LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

En álgebra abstracta , un anillo de división , también llamado campo de sesgo , es un anillo en el que la división es posible. Específicamente, es un anillo distinto de cero ^[1] en el que cada elemento distinto de cero atiene un inverso multiplicativo , es decir, un elemento x con a · x = x · a = 1. Dicho de manera diferente, un anillo es un anillo de división si y solo si el grupo de unidades es igual al conjunto de todos los elementos distintos de cero. Un anillo de división es un tipo de anillo no conmutativo.bajo la definición más flexible, donde el anillo no conmutativo se refiere a los anillos que no son necesariamente conmutativos.

Los anillos de división se diferencian de los campos solo en que no se requiere que su multiplicación sea conmutativa . Sin embargo, según el pequeño teorema de Wedderburn, todos los anillos de división finita son campos conmutativos y, por lo tanto, finitos . Históricamente, los anillos de división a veces se denominaban campos, mientras que los campos se denominaban "campos conmutativos". ^[5]

Todos los anillos de división son simples, es decir, no tienen un ideal de dos lados además del ideal cero y de sí mismo.

Relación con campos y álgebra lineal [ editar ]

Todos los campos son anillos de división; Ejemplos más interesantes son los anillos de división no conmutativa. El ejemplo más conocido es el anillo de cuaterniones H . Si solo permitimos coeficientes racionales en lugar de reales en las construcciones de los cuaterniones, obtenemos otro anillo de división. En general, si R es un anillo y S es un módulo simple sobre R , entonces, según el lema de Schur , el anillo de endomorfismo de S es un anillo de división; ^[6] cada anillo de división surge de esta manera de algún módulo simple.

Gran parte del álgebra lineal puede formularse, y sigue siendo correcta, para módulos sobre un anillo de división D en lugar de espacios vectorialessobre un campo. Al hacerlo, debe especificarse si uno está considerando los módulos de la derecha o de la izquierda, y se necesita algo de cuidado para distinguir correctamente la izquierda y la derecha en las fórmulas. Trabajando en coordenadas, los elementos de un módulo derecho de dimensión finita se pueden representar mediante vectores de columna, que se pueden multiplicar a la derecha mediante escalares y a la izquierda mediante matrices (que representan mapas lineales); para los elementos de un módulo izquierdo de dimensión finita, se deben usar vectores de fila, que se pueden multiplicar a la izquierda mediante escalas y a la derecha mediante matrices. El dual de un módulo derecho es un módulo izquierdo y viceversa. La transposición de una matriz debe verse como una matriz sobre el anillo de división opuesta D ^op para que la regla ( AB ) ^T = B^T A ^T para seguir siendo válido.

Cada módulo sobre un anillo de división es gratis ; es decir, tiene una base, y todas las bases de un módulo tienen el mismo número de elementos . Los mapas lineales entre módulos de dimensión finita sobre un anillo de división se pueden describir mediante matrices ; el hecho de que los mapas lineales por definición conmuten con la multiplicación escalar se representa más convenientemente en notación al escribirlos en el lado opuesto de los vectores como lo son los escalares. La eliminacion gaussianaEl algoritmo sigue siendo aplicable. El rango de columna de una matriz es la dimensión del módulo derecho generado por las columnas, y el rango de fila es la dimensión del módulo izquierdo generado por las filas; La misma prueba que para el caso del espacio vectorial puede usarse para mostrar que estos rangos son los mismos, y definir el rango de una matriz.

De hecho, lo contrario también es cierto y esto da una caracterización de los anillos de división a través de su categoría de módulo: Un anillo unital R es un anillo de división si y solo si cada módulo R está libre . ^[7]

El centro de un anillo de división es conmutativo y, por lo tanto, un campo. ^[8] Cada anillo de división es, por lo tanto, un álgebra de división sobre su centro. Los anillos de división se pueden clasificar de manera aproximada según sean o no finitas-dimensionales o infinitas-dimensionales sobre sus centros. Los primeros son llamados centralmente finitos y los segundos centralmente infinitos . Cada campo es, por supuesto, unidimensional sobre su centro. El anillo de los cuaterniones hamiltonianos forma un álgebra de 4 dimensiones sobre su centro, que es isomorfo a los números reales.

Ejemplos [ editar ]

• Como se señaló anteriormente, todos los campos son anillos de división.
• Los cuaterniones forman un anillo de división no conmutativa.
• El subconjunto de los cuaterniones a + bi + cj + dk , de manera que a , b , c y d pertenecen a un subcampo fijo de los números reales , es un anillo de división no conmutativa. Cuando este subcampo es el campo de los números racionales , este es el anillo de división de los cuaterniones racionales .
• Dejar $${\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}Ser un automorfismo del campo.$${\ displaystyle \ mathbb {C}}. Dejar$${\ displaystyle \ mathbb {C} ((z, \ sigma))}denota el anillo de la serie formal de Laurent con coeficientes complejos, en donde la multiplicación se define de la siguiente manera: en lugar de simplemente permitir que los coeficientes conmuten directamente con lo indeterminado$${\ displaystyle z}, para $${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {C}}definir $${\ displaystyle z ^ {i} \ alpha: = \ sigma ^ {i} (\ alpha) z ^ {i}} para cada índice $${\ displaystyle i \ in \ mathbb {Z}}. Si$${\ displaystyle \ sigma}es un automorfismo no trivial de números complejos (como la conjugación ), luego el anillo resultante de la serie de Laurent es un anillo de división estrictamente no conmutativo conocido como un anillo de la serie de Laurent sesgado ; ^[9] si σ = id presenta la multiplicación estándar de series formales . Este concepto puede generalizarse al anillo de la serie Laurent sobre cualquier campo fijo$${\ displaystyle F}, dado un no trivial $${\ displaystyle F}-automorfismo $${\ displaystyle \ sigma}.

Principales teoremas [ editar ]

Pequeño teorema de Wedderburn : Todos los anillos de división finita son campos conmutativos y, por lo tanto,finitos . ( Ernst Witt dio una prueba simple.)

Teorema de Frobenius : los únicos álgebras de división asociativa de dimensión finita sobre los reales son los reales mismos, los números complejos y los cuaterniones .

Nociones relacionadas [ editar ]

Los anillos de división solían llamarse "campos" en un uso anterior. En muchos idiomas, una palabra que significa "cuerpo" se usa para anillos de división, en algunos idiomas que designan anillos de división conmutativos o no conmutativos, mientras que en otros designan específicamente anillos de división conmutativos (lo que ahora llamamos campos en inglés). Una comparación más completa se encuentra en el artículo Campo (Matemáticas) .

Los campos de sesgo tienen una característica semántica interesante : un modificador (aquí "sesgo") amplía el alcance del término base (aquí "campo"). Por lo tanto, un campo es un tipo particular de campo sesgado, y no todos los campos sesgados son campos.

Si bien se supone que los anillos de división y las álgebras, como se discutió aquí, tienen multiplicación asociativa , las álgebras de división no asociativa , como los octoniones , también son de interés.

Un campo cercano es una estructura algebraica similar a un anillo de división, excepto que tiene solo una de las dos leyes distributivas .

álgebra abstracta , un álgebra de división es, en términos generales, un álgebra sobre un campo en el que la división , excepto por cero, siempre es posible.

Definiciones [ editar ]

Formalmente, comenzamos con un álgebra D sobre un campo , y asumimos que D no solo consiste en su elemento cero. Llamamos a D un álgebra de división si para cualquier elemento a en D y cualquier elemento no nulo b en D existe precisamente un elemento x en D con a = bx y precisamente un elemento y en D tal que a = yb .

Para álgebras asociativas , la definición se puede simplificar de la siguiente manera: un álgebra asociativa sobre un campo es un álgebra de división si y solo si tiene un elemento de identidad multiplicativo 1 ≠ 0 y cada elemento distinto de cero a tiene un inverso multiplicativo (es decir, un elemento x con ax = xa = 1 ).

Álgebra de división asociativa [ editar ]

Los ejemplos más conocidos de álgebra de división asociativa son los reales de dimensión finita (es decir, álgebras sobre el campo R de los números reales , que son de dimensión finita como un espacio vectorial sobre los reales). El teorema de Frobenius establece que hasta el isomorfismo existen tres álgebras de este tipo: los reales en sí mismos (dimensión 1), el campo de los números complejos (dimensión 2) y los cuaterniones(dimensión 4).

El pequeño teorema de Wedderburn establece que si D es un álgebra de división finita, entonces D es un campo finito . ^[1]

Sobre un campo K algebraicamente cerrado (por ejemplo, los números complejos C ), no hay álgebras de división asociativa de dimensión finita, excepto K en sí. ^[2]

Las álgebras de división asociativa no tienen divisores cero . Un álgebra asociativa unital de dimensión finita(sobre cualquier campo) es un álgebra de división si y solo si no tiene cero divisores.

Cuando A es un álgebra unital asociativa sobre el campo F y S es un módulo simple sobre A , entonces el anillode endomorfismo de S es un álgebra de división sobre F ; Cada álgebra de división asociativa sobre F surge de esta manera.

El centro de un asociativo división álgebra D sobre el campo K es un campo que contiene K . La dimensión de tal álgebra sobre su centro, si es finita, es un cuadrado perfecto : es igual al cuadrado de la dimensión de un subcampo máximo de D sobre el centro. Dado un campo F , el Brauer equivalencia clases de sencillo (contiene sólo triviales ideales a doble cara) álgebra de división asociativo cuyo centro es F y que son de dimensión finita sobre F puede ser convertido en un grupo, el grupo de Brauer del campo F .

Una forma de construir álgebras de división asociativa de dimensión finita sobre campos arbitrarios es la de los álgebras de cuaternión (ver también cuaterniones ).

Para las álgebras de división asociativa de dimensión infinita, los casos más importantes son aquellos donde el espacio tiene una topología razonable . Ver, por ejemplo, álgebra de división normalizada y álgebras de Banach .

No necesariamente álgebra de división asociativas [ editar ]

Si no se asume que el álgebra de división es asociativo, generalmente se impone alguna condición más débil (como la alternatividad o la asociatividad de poder ). Consulte Álgebra sobre un campo para obtener una lista de tales condiciones.

Sobre los reales hay (hasta el isomorfismo) solo dos álgebras de división finita-dimensional conmutativa unitaria : los reales mismos y los números complejos. Estos son, por supuesto, ambos asociativos. Para un ejemplo no asociativo, considere los números complejos con la multiplicación definida tomando el conjugado complejo de la multiplicación usual:

$${\ displaystyle a * b = {\ overline {ab}}.}

Este es un álgebra de división conmutativa, no asociativa de dimensión 2 sobre los reales, y no tiene un elemento unitario. Hay infinitas otras álgebras divisionales reales conmutativas, no asociativas, no isomorfas, pero todas ellas tienen la dimensión 2.

De hecho, cada álgebra de división conmutativa real de dimensión finita es de 1 o 2 dimensiones. Esto se conoce como el teorema de Hopf y se probó en 1940. La prueba utiliza métodos de topología . Aunque se encontró una prueba posterior utilizando geometría algebraica , no se conoce ninguna prueba algebraica directa. El teorema fundamental del álgebra es un corolario del teorema de Hopf.

Abandonando el requisito de conmutatividad, Hopf generalizó su resultado: cualquier álgebra de división real de dimensión finita debe tener una dimensión de un poder de 2.

Trabajos posteriores demostraron que, de hecho, cualquier álgebra de división real finita-dimensional debe ser de dimensión 1, 2, 4 u 8. Esto fue probado independientemente por Michel Kervaire y John Milnor en 1958, nuevamente utilizando técnicas de topología algebraica , en particular K -teoría . Adolf Hurwitz había demostrado en 1898 que la identidad$${\ displaystyle q {\ overline {q}} = {\ text {suma de cuadrados}}}mantenido solo para las dimensiones 1, 2, 4 y 8. ^[3] (Ver el teorema de Hurwitz .) El desafío de construir un álgebra de división de tres dimensiones fue abordado por varios matemáticos primitivos. Kenneth O. May examinó estos intentos en 1966. ^[4]

Cualquier álgebra real de división finita-dimensional sobre los reales debe ser

• isomorfo a R o C si es unitario y conmutativo (equivalentemente: asociativo y conmutativo)
• isomorfo a los cuaterniones si no conmutativo pero asociativo
• isomorfo a los octoniones si no asociativo pero alternativo .

Se conoce lo siguiente sobre la dimensión de un álgebra de división finita-dimensional A sobre un campo K :

• dim A = 1 si K está algebraicamente cerrado ,
• dim A = 1, 2, 4 u 8 si K está realmente cerrado , y
• Si K es ni verdadera ni algebraicamente cerrado, entonces hay un número infinito de dimensiones en las cuales existen más de álgebras de división K .

En álgebra abstracta , un simple anillo es un no-cero anillo que no tiene dos caras ideales además del cero ideales y ella misma.

Se debe notar que varias referencias (p. Ej., Lang (2002) o Bourbaki (2012)) requieren además que un simple anillo sea Artinian izquierdo o derecho (o equivalente semi-simple ). Bajo dicha terminología, un anillo no nulo sin ideales bilaterales no triviales se llama cuasi simple .

Un simple anillo siempre puede ser considerado como un álgebra simple . Anillos que son simples como anillos pero no como módulos existen: el anillo de matriz completa sobre un campo no tiene ningún ideal no trivial (ya que cualquier ideal de M (n, R ) es de la forma M (n, I ) con I an ideal de R), pero tiene ideales izquierdos no triviales (es decir, los conjuntos de matrices que tienen algunas columnas de cero fijo).

De acuerdo con el teorema de Artin-Wedderburn , cada anillo simple que está a la izquierda o derecha Artinianes un anillo de la matriz sobre un anillo de división . En particular, los únicos anillos simples que son un espacio vectorial de dimensión finita sobre los números reales son los anillos de matrices sobre los números reales, los números complejos o los cuaterniones .

Cualquier cociente de un anillo por un ideal máximo es un anillo simple. En particular, un campo es un simple anillo. De hecho, un anillo de división es también un anillo simple. Un anillo es simple si y solo su anillo opuesto R ^o es simple.

Un ejemplo de un anillo simple que no es un anillo de matriz sobre un anillo de división es el álgebra de Weyl .

Además, un anillo. $${\ displaystyle R}es un simple anillo conmutativo si y solo si$${\ displaystyle R}Es un campo . Esto es porque si$${\ displaystyle R} es un anillo conmutativo, entonces puede elegir un elemento distinto de cero $${\ displaystyle x \ en R} y considera el ideal $${\ displaystyle \ {xr: r \ en R \}}. Entonces desde$${\ displaystyle R} es simple, este ideal es el anillo completo, y por lo tanto contiene 1, y por lo tanto hay algún elemento $${\ displaystyle y \ en R} tal que $${\ displaystyle xy = 1}, y entonces $${\ displaystyle R}es un campo A la inversa, si $${\ displaystyle R} es conocido por ser un campo, entonces cualquier ideal distinto de cero $${\ displaystyle I \ subconjunto R} tendrá un elemento distinto de cero $${\ displaystyle i \ in I}. Pero desde $${\ displaystyle R} es un campo, entonces $${\ displaystyle i ^ {- 1} \ en R} y entonces $${\ displaystyle i ^ {- 1} i = 1 \ en I}, y entonces $${\ displaystyle I = R}.

El teorema de Wedderburn [ editar ]

El teorema de Wedderburn caracteriza los anillos simples con una unidad y un ideal de izquierda mínimo. (La condición Artiniana de la izquierda es una generalización de la segunda suposición). Es decir, dice que cada anillo de este tipo es, hasta el isomorfismo , un anillo de matrices ( n × n ) sobre un anillo de división.

Deje que D sea un anillo de división y M ( n , D ) sea el anillo de matrices con entradas en D . No es difícil demostrar que cada ideal de izquierda en M ( n , D ) toma la siguiente forma:

{ M ∈ M ( n , D ) | Las n ₁ ... n _k -las columnas de M tienen cero entradas},

para algunos arreglados { n ₁ , ..., n _k } ⊂ {1, ..., n }. Así que un ideal mínimo en M ( n , D ) es de la forma

{ M ∈ M ( n , D ) | Todas menos las columnas k -th tienen cero entradas},

para un determinado k . En otras palabras, si I es un ideal izquierdo mínimo, entonces I = (M ( n , D )) e , donde ees la matriz idempotente con 1 en la entrada ( k , k ) y cero en otra parte. Además, D es isomorfo a e (M ( n , D )) e . El ideal de la izquierda I puede verse como un módulo de la derecha sobre e (M ( n , D )) e , y el anillo M ( n ,D ) es claramente isomorfo al álgebra de homomorfismos en este módulo.

El ejemplo anterior sugiere el siguiente lema:

Lemma A es un anillo con identidad 1 y un elemento idempotente e donde AeA = A . Let Me ser el ideal izquierda Ae , considerado como un módulo de la derecha sobre la EAE . Entonces A es isomorfo al álgebra de homomorfismos en I , denotado por Hom ( I ).

Prueba: Se define la "representación regular izquierda" Φ: A → Hom ( I ) por Φ ( un ) m = am para m ∈ I . Φ es inyectivo porque si a ⋅ I = aAe = 0 , entonces aA = aAeA = 0 , lo que implica que a = a ⋅ 1 = 0 .

Para la sobreyectividad, deje T ∈ Hom ( I ) . Dado que AeA = A , la unidad 1 se puede expresar como 1 = ∑ a _i eb _i . Asi que

T ( m ) = T (1⋅ m ) = T (∑ a _i eb _i m ) = ∑ T ( a _i eeb _i m ) = ∑ T ( a _i e) eb _i m = [∑ T ( a _i e ) eb _i ] m .

Dado que la expresión [∑ T ( a _i e ) eb _i ] no depende de m , Φ es sobreyectiva. Esto prueba el lema.

El teorema de Wedderburn se desprende fácilmente de la lema.

Teorema ( Wedderburn ). Si A es un anillo simple con unidad 1 y un ideal mínimo izquierdo I , entonces A es isomorfo al anillo de n × n -matrices sobre un anillo de división.

Uno simplemente tiene que verificar los supuestos de la retención del lema, es decir, encontrar un idempotente etal que I = Ae , y luego mostrar que eAe es un anillo de división. La suposición A = AeA se sigue de A siendo simple.