la diferencia de presión existente en los extremos del tubo. F=(p1-p2)p r2 Sustituyendo F en la fórmula (1) y teniendo en cuenta que el área A de la capa es ahora el área lateral de un cilindro de longitud L y radio r. El signo negativo se debe a que v disminuye al aumentar r. Perfil de velocidades Integrando esta ecuación, obtenemos el perfil de velocidades en función de la distancia radial, al eje del tubo. Se ha de tener en cuenta que la velocidad en las paredes del tubo r=Res nula. que es la ecuación de una parábola. El flujo tiene por tanto un perfil de velocidades parabólico, siendo la velocidad máxima en el centro del tubo. Gasto El volumen de fluido que atraviesa cualquier sección normal del tubo en la unidad de tiempo se denomina gasto. El volumen de fluido que atraviesa el área del anillo comprendido entre r y r+dr en la unidad de tiempo es v(2p rdr). Donde v es la velocidad del fluido a una distancia r del eje del tubo y 2prdr es el área del anillo. El gasto se hallará integrando El gasto G es inversamente proporcional a la viscosidad h y varía en proporción directa a la cuarta potencia del radio del tubo R, y es directamente proporcional al gradiente de presión a lo largo del tubo, es decir al cociente (p1-p2)/L. El gasto se puede expresar G=πR2, donde <v> es la velocidad media del fluido Relaciones entre el flujo, la presión y la resistencia. Ley de Poiseuille En flujos laminares que se desarrollan en tubos cilíndricos, se pueden deducir las relaciones entre la intensidad del flujo, el gradiente de presión y la resistencia o fuerzas de fricción que actúan sobre las capas de envoltura. La Ley de Poiseuille (o de Hagen-Poiseuille) es una ecuación hemodinámica fundamental en la que se establece:         8 es el factor que resulta de la integración del perfil de la velocidad. Debido a que la longitud de los vasos y la viscosidad son relativamente constantes, el flujo viene determinado básicamente por el gradiente de presión y por el radio. De la ecuación representada, destaca el hecho de que el radio al estar elevado a la cuarta potencia, se constituye como el factor más importante. Si suponemos un vaso con un flujo de 1 ml/seg al aumentar el diámetro dos veces el flujo pasa a ser de 16 ml/seg, y si el diámetro aumenta cuatro veces el flujo pasará a ser 256 ml/seg . Por esta relación se puede justificar el papel preponderante que los cambios en el radio del conducto juegan en la regulación del flujo sanguíneo. La ecuación de Poiseuille está formulada para flujos laminares de fluidos homogéneos con viscosidad constante, sin embargo, en los vasos sanguíneos estas condiciones no siempre se cumplen; si la velocidad del flujo es alta o si el gradiente de presión es elevado, se pueden generar remolinos o turbulencias que modifican el patrón del flujo. Al producirse turbulencias se necesitarán gradientes de presión mayores para mantener el mismo flujo.