TRIGONOMETRÍA

transformada de Hartley ( HT ) es una transformación integral estrechamente relacionada con la transformada de Fourier (FT), pero que transforma funciones de valores reales en funciones de valores reales. Fue propuesto como una alternativa a la transformada de Fourier por Ralph VL Hartley en 1942, ^[1] y es una de las muchas transformadas conocidas relacionadas con Fourier . En comparación con la transformada de Fourier, la transformada de Hartley tiene las ventajas de la transformación reales funciones a las funciones reales (en oposición a la exigencia de los números complejos ) y de ser su propio inverso.

La versión discreta de la transformada, la transformada discreta de Hartley (DHT), fue presentada por Ronald N. Bracewell en 1983. ^[2]

La transformada de Hartley bidimensional se puede calcular mediante un proceso óptico analógico similar a una transformada de Fourier óptica (OFT), con la ventaja propuesta de que solo es necesario determinar su amplitud y signo en lugar de su fase compleja. ^[3] Sin embargo, las transformaciones ópticas de Hartley no parecen haber tenido un uso generalizado.

Definición [ editar ]

La transformada de Hartley de una función f ( t ) se define por:

$${\ displaystyle H (\ omega) = \ left \ {{\ mathcal {H}} f \ right \} (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} f (t) \ operatorname {cas} (\ omega t) \, \ mathrm {d} t,}

dónde $${\ displaystyle \ omega}Puede en aplicaciones ser una frecuencia angular y

$${\ displaystyle \ operatorname {cas} (t) = \ cos (t) + \ sin (t) = {\ sqrt {2}} \ sin (t + \ pi / 4) = {\ sqrt {2}} \ cos (t- \ pi / 4) \,}

es el coseno y el seno o kernel de Hartley . En términos de ingeniería, esta transformación toma una señal (función) del dominio del tiempo al dominio espectral de Hartley (dominio de la frecuencia).

Transformada inversa [ editar ]

La transformada de Hartley tiene la propiedad conveniente de ser su propio inverso (una involución ):

$${\ displaystyle f = \ {{\ mathcal {H}} \ {{\ \ mathcal {H}} f \} \}.}

Convenciones [ editar ]

Lo anterior está de acuerdo con la definición original de Hartley, pero (al igual que con la transformada de Fourier) varios detalles menores son asuntos de convención y se pueden cambiar sin alterar las propiedades esenciales:

• En lugar de utilizar la misma transformación para adelante e inverso, se puede eliminar el $${\ displaystyle {1} / {\ sqrt {2 \ pi}}} de la transformación hacia adelante y el uso $${\ displaystyle {1} / {2 \ pi}} para el inverso, o, de hecho, cualquier par de normalizaciones cuyo producto es $${\ displaystyle {1} / {2 \ pi}}. (Tales normalizaciones asimétricas se encuentran a veces tanto en contextos puramente matemáticos como de ingeniería).
• También se puede utilizar $${\ displaystyle 2 \ pi \ nu t} en lugar de $${\ displaystyle \ omega t} (es decir, frecuencia en lugar de frecuencia angular), en cuyo caso la $${\ displaystyle {1} / {\ sqrt {2 \ pi}}} El coeficiente se omite por completo.
• Uno puede usar cos-sin en lugar de cos + sin como núcleo.

Relación con la transformada de Fourier [ editar ]

Esta transformada difiere de la clásica transformada de Fourier. $${\ displaystyle F (\ omega) = {\ mathcal {F}} \ {f (t) \} (\ omega)}En la elección del kernel. En la transformada de Fourier, tenemos el kernel exponencial: $${\ displaystyle \ exp \ left ({- i \ omega t} \ right) = \ cos (\ omega t) -i \ sin (\ omega t),} donde i es la unidad imaginaria .

Sin embargo, las dos transformaciones están estrechamente relacionadas y la transformada de Fourier (suponiendo que utiliza la misma $${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {2 \ pi}}} convención de normalización) se puede calcular a partir de la transformación de Hartley mediante:

$${\ displaystyle F (\ omega) = {\ frac {H (\ omega) + H (- \ omega)} {2}} - i {\ frac {H (\ omega) -H (- \ omega)} { 2}}.}

Es decir, las partes reales e imaginarias de la transformada de Fourier están simplemente dadas por las partes pares e impares de la transformada de Hartley, respectivamente.

A la inversa, para las funciones de valor real f ( t ), la transformada de Hartley se da a partir de las partes reales e imaginarias de la transformada de Fourier:

$${\ displaystyle \ {{\ mathcal {H}} f \} = \ Re \ {{\ mathcal {F}} f \} - \ Im \ {{\ mathcal {F}} f \} = \ Re \ { {\ mathcal {F}} f \ cdot (1 + i) \}}

dónde $${\ displaystyle \ Re} y $${\ displaystyle \ Im} denota las partes reales e imaginarias de la compleja transformación de Fourier.

Propiedades [ editar ]

La transformada de Hartley es un operador lineal real , y es simétrica (y hermitiana ). De las propiedades simétricas y autoinversas, se deduce que la transformación es un operador unitario (de hecho, ortogonal ).

También hay un análogo del teorema de convolución para la transformada de Hartley. Si dos funciones$${\ displaystyle x (t)} y $${\ displaystyle y (t)} tienen transformadas de Hartley $${\ displaystyle X (\ omega)} y $${\ displaystyle Y (\ omega)}, respectivamente, luego su convolución $${\ displaystyle z (t) = x * y}tiene la transformada de Hartley ^{[ cita requerida ]} :

$${\ displaystyle Z (\ omega) = \ {{\ \ mathcal {H}} (x * y) \} = {\ sqrt {2 \ pi}} \ left (X (\ omega) \ left [Y (\ omega ) + Y (- \ omega) \ right] + X (- \ omega) \ left [Y (\ omega) -Y (- \ omega) \ right] \ right) / 2.}

Similar a la transformada de Fourier, la transformada de Hartley de una función par / impar es par / impar, respectivamente.

cas [ editar ]

Las propiedades del kernel de Hartley , para las cuales Hartley introdujo el nombre de función cas (de coseno y seno ) en 1942, ^{[1] [4] se} derivan directamente de la trigonometría , y su definición como una función trigonométrica de cambio de fase.$${\ displaystyle \ operatorname {cas} (t) = {\ sqrt {2}} \ sin (t + \ pi / 4)}. Por ejemplo, tiene una identidad de adición de ángulo de:

$${\ displaystyle 2 \ operatorname {cas} (a + b) = \ operatorname {cas} (a) \ operatorname {cas} (b) + \ operatorname {cas} (-a) \ operatorname {cas} (b) + \ operatorname {cas} (a) \ operatorname {cas} (-b) - \ operatorname {cas} (-a) \ operatorname {cas} (-b). \,}

Adicionalmente:

$${\ displaystyle \ operatorname {cas} (a + b) = {\ cos (a) \ operatorname {cas} (b)} + {\ sin (a) \ operatorname {cas} (-b)} = \ cos ( b) \ operatorname {cas} (a) + \ sin (b) \ operatorname {cas} (-a) \,}

y su derivado viene dado por:

$${\ displaystyle \ operatorname {cas} '(a) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a}} \ operatorname {cas} (a) = \ cos (a) - \ sin ( a) = \ operatorname {cas} (-a).}

cis es una notación matemática menos utilizadadefinida por cis ( x ) = cos ( x ) + i sin ( x ) , ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]}donde cos es lafunción coseno , i es la unidad imaginaria y el pecado es el seno . La notación es menos utilizada que la fórmula de Euler ,$${\ displaystyle e ^ {ix}}, que ofrece una notación aún más corta y más general para cos ( x ) + i sin ( x ) .

Descripción general [ editar ]

La notación cis fue acuñada por primera vez por William Rowan Hamilton en Elements of Quaternions (1866) ^[9] y posteriormente fue utilizada por Irving Stringham en obras como Uniplanar Algebra (1893), ^[10] [11] o por James Harkness y Frank Morley en Su Introducción a la Teoría de las Funciones Analíticas (1898). ^[11] [12] Conecta funciones trigonométricas con funciones exponenciales en el plano complejo a través de la fórmula de Euler .

Se usa principalmente como una notación abreviada conveniente para simplificar algunas expresiones, ^{[9] [10] [3]}por ejemplo en conjunción con las transformadas de Fourier y Hartley , ^{[2] [6] [7]} o cuando las funciones exponenciales no deberían ser Usado por alguna razón en la educación matemática.

En la tecnología de la información, la función considera que el apoyo de diversas bibliotecas de matemáticas de alto rendimiento (por ejemplo, dedica Intel 's Math Kernel Library (MKL) ^[13] ), disponible para muchos compiladores, lenguajes de programación (incluyendo C , C ++ , ^[14] Común Lisp , ^[15] [16] D , ^[17] Fortran , ^[18]Haskell , ^[19] Julia ^[20] ), y sistemas operativos (incluidos Windows , Linux , ^[18] macOS y HP-UX ^[21]). Dependiendo de la plataforma, la operación fusionada es aproximadamente el doble de rápida que llamar a las funciones seno y coseno individualmente. ^[17] [22]

Relación con la función exponencial compleja [ editar ]

La función exponencial compleja se puede expresar.

$${\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin (x),}^[1]

$${\ displaystyle e ^ {- ix} = \ cos (-x) + i \ sin (-x) = \ cos (x) -i \ sin (x)}

$${\ displaystyle e ^ {i \ pi} = - 1}

$${\ displaystyle \ cos (x) = {\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}}}

$${\ displaystyle \ sin (x) = {\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}}}

donde i ² = −1 .

Esto también se puede expresar usando la siguiente notación

$${\ displaystyle \ operatorname {cis} (x) = \ cos (x) + i \ sin (x),}^{[1] [4] [22]}

es decir. " cis " abrevia " cos + i sin ".

Aunque a primera vista esta notación es redundante, siendo equivalente a e ^ix , su uso se basa en varias ventajas, como estar directamente vinculado a la forma polar de un número complejo (y ser más fácil de entender).

Identidades matemáticas [ editar ]

Derivado [ editar ]

$${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ operatorname {cis} (z) = i \ operatorname {cis} (z) = ie ^ {iz}}^[1] [23]

Integral [ editar ]

$${\ displaystyle \ int \ operatorname {cis} (z) \, \ mathrm {d} z = -i \ operatorname {cis} (z) = - ie ^ {iz}}^[1]

Otras propiedades [ editar ]

Estos siguen directamente de la fórmula de Euler .

$${\ displaystyle \ operatorname {cis} (x + y) = \ operatorname {cis} (x) \, \ operatorname {cis} (y)}^[24]

$${\ displaystyle \ operatorname {cis} (xy) = {\ operatorname {cis} (x) \ over \ operatorname {cis} (y)}}

Las identidades anteriores se mantienen si x e y son números complejos. Si x y y son reales, entonces

$${\ displaystyle | \ operatorname {cis} (x) - \ operatorname {cis} (y) | \ leq | xy |.}^[24]

Historia [ editar ]

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Esta notación era más común en la era posterior a la Segunda Guerra Mundial, cuando se usaban máquinas de escribir para transmitir expresiones matemáticas.

Los superíndices están desplazados verticalmente y son más pequeños que ' cis ' o ' exp '; por lo tanto, pueden ser problemáticos incluso para escribir a mano, por ejemplo, e ^ix 2 versus cis ( x ² ) o exp ( ix ² ) . Para muchos lectores, cis ( x ² ) es el más claro y fácil de leer de los tres. ^{[ cita requerida ]}

La notación cis se usa a veces para enfatizar un método de ver y tratar un problema sobre otro. Las matemáticas de la trigonometría y las exponenciales están relacionadas pero no son exactamente iguales; La notación exponencial enfatiza la totalidad, mientras que las notaciones cis ( x ) y cos ( x ) + i ( x ) enfatizan las partes. Esto puede ser retóricamente útil para los matemáticos e ingenieros cuando se habla de esta función, y además sirve como una mnemotécnica (para cos + i sin ).

La notación cis es conveniente para los estudiantes de matemáticas cuyo conocimiento de trigonometría y números complejos permiten esta notación, pero cuya comprensión conceptual aún no permite la notación e ^ix . A medida que los estudiantes aprenden conceptos que se basan en conocimientos previos, es importante no forzarlos a niveles de matemáticas para los que aún no están preparados: la prueba habitual de que cis ( x ) = e ^ix requiere un cálculo , que el estudiante no haya estudiado antes encontraron la expresión cos ( x ) + i sin ( x ) .

En 1942, inspirado en la notación cis , Ralph VL Hartley introdujo la función cas (para coseno y seno ) para el kernel de Hartley de valor real , un atajo establecido mientras tanto junto con las transformadas de Hartley : ^[25] [26]

cas ( x ) = cos ( x ) + sin ( x ) .

cofunction de una función g si f ( A ) = g ( B ) siempre que A y B son ángulos complementarios . ^[1] Esta definición se aplica típicamente a las funciones trigonométricas . ^[2] [3] El prefijo "co-" ya se puede encontrar en el Triángulo de Canon de Edmund Gunter (1620). ^[4] [5]

Por ejemplo, seno (latín: seno ) y coseno (latín: coseno , ^[4] [5] sinusal complementario ^[4] [5] ) son funciones conjuntas entre sí (de ahí el "co" en "coseno"):

$${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ right) = \ cos (A)}[1] [3]

$${\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ right) = \ sin (A)}[1] [3]

Lo mismo es cierto de secante (latín: secans ) y cosecant (latín: cosecans , Secans complementi ), así como de tangente (latín: tangens ) y cotangente (latín: cotangens , ^[4] [5] Tangens complementi ^{[4] [ 5]} ):

$${\ displaystyle \ sec \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ right) = \ csc (A)}[1] [3]	$${\ displaystyle \ csc \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ right) = \ sec (A)}[1] [3]
$${\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ derecha) = \ cot (A)}[1] [3]	$${\ displaystyle \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ derecha) = \ tan (A)}[1] [3]

Estas ecuaciones también se conocen como las identidades cofuncionales . ^[2] [3]

Esto también es válido para la versina (versed sine, ver) y coversine (sine cubierto, cvs), la vercosine (cosine versed, vcs) y covercosine (cosine cubierto, cvc), la haversine (sine half-versed, hav) y hacoversine (sine medio cubierto, hcv), havercosine ( cosine a la mitad, hvc) y hacovercosine ( cosine a medio cubierto, hcc), así como exsecant ( secant externo, exs) y excosecant (cosecant externo, exc) :

$${\ displaystyle \ operatorname {ver} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ right) = \ operatorname {cvs} (A)}[6]	$${\ displaystyle \ operatorname {cvs} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ right) = \ operatorname {ver} (A)}
$${\ displaystyle \ operatorname {vcs} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ right) = \ operatorname {cvc} (A)}[7]	$${\ displaystyle \ operatorname {cvc} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ right) = \ operatorname {vcs} (A)}
$${\ displaystyle \ operatorname {hav} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ right) = \ operatorname {hcv} (A)}	$${\ displaystyle \ operatorname {hcv} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ right) = \ operatorname {hav} (A)}
$${\ displaystyle \ operatorname {hvc} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ right) = \ operatorname {hcc} (A)}	$${\ displaystyle \ operatorname {hcc} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ right) = \ operatorname {hvc} (A)}
$${\ displaystyle \ operatorname {exs} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ right) = \ operatorname {exc} (A)}	$${\ displaystyle \ operatorname {exc} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - A \ right) = \ operatorname {exs} (A)}