Astronomía - Mecánica celeste

 achatamiento (o elipticidad) es la medida de compresión de un círculo o una esfera a lo largo de su diámetro para formar una elipse o un elipsoide de revolución (esferoide). La notación usual para el achatamiento es f y su definición en términos de los semiejes de la elipse o elipsoide resultante es

${\displaystyle \mathrm {achatamiento} =f={\frac {a-b}{a}}.}$

El factor de compresión es b/a en cada caso. Para la elipse, este factor es también su relación de aspecto.

Definiciones

Existen dos variantes de achatamiento, para evitar confusiones, se les llama primer achatamiento, segundo achatamiento y tercer achatamiento.^{1 2 3 4 5}

(Primer) achatamiento	${\displaystyle f\,\!}$	${\displaystyle {\frac {a-b}{a}}\,\!}$	Fundamental. El inverso 1/f es la elección normal en un sistema de referencia geodésico.
Segundo achatamiento	${\displaystyle f'\,\!}$	${\displaystyle {\frac {a-b}{b}}\,\!}$	Raramente utilizado.
Tercer achatamiento	${\displaystyle n\quad (f'')\,\!}$	${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}\,\!}$	Utilizado en cálculos geodésicos como parámetro de expansión pequeño.6

Identidades que involucran achatamiento

El achatamiento está relacionado con otras propiedades de la elipse. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a(1-f)=a\left({\frac {1-n}{1+n}}\right),\\e^{2}&=2f-f^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}.\\\end{aligned}}}$

Interpretación planetaria

Véase también: Geoide

Achatamiento polar

Un planeta en rotación tiene una tendencia natural al achatamiento a causa del efecto centrífugo. Matemáticamente, este achatamiento viene dado por:

${\displaystyle f={\mbox{ver}}(o\!\varepsilon )=2\sin ^{2}\left({\frac {o\!\varepsilon }{2}}\right)=1-\cos(o\!\varepsilon )={\frac {a-b}{a}}\approx {\frac {15\pi }{4GT^{2}\rho }};\,\!}$

donde ${\displaystyle a\,\!}$ y ${\displaystyle b\,\!}$ son los radios ecuatorial y polar del planeta, respectivamente, y ${\displaystyle o\!\varepsilon \,\!}$ es la excentricidad angular. La aproximación, válida para el caso de un planeta fluido de densidad uniforme, es una función de la constante de gravitación universal ${\displaystyle G}$, del periodo de rotación ${\displaystyle T}$ y de la densidad ${\displaystyle \rho }$.

Valores numéricos planetarios

Véase también: Forma de la Tierra

Para la elipticidad de la Tierra, modelada por el WGS84, los valores definidos son⁷

a (radio ecuatorial): 6.378.137,0 m

1/f (achatamiento inverso): 298,257223563

de donde se deriva

b (radio polar): 6.356.752,3142 m,

de lo que la diferencia entre el semieje mayor y menor es de 21.385 m (esto es solo  0.335% del eje mayor, por lo que una representación de la Tierra en una pantalla de computadora debería ser de 299px por 300px. Dado que sería indistinguible de una esfera de 300px por 300px, las ilustraciones invariablemente deben exageran el achatamiento).

Otros valores en el Sistema Solar son: Júpiter,  f=1/16; Saturno,  f= 1/10, la Luna  f= 1/900. El achatamiento del Sol es menor que 1/1000.

Origen del achatamiento

En 1687 Isaac Newton publicó los Principia, en donde incluye una prueba de que un cuerpo fluido auto-gravitatorio en rotación que se encuentre en equilibrio, toma la forma de un elipsoide oblato de revolución (un esferoide).⁸ La cantidad de achatamiento depende de la densidad y el balance entre la fuerza de gravedad y la fuerza centrífuga.

Achatamiento polar: consecuencia de la fuerza centrífuga provocada por la rotación terrestre

El achatamiento polar es una consecuencia de la fuerza centrífuga provocada por la rotación terrestre. Esta fuerza, máxima en el ecuador y nula en los polos, deforma la Tierra dilatándola plásticamente precisamente en la faja ecuatorial. Este efecto de la fuerza centrífuga es una característica de todos los cuerpos sujetos a un movimiento rotacional y es tanto mayor cuanto mayor es la velocidad de rotación. Fue el físico británico Isaac Newton (1642-1727) quien elaboró la teoría de la gravitación universal y quien formuló la hipótesis del achatamiento polar terrestre precisamente sobre la base de estudios sobre los efectos de la rotación en los cuerpos sujetos a este movimiento. En consecuencia, en la primera mitad del siglo XVIII, algunas expediciones científicas organizadas por Francia y guiadas por el físico Maupertuis confirmaron la hipótesis de Newton. Una consecuencia del achatamiento polar es la diferencia entre el radio ecuatorial y polar. Efectivamente, si partimos de la Tierra, comprobamos que su radio en el ecuador mide 6.378,4 km y en el polo 6.356,9 km.

La diferencia es de 21,5 km y, si se divide por la longitud del radio ecuatorial, nos permite obtener la medida del achatamiento polar (llamado también excentricidad): que es de aproximadamente 0,0033. 

acoplamiento de marea es la causa de que la cara de un objeto astronómico esté fijada apuntando a otro, tal como la cara visible de la Luna está siempre apuntando a la Tierra. Un objeto acoplado de esta forma toma para la rotación sobre su eje el mismo tiempo que para efectuar la traslación alrededor del compañero. Esta rotación síncrona hace que un hemisferio apunte de forma continua hacia el objeto compañero. Normalmente, sólo el satélite se acopla alrededor de un planeta de mayor tamaño, pero si la diferencia de masa entre los dos cuerpos y su distancia es pequeña, puede que ambos objetos tengan un acoplamiento de marea recíproco como es el caso de Plutón y Caronte.

Dos cuerpos orbitando alrededor de uno central (rojo). El más cercano está acoplado, mientras que el más lejano no.

La Luna

Tanto la rotación de la Luna como su periodo orbital duran algo menos de 4 semanas, por lo que no importa cuándo se observa la Luna, vemos siempre la misma cara. La parte de la Luna que no podemos ver desde la Tierra (cara oculta) no fue observada hasta 1959 por la sonda soviética Luna 3.

A pesar de que los periodos orbitales y rotacionales de la Luna coinciden, podemos observar hasta un 59% de la superficie total de la Luna debido al fenómeno de las libraciones y el paralelaje. Las libraciones se originan por las variaciones de velocidad de la Luna debido a la excentricidad de la órbita: esto nos permite ver hasta 6° más a lo largo de su perímetro. El paralelaje es un efecto geométrico: en la superficie de la Tierra podemos estar algo distanciados de la línea que va del centro de la Tierra al de la Luna, y por ello podemos observar un poco (alrededor de 1°) alrededor del lado de la Luna cuando está en nuestro horizonte local.

Mecanismo

El cambio en el ritmo de rotación necesario para acoplar por mareas un cuerpo B a un cuerpo A más grande se origina por el momento aplicado por la gravedad de A en las mareas que ha inducido en B.

Bultos de mareas: la gravedad de A produce una fuerza de marea sobre B que distorsiona ligeramente la forma que B tendría por sí solo en equilibrio gravitatorio, por lo que se alarga a lo largo del eje orientado hacia A, y a su vez, se comprime ligeramente en las dos direcciones perpendiculares. Estas distorsiones son conocidas como los bultos de mareas. En los objetos astronómicos grandes, con forma casi esférica por su propia gravitación, la distorsión de marea produce un esferoide prolate o elipsoide. Los objetos más pequeños también experimentan esta distorsión, pero esta distorsión es menos regular. Cuando B no está aún acoplado por mareas, los bultos viajan sobre su superficie, con uno de los dos bultos salientes viajando próximo al punto donde el objeto A aparece en el cenit.

Arrastre del bulto: El material de B ejerce resistencia a las modificaciones periódicas de su superficie por las fuerzas de marea. Se necesita algún tiempo para que la forma de B alcance la forma de equilibrio gravitacional, pero al rotar el objeto B, el bulto que se forma ya ha sido alejado del eje A-B. Visto desde un punto fijo en el espacio, los puntos de mayor extensión del bulto se desplazan desde el eje orientado hacia A. Si el periodo de rotación de B es más corto que su periodo de traslación, los bultos se van por delante del eje orientado hacia A en la dirección de rotación, mientras que si el periodo orbital de B es más corto, los bultos quedan por detrás.

Momento resultante: Como los bultos están desplazados ahora del eje A-B, la fuerza gravitacional de A tira de la masa en el bulto en B ejerciendo un momento en B. El momento en el bulto orientado hacia A actúa en el sentido de que el periodo de rotación de B se equipare al periodo orbital, mientras que el bulto "trasero" en el sentido opuesto a A actúa en el sentido contrario. Sin embargo, el bulto que está en el lado mirando directamente a A está más próximo a A que el situado en el lado opuesto, por una distancia aproximadamente del diámetro de B, por lo que experimenta una fuerza y momento gravitacional algo mayor. El resultado neto del momento sobre ambos bultos es que este actúa siempre en el sentido de sincronizar la rotación de B con el periodo orbital, llevando inevitablemente al acoplamiento de mareas.

Cambios orbitales: El momento angular del sistema A-B se conserva en este proceso, por lo que cuando la velocidad de rotación de B se va reduciendo y va perdiendo su momento angular rotacional, su momento angular orbital va aumentando en la misma medida (hay también unos pequeños efectos en la rotación de A). Esto causa que la órbita de B se aleje de A en tándem con la reducción rotacional. Para el otro caso en que B comienza rotando muy despacio respecto a la traslación, el acoplamiento de mareas acelera la rotación, y baja la órbita.

Acoplamiento del cuerpo mayor: El efecto del acoplamiento de mareas también lo siente el cuerpo mayor A, pero a un ritmo inferior puesto que el efecto gravitacional de B es más débil debido a su menor tamaño. Por ejemplo, la rotación de la Tierra se va reduciendo lentamente por efecto de la Luna, por una cantidad que se puede percibir en tiempos geológicos en algunos fósiles. Para objetos de tamaños similares, el efecto puede ser muy parecido para ambos, de tal forma que ambos cuerpos se quedan acoplados entre sí. El planeta enanoPlutón y su satélite Caronte son buenos ejemplos de este caso; solo se puede ver Caronte desde un hemisferio de Plutón.

Resonancia rotación-órbita: Finalmente, en algunos casos donde la órbita es excéntrica y el efecto de mareas es relativamente débil, el cuerpo más pequeño puede terminar con una resonancia orbital, en vez de acoplado por mareas. Aquí, la proporción entre el periodo de rotación y el periodo orbital es una fracción bien definida diferente a 1:1. Un caso bien conocido es la rotación de Mercurio — su órbita está acoplada alrededor del Sol con una resonancia 3:2.

Configuración final

Hay una tendencia hacia que un satélite se oriente hacia la configuración de mínima energía, con el lado más pesado orientado hacia el planeta. Los cuerpos con formas irregulares orientarán su eje largo hacia el planeta.

La orientación de la Luna puede estar relacionada con este proceso. Los mares lunares se componen de basalto, el cual es más pesado que la corteza continental que los rodean, y se formaron en el lado de la luna en el cual la corteza es mucho más fina. El hemisferio orientado hacia la Tierra contiene todos los grandes mares. Sin embargo, la imagen simple de que la luna se estabilizó con el lado más pesado orientado hacia la Tierra es incorrecta, pues el acoplamiento de mareas ocurrió en una escala de tiempo muy corta de 1000 años o menos, mientras que los mares se formaron mucho más tarde.

Lista de cuerpos acoplados por la fuerza de marea conocidos

Sistema solar

Acoplado al Sol

• Mercurio (en una rotación/resonancia orbital 3:2)

Acoplado a la Tierra

• Luna

Acoplados a Marte

• Fobos
• Deimos

Acoplados a Júpiter

• Metis
• Adrastea
• Amaltea
• Tebe
• Ío
• Europa
• Ganímedes
• Calisto

Acoplados a Saturno

• Pan
• Atlas
• Prometeo
• Pandora
• Epimeteo
• Jano
• Mimas
• Encélado
• Telesto
• Tetis
• Calipso
• Dione
• Rea
• Titán
• Jápeto

Acoplados a Urano

• Miranda
• Ariel
• Umbriel
• Titania

Acoplados a Neptuno

• Proteo
• Tritón

Acoplado a Plutón

• Caronte (Plutón a su vez está acoplado a Caronte)

Extrasolar

• Tau Bootis acoplado al planeta gigante cercano Tau Bootis b.¹
• COROT-7b acoplado a la estrella COROT-7
• Próxima Centauri b acoplado a la estrella enana roja Próxima Centauri

EFECTOS DE LAS FUERZAS DE MAREA I. Rotación síncrona de satélites y calentamiento por marea

Aunque las fuerzas de marea se llaman así por ser responsables de las mareas oceánicas, son un fenómeno gravitatorio general. La interacción gravitatoria entre dos cuerpos celestes conlleva una diferencia en la intensidad de la fuerza gravitatoria entre el extremo cercano y el lejano, a la que denominamos fuerza de marea (concepto y cálculo estimado de su valor en la Tierra en este documento)

Suponiendo que ambos cuerpos tengan inicialmente forma esférica, la fuerza de marea entre ambos tiende a distorsionarlos, convirtiéndoles en elipsoides. Recíprocamente, las distorsiones generadas en cada cuerpo, afectan a los parámetros orbitales del otro y el sistema ha de evolucionar hasta que se establezca una condición de estabilidad mutua. Por ello, las fuerzas de marea son responsables de muchos de fenómenos astronómicos y/o astrofísicos.

Rotación síncrona de satélites

Un satélite tiene rotación síncrona cuando su periodo de rotación alrededor de un eje propio coincide con el traslación orbital alrededor del planeta. Además de la Luna, se sabe que otros 22 satélites del Sistema Solar tienen rotación síncrona. Algunos de ellos son Phobos y Deimos con Marte; o Amalthea, Io, Europa, Ganymede y Callisto con Júpiter. Además, se sospecha que otros 7 satélites rotan de la misma manera: Thebe (Júpiter), Prometheus, Pandora, Calypso y Titan (Saturno), etc. La rotación síncrona se alcanza mediante un proceso natural llamado acoplamiento de marea.

Para entender dicho proceso, podemos suponer la situación inicial que ilustra la figura adjunta, en donde el satélite, debido a las fuerzas de marea, tiene forma de elipsiode. Entonces se ejerce una atracción gravitatoria extra sobre la zona abultada o, más precisamente, actúa un par de fuerzas entre el planeta y el satélite. Dicho par propicia la evolución del sistema hacia la configuración de mínima energía que se obtiene al alinear el eje mayor del satélite con el planeta. Mientras se mantenga dicha configuración, la zona abultada del satélite siempre mira hacia el planeta, lo que implica tener una rotación síncrona.

El ejemplo más conocido de rotación síncrona es el de la Luna. Se cree que en los instantes iniciales, tras la formación del sistema Tierra-Luna (hace unos 4.000 millones de años), nuestro satélite giraba mucho más rápidamente de como lo hace hoy. La Luna seguramente no era perfectamente esférica, sino algo más alargada en una dirección. Las fuerzas de marea sobre ella acentuaron este alargamiento contribuyendo a que la Luna (entonces más caliente y "blanda") se estirase progresivamente. Una vez enfriada, el sistema Tierra-Luna evolucionó hacia la configuración de mínima energía, propiciando la sincronización de la rotación de nuestro satélite con su movimiento orbital hace unos mil millones de años.   ¿Por qué vemos siempre esta cara de la Luna? Artículo del Dr. D. Rafael Bachiller (05/04/2011)

El hecho de que la rotación síncrona pueda ser el estado de mínima energía de un sistema planeta-satélite, no implica necesariamente que los parámetros de la órbita del segundo sean estables.     De hecho, en el sistema Tierra-Luna, la acción de las fuerzas de marea oceánicas sobre la Tierra están modificando el periodo de rotación de la Tierra y la órbita de la Luna. Como la Tierra también rota alrededor de un eje propio y su periodo de rotación es mayor que el periodo orbital de la Luna, la masa de agua que se abulta en la Tierra se ve arrastrada por esta rotación terrestre y se adelanta a la posición de la Luna (dibujo adjunto). Ello provoca una atracción gravitatoria extra en la dirección perpendicular a dicho eje, que empuja hacia atrás al abultamiento. El par de fuerzas entre la Tierra y la Luna está decelerando la rotación de la Tierra y acelerando a nuestro satélite en su órbita. De acuerdo con la tercera ley de Kepler, esto implica que el radio orbital de nuestro satélite también está aumentando gradualmente. Como consecuencia de ello, los días se van alargando progresivamente, aproximadamente 1.4 milisegundos por siglo (el valor parece insignificante, pero implica que en los últimos 1500 años la diferencia de tiempo acumulado es de unas dos horas) y la órbita de la Luna se está alejando (el radio orbital aumenta aproximadamente 3.8 metros por siglo), lo que finalmente conducirá a la desaparición de los eclipses solares totales.

Calentamiento por marea

Las fuerzas de marea pueden calentar internamente cuerpos celestes, como planetas y satélites. Así, por ejemplo, en el Sistema Solar, se calcula que la cantidad de energía mecánica que se transforma en calor a causa de la fricción por mareas, representa el 0.85% de su energía actual.

El caso más notable de calentamiento por marea es el del satélite más interno de Júpiter, Io. Io es el cuerpo conocido más volcánico de todo el Universo, posee abundantes cráteres y en su interior se alcanzan temperaturas del orden de 2000K. Las variaciones en la fuerza de atracción de Júpiter, debidas a la excentricidad de la órbita de Io, alteran significativamente su abultamiento por marea (hasta 100m de diferencia de altura), lo que, junto con la rotación de Io sobre su propio eje, genera intensas fricciones en su interior, que está parcialmente fundido. Todo ello contribuye a  que Io tenga una actividad volcánica muy intensa,  que produce ríos de lava, pozos volcánicos, y plumas de azufre y dióxido de azufre, que son lanzadas a cientos de kilómetros de altura. Se ha predicho la existencia de más de 400 volcanes en este satélite de Júpiter, de los cuales ya se han observado más de 150 activos en las misiones espaciales de los programas Voyager, Galileo, Cassini y New Horizons, además de en distintos observatorios astronómicos terrestres.

Otro caso interesante es el de Encélado, una pequeña luna de Saturno, descubierta en 1789 por Herschel (1728-1832). Encélado saltó a la actualidad en 2006 cuando la sonda Cassini detectó unos espectaculares géiseres emergiendo de su superficie. Estudios posteriores sugirieron que los géiseres podrían emerger de océanos líquidos, posiblemente efervescentes, escondidos bajo una corteza de unos 40 kilómetros de espesor. Nuevos datos, recopilados en 2014 por la sonda Cassini, han confirmado la existencia de este mar subterráneo.

La explicación más plausible acerca del mecanismo físico capaz de calentar así el subsuelo de Éncélado, procede de las enormes fuerzas de marea ejercidas por Saturno sobre esta luna. Como consecuencia, el subsuelo de Encélado reúne tres ingredientes que son indispensables para que pueda surgir la vida: agua líquida, compuestos orgánicos y una fuente de energía (el volcanismo). De hecho, en algunas regiones del planeta Tierra sometidas a condiciones similares, hay organismos que sobreviven sin mayores problemas. Hace tan solo unos años, Encélado era una luna desprovista de interés. Hoy es uno de los candidatos prioritarios para la búsqueda de vida extraterrestre. http://intercentres.edu.gva.es/iesleonardodavinci/Fisica/Campo_gravitatorio/Campo_gravitatorio11.htm