EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

La ley de Bergonié y Tribondeau o ley de radiosensibilidad se postuló en 1906 por los dos científicos que le han dado el nombre: Jean Bergonié (1857-1925), médico cancerólogo francés, y Louis Tribondeau, médico francés. Tras estudiar los efectos de la radiación ionizante en ratones, llegaron a la conclusión de que las células presentan diferente sensibilidad a la radiación en función de varios factores intrínsecos.^[1]

• Son más radiosensibles aquellas células que presentan mayor actividad mitótica.
• Son más radiosensibles las células menos diferenciadas o indiferenciadas (las que no han sufrido procesos de diferenciación hacia estirpes celulares específicas).
• Son más radiosensibles las células que tienen por delante un ciclo vital con mayor número de divisiones.

Esta ley es de utilidad en la rama de la radiobiología que estudia los efectos de la radiación en los tejidos.

La figura muestra la velocidad (${\displaystyle dV}$) inducida en un punto P por un elemento de filamento de vórtice (${\displaystyle dl}$) de fuerza ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$.

En física, especialmente en electromagnetismo, la ley de Biot y Savart es una ecuación que describe el campo magnético generado por corrientes eléctricas estacionarias. Relaciona el campo magnético a la magnitud, dirección, longitud y proximidad de una corriente eléctrica. La ley de Biot y Savart es fundamental de la magnetostática, jugando un papel similar al de la ley de Coulomb en la electrostática. Cuando la magnetostática no se aplica, la ley de Biot y Savart deberá ser remplazada por la Ecuación de Jefimenko. La ley es válida en la aproximación magnetostática, y consistente con ambas, la Ley circuital de Ampère y la Ley de Gauss para el magnetismo.

Etimología

Data de 1820 y es llamada así en honor de los físicos franceses Jean-Baptiste Biot y Félix Savart.

Descripción

En el caso de las corrientes que circulan por circuitos filiformes (o cerrados), la contribución de un elemento infinitesimal de longitud (${\displaystyle d\overrightarrow{l}}$) del circuito recorrido por una corriente (${\displaystyle I}$) crea una contribución elemental de campo magnético, (${\displaystyle d\overrightarrow{B}}$), en el punto situado en la posición que apunta el vector (${\displaystyle \overrightarrow{r}}$) a una distancia (${\displaystyle r}$) respecto de (${\displaystyle d\overrightarrow{l}}$), quien apunta en la dirección de la corriente (${\displaystyle I}$):

${\displaystyle d\overrightarrow{B}=(\frac{{\mu }_0}{4\pi })\frac{Id\overrightarrow{l}\times \hat{r}}{r^2}}$

donde ${\displaystyle {\mu }_0}$ es la permeabilidad magnética del vacío, y ${\displaystyle \hat{r}}$ es un vector unitario con la dirección del vector ${\displaystyle \overrightarrow{r}}$, es decir, ${\displaystyle \hat{r}=\frac{\overrightarrow{r}}{r}}$.

En el caso de corrientes distribuidas en volúmenes, la contribución de cada elemento de volumen de la distribución, viene dada por:

${\displaystyle d\overrightarrow{B}=(\frac{{\mu }_0}{4\pi })\frac{\overrightarrow{J}\times \overrightarrow{R}}{R^3}dv}$

donde ${\displaystyle \overrightarrow{J}}$ es la densidad de corriente en el elemento de volumen ${\displaystyle dv}$ y ${\displaystyle \overrightarrow{R}}$ es la posición relativa del punto en el que se quiere calcular el campo, respecto del elemento de volumen en cuestión.

En ambos casos, el campo final resulta de aplicar el principio de superposición a través de la expresión:

${\displaystyle \overrightarrow{B}=\int d\overrightarrow{B}}$

En la que la integral se extiende a todo el recinto que contiene las fuentes del campo.

Ecuación

Corrientes eléctricas (a lo largo de una curva cerrada / cable)

La Ley de Biot y Savart es utilizada para calcular la resultante magnética (${\displaystyle \mathrm{B}}$) en una posición (${\displaystyle \mathrm{r}}$) en espacio 3D generada por la corriente flexible (${\displaystyle \mathrm{I}}$) (por ejemplo debido a un cable). Una corriente estacionaria es un flujo continuo de cargas, el cual no cambia con el tiempo y la carga tampoco acumula ni se desintegra a ningún punto. La ley es un ejemplo físico de una integral lineal, siendo evaluada sobre un camino (${\displaystyle C}$) en el cual la corriente eléctrica fluye (ejemplo el cable). La ecuación en unidades SI es:

${\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_C\frac{Id\mathit{\ell }\times {\mathbf{r}}^{\prime }}{|{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}}$

Símbolo	Nombre	Fórmula
${\displaystyle {\mu }_0}$	Constante magnética
${\displaystyle C}$	Camino cuya magnitud es la longitud del elemento diferencial del cable en la dirección de la corriente convencional
${\displaystyle \ell }$	Punto en el camino (${\displaystyle C}$)
${\displaystyle d\mathit{\ell }}$	Vector a lo largo de (${\displaystyle C}$)
${\displaystyle {\mathbf{r}}^{\prime }}$	Vector de desplazamiento total desde el elemento cable (${\displaystyle d\ell }$) en el punto (${\displaystyle \ell }$) al punto en que el campo es calculado (${\displaystyle r}$)	${\displaystyle {\mathbf{r}}^{\prime }=\mathbf{r}-\ell }$

Alternativamente:

${\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_C\frac{Id\mathit{\ell }\times {\hat{\mathbf{r}}}^{\prime }}{|{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^2}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle {\hat{\mathbf{r}}}^{\prime }}$	Vector unitario de (${\displaystyle {\mathbf{r}}^{\prime }}$)

Los símbolos en negrita denotan cantidades vectoriales.

La integral es usualmente alrededor de una curva cerrada, ya que la corriente eléctrica estacionaria puede solamente fluir alrededor de caminos cerrados cuando son cerrados. Sin embargo, la ley también se aplica a cables infinitamente largos (este concepto fue utilizado en la definición de unidades SI de corriente eléctrica - el Amperio - hasta el 20 de mayo del 2019).

Para aplicar la ecuación, el punto en el espacio donde el campo magnético se calculará es escogido arbitrariamente (${\displaystyle \mathbf{r}}$). Sosteniendo ese punto fijo, la línea integral sobre el camino de la corriente eléctrica es calculado para encontrar el campo magnético total a ese punto. La aplicación de esta ley implícitamente se basa en el principio de superposición para campos magnéticos, ejemplo: el hecho de que el campo magnético es una suma vectorial del campo creado por cada sección infinitesimal del cable individual.

Por ejemplo, considere el campo magnético de un bucle de radio (${\displaystyle R}$) que lleva una corriente (${\displaystyle I}$). Para un punto a distancia (${\displaystyle x}$) a lo largo de la línea central del bucle, el vector de campo magnético a ese punto es:

${\displaystyle \mathbf{B}(x\hat{\mathbf{x}})=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(x^2+R^2{)}^{3/2}}\hat{\mathbf{x}}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \hat{\mathbf{x}}}$	Vector unitario a lo largo de la línea de centro del bucle (y el bucle es tomado centrado en el origen)

Bucles tales como los descritos aparecen en dispositivos como la bobina Helmholtz, el solenoide y el sistema de propulsión de nave espacial Magsail. El cálculo de campo magnético en puntos lejos de la línea de centro requieren matemáticas más complejas que involucran integrales elípticas que requieren soluciones numéricas o aproximaciones.

También hay versiones de 2D de la ecuación de Biot y Savart, utilizadas cuando las fuentes son invariantes en una dirección. En general, la corriente necesaria no fluye únicamente en un plano normal a la dirección invariante y está dada por (${\displaystyle \mathbf{J}}$, densidad de corriente). La fórmula resultante es:

${\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0}{2\pi }{\int }_C\frac{(\mathbf{J}d\ell )\times {\mathbf{r}}^{\prime }}{|{\mathbf{r}}^{\prime }|}=\frac{{\mu }_0}{2\pi }{\int }_C(\mathbf{J}d\ell )\times {\hat{\mathbf{r}}}^{\prime }}$

Densidad de corriente eléctrica (a través de volumen conductor)

La formulación dada arriba trabaja bien cuando la corriente puede ser aproximada como que corre a través de un cable infinitamente estrecho. Si el conductor tiene algún espesor, la formulación propia de la Ley de Biot y Savart (de nuevo en unidades SI) es:

${\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\iiint }_V\frac{(\mathbf{J}dV)\times {\mathbf{r}}^{\prime }}{|{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}}$

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle r}$	Volumen de elemento
${\displaystyle {\mathbf{r}}^{\prime }}$	Vector desde (${\displaystyle dV}$) al punto de observación (${\displaystyle r}$)
${\displaystyle \mathbf{J}}$	Vector de densidad de corriente en ese volumen	A / m2

En términos de vector unitario (${\displaystyle {\hat{\mathbf{r}}}^{\prime }}$):

${\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\iiint }_{V}dV\frac{\mathbf{J}\times {\hat{\mathbf{r}}}^{\prime }}{|{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^2}}$

Corriente constante uniforme

En el caso especial de una corriente constante uniforme (${\displaystyle I}$), el campo magnético (${\displaystyle \mathbf{B}}$) es:

${\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }I{\int }_C\frac{d\mathit{\ell }\times {\mathbf{r}}^{\prime }}{|{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}}$

Ejemplo, la corriente puede ser extraída de la integral.

Carga puntual a velocidad constate

En el caso de un punto de partícula cargada (${\displaystyle q}$) moviéndose a velocidad constante (${\displaystyle v}$), las Ecuaciones de Maxwell dan la siguiente expresión para el campo eléctrico y campo magnético:

${\displaystyle \mathbf{E}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0}\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{{\left(1-\frac{v^2}{c^2}{\sin }^2\theta \right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{{\hat{\mathbf{r}}}^{\prime }}{|{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^2}}$

${\displaystyle \mathbf{H}=\mathbf{v}\times \mathbf{D}}$

${\displaystyle \mathbf{B}=\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times \mathbf{E}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle {\hat{\mathbf{r}}}^{\prime }}$	Vector unitario apuntando desde la posición de corriente (no atrasada) de la partícula al punto en el cual el campo está siendo medido
${\displaystyle \theta }$	Ángulo entre (${\displaystyle \mathbf{v}}$) y (${\displaystyle {\mathbf{r}}^{\prime }}$)

Cuando (${\displaystyle v^2\ll c^2}$), el campo eléctrico y campo magnético puede ser aproximado como:

${\displaystyle \mathbf{E}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{{\hat{\mathbf{r}}}^{\prime }}{|{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^2}}$

${\displaystyle \mathbf{B}=\frac{{\mu }_{0}q}{4\pi }\mathbf{v}\times \frac{{\hat{\mathbf{r}}}^{\prime }}{|{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^2}}$

Estas ecuaciones fueron, primeramente, deducidas por Oliver Heaviside en 1888. Algunos autores llaman a la ecuación de arriba para (${\displaystyle \mathbf{B}}$) la "Ley de Biot y Savart para una carga puntual" debido a su cercana apariencia a la Ley de Biot y Savart estándar. Sin embargo, este lenguaje es mal dicho, ya que la Ley de Biot y Savart, solamente, se aplica a corrientes estacionarias y una carga puntual moviéndose en el espacio no constituye un corriente estacionaria.

Aplicaciones de respuesta magnética

La Ley de Biot y Savart puede ser utilizada en el cálculo de respuesta magnética aún en el nivel atómico o molecular, por ejemplo, en desplazamiento químico o susceptibilidad magnética, provistos en que la densidad de corriente puede ser obtenida a partir de cálculos de mecánica cuántica o teoría.

Aplicaciones aerodinámicas

La Ley de Biot y Savart, también, es utilizada en teoría aerodinámica para calcular la velocidad inducida en líneas de vórtice.

En la aplicación de aerodinámica, los papeles de vorticidad y corriente puede ser derivada en comparación a la aplicación magnética.

En el documento de Maxwell de 1861: "On Physical Lines of Force", la fuerza del campo magnético (${\displaystyle \mathbf{H}}$) fue equiparada, directamente, con la vorticidad pura (spin), mientras que (${\displaystyle \mathbf{B}}$) era un vorticidad ponderada que fue ponderada por la densidad del mar de vórtice. Maxwell consideraba a la permeabilidad magnética (${\displaystyle \mu }$) estar medida de la densidad del mar de vórtice. De ahí la relación.

Corriente de inducción magnética

${\displaystyle \mathbf{B}=\mu \mathbf{H}}$

Fue esencialmente una analogía rotacional a la relación de corriente eléctrica lineal.

Corriente de convección eléctrica

${\displaystyle \mathbf{J}=\rho \mathbf{v}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \rho }$	Densidad de carga eléctrica

(${\displaystyle \mathbf{B}}$) ha sido visto como una especie de corriente magnética de vórtices alineados en sus planos axiales, con (${\displaystyle \mathbf{H}}$) siendo la velocidad circunferencial de los vórtices.

La ecuación de la corriente eléctrica puede ser vista como la corriente convectiva de carga eléctrica que implica movimiento lineal. Por analogía, la ecuación magnética es una corriente implica spin. No hay movimiento lineal en la corriente inductiva a lo largo de la dirección del vector (${\displaystyle \mathbf{B}}$). La corriente inductiva magnética representa líneas de fuerza. En particular, representa líneas de ley de fuerza inversa al cuadrado.

En aerodinámica las corrientes de aire inducidas desde anillos solenoidales alrededor de un eje de vórtice. Análogamente, se puede hacer que el eje de vórtice está jugando el papel que una corriente eléctrica juega en magnetismo. Esto pone la corriente de aire de aerodinámica (campo de velocidad de fluido) en el papel equivalente de vector de inducción magnética (${\displaystyle \mathbf{B}}$) en electromagnetismo.

En electromagnetismo, las líneas (${\displaystyle \mathbf{B}}$) forman anillos solenoidales alrededor de la corriente eléctrica fuente, mientras que en aerodinámica, las corrientes de aire (velocidad) desde anillos solenoidales alrededor de ejes de vórtice fuente.

Entonces, en electromagnetismo, el vórtice juega un papel de "efecto", mientras que en aerodinámica, el vórtice juega el papel de "causa". Aún, cuando vemos a las líneas (${\displaystyle \mathbf{B}}$) aisladamente, vemos exactamente el escenario aerodinámico hasta el punto como (${\displaystyle \mathbf{B}}$) es el eje vórtice y (${\displaystyle \mathbf{H}}$) es la velocidad circunferencial como en el documento de Maxwell de 1861.

En dos dimensiones, para una línea de vórtice de longitud infinita, la velocidad inducida a un punto está dada por:

${\displaystyle v=\frac{\mathrm{\Gamma }}{2\pi r}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$	Fuerza del vórtice
${\displaystyle r}$	Distancia perpendicular entre el punto y la línea de vórtice

Esto es similar al campo magnético producido en un plano por un cable recto delgado infinitamente largo normal al plano.

Este es un caso limitante de la fórmula para los segmentos de vórtice de longitud finita (similar al cable finito):

${\displaystyle v=\frac{\mathrm{\Gamma }}{4\pi r}\left[\cos A-\cos B\right]}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$	Ángulos (con signo) entre la línea y los dos extremos de un segmento

Ley de Biot y Savart, Ley circuital de Ampère, y Ley de Gauss para magnetismo

En una situación magnetostática, el campo magnético (${\displaystyle \mathbf{B}}$) tal como se calcula desde la Ley de Biot y Savart, satisface siempre la Ley de Gauss para el magnetismo y la Ley de Ampère.

Deducción

Utilizando la regla de producto de rizos, tanto como el hecho de que (${\displaystyle \mathbf{J}}$) no depende de (${\displaystyle \mathbf{r}}$)

	Ley de Biot y Savart
Ecua.	${\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\iiint }_V{d}^{3}l\mathbf{J}(\mathbf{l})\times \frac{\mathbf{r}-\mathbf{l}}{|\mathbf{r}-\mathbf{l}{|}^3}}$	${\displaystyle \frac{\mathbf{r}-\mathbf{l}}{|\mathbf{r}-\mathbf{l}{|}^3}=-\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{l}|}\right)}$
Sustitu.	${\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\iiint }_V{d}^{3}l\mathbf{J}(\mathbf{l})\times \left[-\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{l}|}\right)\right]}$
Simplifi.	${\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\mathrm{\nabla }\times {\iiint }_V{d}^{3}l\frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{|\mathbf{r}-\mathbf{l}|}}$

Ya que la divergencia de un rizo es siempre cero, esto establece la Ley de Gauss para el magnetismo. Siguiente, tomando el rizo en ambos lados, utilizando la fórmula para el rizo de un rizo, y de nuevo utilizando el hecho de que () no depende de (), finalmente llegamos al resultado:${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\mathrm{\nabla }{\iiint }_V{d}^{3}l\mathbf{J}(\mathbf{l})\cdot \mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{l}|}\right)-\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\iiint }_V{d}^{3}l\mathbf{J}(\mathbf{l}){\mathrm{\nabla }}^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{l}|}\right)}$Finalmente, conectando las relaciones:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{l}|}\right)=-{\mathrm{\nabla }}_l\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{l}|}\right)}$

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{l}|}\right)=-4\pi \delta (\mathbf{r}-\mathbf{l})}$

(donde (${\displaystyle \delta }$) es la función delta de Dirac), utilizando el hecho de que la divergencia de (${\displaystyle \mathbf{J}}$) es cero (debido a la suposición de magnetoestática), y realizando una integración por partes, el resultado llega a ser:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}}$

Por ejemplo, la Ley de Ampère. (Debido a la suposición de magnetoestática, (${\displaystyle \mathrm{\partial }\mathbf{E}/\mathrm{\partial }t=\mathbf{0}}$), así ahí no hay extra término de desplazamiento de corriente en la Ley de Ampère.)

En una situación no - magnetoestática, la Ley de Biot y Savart cesa de ser verdadera (se supone por las ecuaciones de Jefimenko), mientras la Ley de Gauss para el magnetismo y la Ley de Maxwell-Ampère, aún siguen siendo verdaderas.

Fondo Teórico

Inicialmente, la Ley de Biot y Savart fue descubierta experimentalmente, cuando esta ley fue deducida en diferentes formas teóricamente. En la "The Feynman Lectures on Physics", primero, la similitud de expresiones para el potencial eléctrico fuera de la distribución estática de cargas y el vector magnético potencial fuera del sistema de corrientes distribuidas continuamente es enfatizado, y entonces el campo magnético es calculado a través de rizos desde el vector potencial. Otra aproximación involucra una solución general de la ecuación de onda inhomogena para el vector potencial en el caso de corrientes constantes. El campo magnético puede también ser calculado como una consecuencia de la Transformación de Lorentz para la fuerza electromagnética actuando desde una partícula cargada en otra partícula. Otras dos formas de deducción de la Ley de Biot y Savart incluyen:

1. Transformación de Lorentz de las componentes del tensor electromagnético desde un marco de referencia móvil, donde hay solo un campo eléctrico de alguna distribución de cargas, en un marco de referencia estacionario, en el cual estas cargas se mueven.
2. El uso del método de potenciales retardados.

Ley de Biot-Savart generalizada

En una aproximación magnetostática, el campo magnético puede ser determinado si se conoce la densidad de corriente j:

${\displaystyle \mathbf{B}=K_m\int \frac{\mathbf{j}\times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}dV}$

siendo:

• ${\displaystyle dV}$ es el elemento diferencial de volumen.
• ${\displaystyle K_m=\frac{{\mu }_0}{4\pi }}$ es la constante magnética.

Divergencia y rotacional del campo magnético a partir de la ley de Biot y Savart

La divergencia y rotacional de un campo magnético estacionario puede hallarse por simple aplicación de tales operadores a la ley de Biot y Savart

Divergencia

Aplicando el operador nabla a la expresión, se tiene:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_V\mathrm{\nabla }\cdot \left(\mathbf{J}\times \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\right)d{V}^{\prime }}$

Dado que la divergencia se aplica en un punto de evaluación del campo independiente de la integración de ${\displaystyle \mathbf{J}}$ en todo el volumen, el operador no afecta a ${\displaystyle \mathbf{J}}$. Aplicando la correspondiente identidad vectorial:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_V\mathbf{J}\cdot \left[\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{r}\right)\right]d{V}^{\prime }}$

Dado que: ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{r}\right)=0}$ se tiene: ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0}$

Rotacional

Aplicando el operador rotacional tenemos:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_V\mathrm{\nabla }\times \left(\mathbf{J}\times \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\right)d{V}^{\prime }}$

Al igual que ocurría en la divergencia, el operador no afecta a ${\displaystyle \mathbf{J}}$ ya que sus coordenadas son las del dominio de integración y no las del punto de evaluación del rotacional. Aplicando la correspondiente identidad vectorial y conociendo que ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}=4\pi \delta (r)}$

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_V\mathbf{J}\cdot \left(\mathrm{\nabla }\cdot \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\right)d{V}^{\prime }={\mu }_0{\int }_V\mathbf{J}\delta (r)d{V}^{\prime }}$

Realizando la integración se obtiene finalmente:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0\cdot \mathbf{J}}$

Nótese que el resultado anterior sólo es válido para campos magnéticos estacionarios. Si el campo magnético no fuese estacionario aparecería aparte el término debido a la corriente de desplazamiento.

Animación: masa y temperatura constantes

La ley de Boyle Mariotte (ley de Boyle) es una de las leyes de los gases que relaciona el volumen y la presión de una cierta cantidad de gas mantenida a temperatura constante.

La ley de Boyle expresa que:

La presión absoluta ejercida por una dada masa de un gas ideal es inversamente proporcional al volumen que ocupa si la temperatura y la cantidad de gas permanecen invariables dentro de un sistema cerrado.^[1][2]

Matemáticamente, la ley de Boyle puede expresarse como:

${\displaystyle P\propto \frac{1}{V}}$

La presión es inversamente proporcional al volumen

o

PV = k

El producto de la presión y el volumen es un número constante (aquí indicado como k)

donde P es la presión del gas, V es el volumen del gas, y k es una constante para una dada temperatura y cantidad de gas.

La ley de Boyle establece que cuando la temperatura de una masa dada de gas confinado es constante, el producto de su presión y volumen también es constante. Cuando se compara la misma sustancia bajo dos conjuntos diferentes de condiciones, la ley puede expresarse como:

$${\displaystyle P_1{V}_1=P_2{V}_2.}$$

que muestra que a medida que aumenta el volumen, la presión de un gas disminuye proporcionalmente, y viceversa.

La ley de Boyle-Mariotte fue formulada independientemente por el físico y químico irlandés Robert Boyle en 1662 y el físico y botánico francés Edme Mariotte en 1676.^[3]

Historia

Artículo principal: Historia de la termodinámica

Gráfico de los datos originales de Boyle mostrando la curva hiperbólica de la relación entre la presión (P) y el volumen (V) de la forma P = k/V.

Esta relación entre presión y volumen fue notada por primera vez por Richard Towneley y Henry Power en el siglo XVII.^[4][5] Robert Boyle confirmó su descubrimiento a través de experimentos y publicó los resultados.^[6] Según Robert Gunther y otras autoridades, fue el asistente de Boyle, Robert Hooke, quien construyó el aparato experimental. La ley de Boyle se basa en experimentos con aire, al que consideraba un fluido de partículas en reposo entre pequeños resortes invisibles. En ese momento, el aire todavía se consideraba uno de los cuatro elementos, pero Boyle no estaba de acuerdo. Probablemente el interés de Boyle fue entender el aire como un elemento esencial de la vida;^[7] por ejemplo, publicó trabajos sobre el crecimiento de las plantas sin aire.^[8] Boyle usó un tubo cerrado en forma de J y, después de verter mercurio por un lado, obligó al aire del otro lado a contraerse bajo la presión del mercurio. Después de repetir el experimento varias veces y utilizando diferentes cantidades de mercurio, descubrió que, en condiciones controladas, la presión de un gas es inversamente proporcional al volumen que ocupa.^[9] El físico francés Edme Mariotte (1620–1684) descubrió la misma ley independientemente de Boyle en 1679,^[10] pero Boyle ya lo había publicado en 1662.^[9] Sin embargo, Mariotte descubrió que el volumen del aire cambia con la temperatura.^[11] Por lo tanto, esta ley a veces se denomina ley de Mariotte o ley de Boyle-Mariotte. Más tarde, en 1687 en el Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Newton demostró matemáticamente que en un fluido elástico formado por partículas en reposo, entre las que se encuentran fuerzas de repulsión inversamente proporcionales a su distancia, la densidad sería directamente proporcional a la presión,^[12] pero este tratado matemático no es la explicación física de la relación observada. En lugar de una teoría estática, se necesita una teoría cinética, que fue proporcionada dos siglos más tarde por Maxwell y Boltzmann.

Esta ley fue la primera ley física que se expresó en forma de ecuación que describía la dependencia de dos cantidades variables.^[9]

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle k}$	Constante[13]	Pa m3
${\displaystyle p}$	Presión	Pa
${\displaystyle p_1}$	Presión inicial	Pa
${\displaystyle p_2}$	Presión final	Pa
${\displaystyle V}$	Volumen	m3
${\displaystyle V_1}$	Volumen inicial	m3
${\displaystyle V_2}$	Volumen final	m3

Definición

La propia ley puede enunciarse de la siguiente manera:

Para un gas a temperatura constante, el volumen es inversamente proporcional a la presión sobre éste.^[2]

Ley de Boyle

Se puede explicar matemáticamente con: ${\displaystyle pV=k}$

Cuando aumenta la presión, el volumen baja, mientras que si la presión disminuye, el volumen aumenta.

La ley de Boyle es una ley de los gases, que establece que la presión y el volumen de un gas tienen una relación inversa. Si el volumen aumenta, entonces la presión disminuye y viceversa, cuando la temperatura se mantiene constante.

Por lo tanto, cuando el volumen se reduce a la mitad, la presión se duplica; y si el volumen se duplica, la presión se reduce a la mitad.

No es necesario conocer el valor exacto de la constante (${\displaystyle k}$) para poder hacer uso de la ley: si consideramos las dos situaciones de la figura, manteniendo constante la cantidad de gas y la temperatura, deberá cumplirse la relación:

${\displaystyle p_1{V}_1=p_2{V}_2}$

Además, si se despeja cualquier incógnita se obtiene lo siguiente:

Deducción

	1
Ecuaciones	${\displaystyle p_1{V}_1=p_2{V}_2}$
Despejando	${\displaystyle p_1=\frac{p_2{V}_2}{V_1}}$	${\displaystyle p_2=\frac{p_1{V}_1}{V_2}}$	${\displaystyle V_1=\frac{p_2{V}_2}{p_1}}$	${\displaystyle V_2=\frac{p_1{V}_1}{p_2}}$

También conocido como la regla de tres.

Esta ley es una simplificación de la Ley de los gases ideales particularizada para procesos isotérmicos de una cierta masa de gas constante.

Junto con la ley de Charles, la ley de Gay-Lussac, la ley de Avogadro y la ley de Graham, la ley de Boyle forma las leyes de los gases, que describen la conducta de un gas ideal. Las tres primeras leyes pueden ser generalizadas en la ley de los gases ideales.

Experimento de Boyle

Esta teoría explicaba que los átomos y moléculas, en el estado gaseoso, se comportan como centros puntuales de masa que sólo en el rango de las altas presiones y bajas temperaturas son afectadas por las fuerzas atractivas. Fuera de estos límites, las propiedades físicas de un gas se deben principalmente al movimiento independiente de sus moléculas.

Si se considera a un gas contenido en un recipiente, la presión que este ejerce es la fuerza por unidad de área sobre las paredes debida a los impactos elásticos de las moléculas.

Robert Boyle descubrió en 1662 la relación matemática entre la presión y el volumen de una cantidad fija de gas a temperatura constante. Según la ley de Boyle, el volumen de una masa dada de gas varía en forma inversamente proporcional a la presión cuando la temperatura se mantiene en un valor fijo. La expresión matemática de la ley se escribe:

${\displaystyle pV=k}$ (proceso isotérmico) (12.1)

La magnitud de la constante k es función de la cantidad química de gas y de la temperatura.

Para dos estados diferentes 1 y 2, la ley implica:

${\displaystyle p_1{V}_1=p_2{V}_2}$ (12.2)

Es decir, si se explora el comportamiento físico de un gas de acuerdo con la ley de Boyle y asumiendo comportamiento ideal, se puede concluir que, a temperatura constante:

Si se duplica la presión sobre una masa dada de gas, su volumen se reduce a la mitad. Si el volumen de una masa dada de gas se triplica, la presión se reduce en un tercio.

Es usual en los experimentos sobre la ley de Boyle obtener un conjunto de datos de presión y volumen, los cuales se pueden representar gráficamente para obtener el valor de (${\displaystyle k}$). Un gráfico de (${\displaystyle p}$) versus (${\displaystyle V}$) (figura 13.1) da como resultado la hipérbola característica que corresponde a la ecuación 13.1. Si se repite el experimento a temperaturas diferentes se genera una familia de hipérbolas, y debido a que la temperatura es constante a lo largo de cada línea, éstas curvas se denominan isotermas.

Para poder verificar su teoría, Mariotte introdujo un gas en un cilindro con un émbolo y comprobó las distintas presiones al bajar el émbolo.^[14] A continuación hay una tabla que muestra algunos de los resultados obtenidos en este fenómeno siendo así:

Experimento de Mariotte

×	P (atm)	V (L)	P · V
	0,5	60	30
	1,0	30	30
	1,5	20	30
	2,0	15	30
	2,5	12	30
	3,0	10	30

Si se observan los datos de la tabla se puede comprobar que al aumentar la presión, el volumen disminuye. Por ello se usa una diagonal isotérmica para representarlo en una gráfica. (${\displaystyle p}$) aumenta y que al multiplicar (${\displaystyle p}$) y (${\displaystyle V}$) se obtiene ${\displaystyle pV=30}$ ${\displaystyle (atm\cdot L)}$.

Sistema de respiración humana

La ley de Boyle se usa a menudo como parte de una explicación sobre cómo funciona el sistema de respiración en el cuerpo humano. Esto comúnmente implica explicar cómo el volumen pulmonar puede aumentar o disminuir y, por lo tanto, causar una presión de aire relativamente más baja o más alta dentro de ellos (de acuerdo con la ley de Boyle). Esto forma una diferencia de presión entre el aire dentro de los pulmones y la presión del aire ambiental, que a su vez precipita la inhalación o la exhalación a medida que el aire se mueve de alta a baja presión.^[

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