EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

Cosmología física
Big Bang y evolución del universo
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La ley de Hubble-Lemaître publicada en inglés en el siglo XX por Edwin Hubble en 1929, y descubierta y publicada en francés en 1927 por George Lemaître,^[1] anteriormente llamada ley de Hubble,^[2][3] es una ley de la física que establece que el corrimiento al rojo (velocidad de recesión) de una galaxia es proporcional a la distancia a la que está, lo que es lo mismo que expresar que cuanto más lejos se encuentra una galaxia de otra, más rápidamente aparenta alejarse con respecto a ella.^[4] Se considera la primera evidencia observacional del paradigma de la expansión del universo y actualmente sirve como una de las piezas más citadas como prueba de soporte de la teoría de la Gran Explosión (Big Bang).^{[cita requerida]}

Según esta ley, una medida de la inercia de la expansión del universo viene dada por la constante de Hubble. A partir de esta relación observacional, se puede inferir que las galaxias se alejan unas de otras a una velocidad proporcional a su distancia, relación más general que se conoce como relación velocidad-distancia y que a veces se confunde con la ley de Hubble. Tampoco hay que malinterpretar la relación velocidad-distancia. No consiste en que cuanto más lejos esté una galaxia más rápido se aleja de nosotros. Según esto, al alejarse la galaxia, esta iría aumentando de velocidad, pues está más lejos que antes. No es así. La relación velocidad-distancia, derivada de la ley de Hubble, dice que cuanto más lejos está ahora una galaxia más rápido se aleja ahora de nosotros. Aunque todas las galaxias fueran reduciendo paulatinamente su velocidad de alejamiento (actualmente, parece que ocurre todo lo contrario), se seguiría cumpliendo que la velocidad de una galaxia lejana es mayor que la de una cercana, manteniendo siempre una proporcionalidad velocidad-distancia.^{[cita requerida]}

La ley de Hubble-Lemaître dice que en cada momento de la historia del Universo hay una proporcionalidad entre el corrimiento al rojo y la distancia (consecuentemente, también entre velocidad y distancia) pero no dice, en sí misma, cómo evoluciona el Universo. No dice si la expansión se acelera, se frena o si permanece constante. Los cálculos más recientes de la constante, utilizando los datos del satélite WMAP, empezaron en el 2003 y permitieron dar el valor de 71 ±4 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹ para esta constante, lo que supone que el Universo tiene una edad de 13 781.31 millones de años. En el 2006, los nuevos datos aportados por este satélite dieron el valor de 70 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, +2.4/−3.2, por lo que el Universo tendría una edad de 13 978.18 millones de años. Ambas medidas son cercanas a los 14 000 millones, por lo que es esa cifra aproximada la que se da muchas veces. En agosto del 2006, una medida menos precisa se obtuvo de manera independiente utilizando datos del Observatorio de rayos X Chandra orbital de la NASA: 77 ±15 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹.^[5]

1 Mpc (un megaparsec) = 3.2616 millones de años luz o  3.085 711 8 × 10²² m.

Actualmente, una galaxia situada a una distancia de 3.26 millones de años luz se alejaría a una velocidad de unos 70 km/s (ignorando los movimientos propios peculiares de las galaxias provocados por la gravedad de otras galaxias dentro de su cúmulo y su supercúmulo).^{[cita requerida]}

Antecedentes

Una década antes de que Edwin Hubble hiciera sus observaciones, varios físicos y matemáticos habían establecido una teoría consistente de la relación entre el espacio y el tiempo utilizando las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general. Aplicando los principios generales a la naturaleza del Universo, se produjo una solución dinámica que chocó con la noción entonces prevaleciente de un universo estático.^[6]

En 1922 Alexander Friedmann halló sus ecuaciones a partir de las ecuaciones de campo de Einstein, demostrando que el Universo se puede expandir a una velocidad calculable por las ecuaciones.^[7] El parámetro utilizado por Friedman se conoce actualmente como el factor de escala, con el que puede considerarse una forma invariante en escala de la constante de proporcionalidad de la ley de Hubble. Georges Lemaître encontró, de manera independiente, una solución similar en 1927. Las ecuaciones de Friedmann se obtienen insertando la métrica de un universo homogéneo e isótropo en las ecuaciones de campo de Einstein para un fluido con una densidad y una presión dadas. Esta idea de un espacio-tiempo expandiéndose conduciría, con el tiempo, a las teorías cosmológicas del Big Bang y del estado estacionario.^{[cita requerida]}

Antes de la aparición de la cosmología moderna había una gran discusión sobre el tamaño y la forma del Universo. En 1920 tuvo lugar el famoso debate Shapley-Curtis entre Harlow Shapley y Heber D. Curtis sobre el tema. Shapley apoyaba la idea de un pequeño universo del tamaño de la Vía Láctea, y Curtis argumentaba que el universo es mucho mayor. El objeto del debate terminó por resolverse en la década siguiente con las observaciones mejoradas de Hubble.

Edwin Hubble pasó gran parte de su trabajo profesional en la astronomía observacional en el observatorio Monte Wilson, el telescopio más potente del mundo en ese momento. Sus observaciones de las estrellas variables cefeidas en nebulosas espirales le permitieron calcular las distancias a estos objetos. Sorprendentemente, se descubrió que estos objetos estaban a distancias que los ubicaban fuera de la Vía Láctea. Las nebulosas se describieron por primera vez como «islas de universos» y solo después de dicho descubrimiento se las empezó a calificar como galaxias.

En la década de 1920 Hubble combinó estas medidas de distancias de galaxias con las medidas de Vesto Slipher a partir del corrimiento al rojo, debido a la recesión o alejamiento relativo entre ellas según el efecto Doppler. Hubble descubrió entre ambas magnitudes una relación lineal, es decir, cuanto más lejos se halla una galaxia, mayor es su corrimiento al rojo. Al coeficiente de proporcionalidad se le denomina constante de Hubble, H₀. Aunque había una dispersión considerable (ahora se sabe que se debe a la velocidad peculiar), Hubble pudo dibujar una tendencia lineal de 46 galaxias que él había estudiado, y obtuvo un valor para la constante de Hubble de 500 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹ (mucho mayor que el valor aceptado actualmente, debido a los errores en sus calibraciones de la distancia). En 1958 se obtuvo la primera gran estimación de H₀, 75 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, que fue publicada por Allan Sandage.^{[cita requerida]}

Esta relación se interpretó como una prueba de que el Universo estaba en expansión, aunque Hubble personalmente dudó de dicha interpretación.^[8] Posteriormente los modelos teóricos cosmológicos basados en la teoría de la relatividad general de Albert Einstein permitieron explicar esta expansión, ya que surge de forma natural a partir de las ecuaciones de campo de la teoría. El propio Einstein, quien creía en un principio en un universo estático, introdujo de forma artificial un término extra a estas ecuaciones, denominado constante cosmológica, para evitar el fenómeno de la expansión. Tras los resultados publicados por Hubble, Einstein se retractó y retiró este término, al que denominó «el mayor error de mi carrera». Einstein haría un famoso viaje a Monte Wilson en 1931 para agradecer a Hubble que proporcionara las bases observacionales de la cosmología moderna.^{[cita requerida]}

El valor de la constante de Hubble y la edad del universo

Durante el siglo XX una de las prioridades de la cosmología fue el cálculo de la constante de Hubble. Los primeros cálculos realizados por Hubble se basaban en los datos de corrimiento al rojo de 46 galaxias, y daban un valor de unos 500 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, según los cuales el universo tendría solo 2000 millones de años, un valor insuficiente ya en esa época, pues por los isótopos de las rocas se sabía que la edad de la Tierra era de unos 4500 millones de años. En 1956, Allan Sandage determinó el valor en 180 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹. Dos años después el propio Sandage publicó un artículo con el valor de 75 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, muy cercano al valor actual. Sin embargo, a principios de los 70 el valor estimado de H₀ variaba desde los 50 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹ hasta los 100 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, según el método empleado. Según estos datos, la edad estimada del universo iba desde los 10 000 millones de años hasta los 20 000 millones de años, aproximadamente.

Evidentemente, se trataba de una incertidumbre excesiva que era preciso corregir. Los errores en la estimación de H₀ se debían principalmente a limitaciones instrumentales, por lo que cuando se lanzó el telescopio espacial Hubble, una de sus prioridades fue la determinación de H₀, en el marco del denominado Hubble Space Telescope Key Project, aprovechando las excepcionales capacidades de este instrumento. En 2001 se publicaron los resultados de este proyecto tras varios años de estudio, que arrojaron un valor para H₀ de 72 ±8 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, según el cual la edad del universo debía ser de unos 10 000 millones de años, insuficiente para dar cuenta de las estrellas más antiguas de los cúmulos globulares, con una edad de unos 14 000 millones de años. Sin embargo, al mismo tiempo, observaciones de supernovas lejanas revelaron que existe algún otro factor que impulsa la expansión del universo que se ha denominado energía oscura. En concreto, la expansión del universo se está acelerando debido a la acción de la energía oscura, por lo que la edad del Universo tomando en cuenta esta aceleración se acerca a los 14 000 millones de años, lo que está de acuerdo con la edad de las estrellas más antiguas.

En 2001 se lanzó el satélite WMAP, destinado al estudio de la radiación de fondo de microondas. Esta radiación aporta datos sobre el universo primigenio, incluido el valor de H₀, por lo que al estudiarla los cosmólogos disponen de un segundo método alternativo al corrimiento al rojo de galaxias para el cálculo de H₀. En 2003 se publicaron los primeros resultados del WMAP, que daban un valor de 71 ±4 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹ para H₀. En 2006, algunos análisis más detallados de los datos han permitido estimar H₀ en 70 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, +2.4/-3.2, y ésta es la medida de la constante de Hubble de mayor precisión obtenida hasta la fecha. El doctor Adolfo Moran, de la World Physics Society, halló la cantidad de 96.8 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹ como valor más exacto de la constante de Hubble, lo que arrojaría una edad del Universo de poco más de diez mil millones de años.

También en 2006 el telescopio espacial de rayos X Chandra calculó H₀ mediante otro método independiente, y obtuvo el valor de 77 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹.

El 5 de mayo del 2009 un equipo liderado por Adam Riess, utilizando el telescopio Hubble, anunció una medición que arrojaba un valor para la constante de 74.2 ±3.6 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹. Esta medición tiene un margen de error inferior al 5 %.^[9][10]

El 25 de julio de 2011 Florian Beutler, estudiante de doctorado del International Centre for Radio Astronomy Research (ICRAR) en Australia, luego de analizar más de 125.000 galaxias logró una nueva medida, 67.0 ±3.2 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹.^[11][12]

Finalmente, en marzo de 2014 la misión espacial Planck publicó lo que actualmente es el mejor valor disponible, siendo éste H₀ = 67.3 ±1.2 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, gracias al estudio de la radiación de fondo de microondas.^[13]

En 2017, con la detección de las Ondas gravitacionales y las correspondiente contrapartida óptica de la fuente de GW170817, por fusión de dos estrellas de neutrones, se estimó un valor de ${\displaystyle H_0={70}_{-8}^{+12}}$ km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹ (al 68 % CL), compatible con el resto de medidas y de gran valor al no utilizar ninguna otra fuente de distancias empleada para el resto de medidas.^[14][15]

En 2018 se publicó el estudio de un nuevo cálculo independiente de la constante de Hubble a partir del efecto lente gravitacional que provocó la aparición de la 5.ª imagen de la SN Refsdal.^[16] El valor obtenido es ${\displaystyle H_0={64}_{-11}^{+9}}$ km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹ compatible con los valores publicados por Planck Collaboration en 2015.

El valor de la constante de Hubble en la teoría del universo onda

Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada. Busca fuentes: «Ley de Hubble-Lemaître» – noticias · libros · académico · imágenes Este aviso fue puesto el 20 de agosto de 2015.

La teoría del universo onda dice que nuestro universo es una onda 3D que se ha producido en una brana 4D debido a una perturbación, un choque entre branas. Al igual que una piedra al caer en la superficie de un estanque (2D) genera una onda (1D), en el Omniverso existía una brana 4D y en ella se produjo una perturbación de algún tipo que provocó una onda 3D.

Nuestro universo es esa onda. No el interior de la onda, lo que va quedando detrás, sino el mismo frente de onda. Siendo así, es muy fácil calcular el valor de la constante de Hubble en cualquier momento de la historia. El problema es el mismo que calcular a qué velocidad crece la longitud de una onda circular entre dos puntos cualesquiera de la misma.

Si la onda nació en una perturbación que se produjo hace 13.7 giga años y avanza a la velocidad de la luz, el tamaño actual de la onda será de 13.7 × 2π = 86 gigaaños luz (Gal).

El punto más lejano de nuestra posición en la onda está en nuestras antípodas, a 43 Gal.

Como la onda sigue avanzando, la longitud máxima del Universo sigue creciendo y la distancia entre dos puntos cualesquiera del Universo aumentará a un ritmo determinado por la distancia original entre ambos puntos.

Para dos cuerpos situados a cualquier distancia, la distancia aumentará a:

H = c/r = 300 000 km/s / 13 700 megaaños luz = 21.9 km⋅s⁻¹⋅Mal⁻¹.

Esta cantidad, 21.9, es la constante de Hubble expresada en km⋅s⁻¹⋅Mal⁻¹. Si queremos traducirla a km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, tenemos que multiplicarla por 3.26, lo que nos da un total de 71.39 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, más parecido a las unidades que suelen usar los astrónomos.

Ya sea que se utilice el incremento por megaaño (Mal) luz o por megaparsec (Mpc), la constante de Hubble es la misma aunque, como es fácil comprobar, la constante de Hubble no es constante, sino que varía con el radio del Universo, y por tanto con su edad. Para calcular la constante H en cualquier época del Universo, solo hay que calcular c/r.

Expresión matemática de la ley de Hubble

El destino final del Universo y la edad del Universo pueden obtenerse midiendo la constante de Hubble actual y extrapolando con el valor observado del parámetro de deceleración, caracterizado de forma única por valores de parámetros de densidad (${\displaystyle \mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}+{\mathrm{\Omega }}_m=1-{\mathrm{\Omega }}_k}$). En particular, la forma del universo viene dada por la «densidad de curvatura» ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_k=-k/H_0^2}$, donde ${\displaystyle k}$ es la curvatura espacial y ${\displaystyle H_0}$ es el valor actual de la constante de Hubble. Un «universo cerrado» (, o bien ) evoluciona hacia un final tipo Big Crunch y es considerablemente más joven que su edad de Hubble. Un «universo abierto» (${\displaystyle k\le 0}$, o bien ${\displaystyle \mathrm{\Omega }\le 1}$) se expande para siempre y, si además es plano (${\displaystyle k=0}$, o bien ${\displaystyle \mathrm{\Omega }=1}$), tiene una edad que está cerca de su edad de Hubble. Para el Universo acelerante en el que habitamos, la edad del Universo está coincidentemente cercana a la edad de Hubble.

La ley de Hubble puede expresarse así:

${\displaystyle z=\frac{{\lambda }_1-{\lambda }_2}{{\lambda }_2}=\frac{H_0}{c}D}$

siendo

${\displaystyle z}$, el corrimiento al rojo, un número adimensional que es la razón entre las longitudes de onda en el punto de emisión y recepción.

${\displaystyle D}$, la distancia actual a la galaxia en megapársecs (Mpc).

${\displaystyle H_0}$, la constante de Hubble en el momento de la observación

${\displaystyle c}$, la velocidad de la luz (en el vacío).

Y la relación velocidad-distancia —más general y muchas veces confundida con la ley de Hubble— puede formularse así:

${\displaystyle v=H_0\cdot D}$

siendo

${\displaystyle v}$ la velocidad de recesión debida a la expansión del universo (generalmente en km/s).

La relación velocidad-distancia puede derivarse suponiendo que el Universo es homogéneo (las observaciones realizadas desde todos los puntos son las mismas) y se expande (o contrae).

Estrictamente hablando, ni ${\displaystyle v}$ ni ${\displaystyle D}$ en la fórmula son directamente observables, porque desde el momento en que la luz se emitió hasta el momento de la observación el Universo ha cambiado de tamaño. Para galaxias relativamente cercanas (con ${\displaystyle z}$ mucho menor que la unidad), ${\displaystyle v}$ y ${\displaystyle D}$ no habrán cambiado mucho, y ${\displaystyle v}$ se puede estimar utilizando la fórmula ${\displaystyle v=zc}$, donde ${\displaystyle c}$ es la velocidad de la luz. Ésta es de hecho la relación empírica encontrada por Hubble. Para galaxias distantes, ${\displaystyle v}$ (o ${\displaystyle D}$) no se pueden calcular a partir de ${\displaystyle z}$ sin especificar un modelo detallado de cómo cambia ${\displaystyle H}$ con el tiempo. El desplazamiento al rojo no está directamente relacionado con la velocidad de recesión en el momento en que la luz salió, pero tiene una interpretación simple: ${\displaystyle (1+z)}$ es el factor por el que el Universo se ha expandido mientras el fotón estaba viajando hacia el observador.

Si se utiliza la ley de Hubble para determinar distancias, solo se puede utilizar la velocidad debida a la expansión del Universo. Como las galaxias interaccionando gravitacionalmente se mueven relativamente las unas con las otras independientemente de la expansión del Universo, estas velocidades relativas, llamadas velocidades peculiares, necesitarían tenerse en cuenta para aplicar la ley de Hubble correctamente. Si la velocidad peculiar de una galaxia es ${\displaystyle V}$, entonces la relación velocidad-distancia debe expresarse así:

${\displaystyle v=H\cdot D+V}$

Notas adicionales

La distancia ${\displaystyle D}$ a galaxias cercanas se puede estimar por ejemplo comparando su brillo aparente con su brillo absoluto teórico.

• En cualquier caso, ${\displaystyle D}$ ha de ser la distancia actual a la galaxia, no la que existía cuando la galaxia emitió la luz que hoy recibimos. Esta distancia es en realidad imposible de observar directamente. Se deduce a partir de los modelos teóricos y de la observación del brillo aparente de la galaxia o de la curva de luz de supernovas tipo Ia que se observen en esa galaxia.

La velocidad ${\displaystyle v}$ se define como la tasa de variación de la distancia ${\displaystyle D}$ con el tiempo.

• La relación velocidad-distancia es estrictamente válida para cualquier distancia mientras que la ley de Hubble es una aproximación válida para galaxias relativamente cercanas donde la velocidad puede determinarse mediante el corrimiento al rojo (z) empleando la fórmula ${\displaystyle v\approx zc}$; siendo ${\displaystyle c}$ la velocidad de la luz. Sin embargo, tan solo debe considerarse la velocidad debida a la expansión del Universo, al margen de otros movimientos relativos de las galaxias (movimiento peculiar).

Los sistemas con ligaduras gravitacionales, como las galaxias o el Sistema Solar, también sufren los efectos de la expansión cosmológica.

Constante de Hubble

La constante de Hubble es la constante de proporcionalidad que aparece en la forma matemática de la ley de Hubble. Si bien en la formulación original, dicho parámetro aparecía como un número de valor fijo, los modelos cosmológicos relativistas en los que se basa el Big Bang sugerían que el parámetro de Hubble no era realmente una constante sino un parámetro que variaba lentamente con el tiempo, por eso modernamente muchos autores se refieren a la «constante de Hubble» más propiamente como el parámetro de Hubble.

Mediante las ecuaciones de la teoría de la relatividad general especializadas a los modelos de expansión métrica del espacio con métrica de métrica FLRW se puede probar que la edad del universo está relacionada con la constante de Hubble y también el radio del universo observable (si se conoce la edad del universo).

Variación temporal

El valor del parámetro de Hubble cambia con el tiempo aumentando o disminuyendo dependiendo del signo del parámetro de deceleración ${\displaystyle q}$, que viene definido por:

${\displaystyle q=-H^{-2}\left(\frac{dH}{dt}+H^2\right)}$

Podemos definir la «edad de Hubble» (también conocido como el «tiempo de Hubble» o el «periodo de Hubble») del universo como 1/H₀, o 978 millones de años / [H₀ (km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹)]. La edad de Hubble es de 14 000 millones de años para H₀ = 70 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, o 13 800 millones de años para H₀ = 71 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹. La distancia a una galaxia es aproximadamente zc/H₀ para pequeños desplazamientos al rojo z y expresando c como 1 año luz por año, esta distancia puede expresarse simplemente como z veces 13 800 millones de años luz.

Durante mucho tiempo se pensó que q era positiva, indicando que la expansión se estaba ralentizando debido a la atracción gravitacional. Esto implicaría una edad del universo menor que 1/H (que es de unos 14 000 millones de años). Por ejemplo, un valor de q de 1/2 (considerado por muchos teóricos) daría una edad del universo de 2/(3H). El descubrimiento en 1998 que q es aparentemente negativo significa que el universo podría realmente ser más viejo que 1/H. De hecho, las estimaciones de la edad del universo están, precisamente, muy cercanas a 1/H.

Medición de la constante de Hubble

Para mucha gente de la segunda mitad del siglo XX el valor de ${\displaystyle H_0}$ se estima que está entre 50 y 90 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹. El valor de la constante de Hubble fue el tema de una larga y más bien encarnizada controversia entre Gérard de Vaucouleurs que reivindicaba un valor en torno a 100 y Allan Sandage que reivindicaba un valor cerca de 50. En 1996, un debate moderado por John Bahcall entre Gustav Tammann y Sidney van den Bergh fue mantenido de la misma manera que el anterior debate entre Shapley y Curtis sobre estos dos valores competidores. Esta diferencia fue resuelta parcialmente con la introducción del Modelo Lambda-CDM del universo a finales de los años 1990. Con las observaciones de este modelo de los cúmulos de alto corrimiento al rojo a longitudes de onda de microondas utilizando el efecto Siunyáiev-Zeldóvich, las medidas de las anisotropías del fondo cósmico de microondas y todas las expediciones ópticas dieron un valor en torno a 70 para la constante. En particular el telescopio espacial Hubble (conducido por la doctora Wendy L. Freedman, de los Observatorios Carnegie) dieron la resolución óptica más exacta en mayo de 2001 con su estimación final de 72 ±8 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, consistente con una medida de ${\displaystyle H_0}$ basada en las observaciones del efecto Siunyáiev-Zeldóvich de muchas agrupaciones galácticas teniendo una exactitud similar. La mayor exactitud en la resolución del fondo cósmico de microondas ha sido 71 ±4 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, por el WMAP en 2003 y 70(+2.4,-3.2)  km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, para las medidas de 2006. En agosto de 2006, utilizando el Observatorio de rayos X Chandra de la NASA, un equipo del Marshall Space Flight Center encontró que la constante de Hubble valía 77 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, con una incertidumbre de aproximadamente el 15 %.^[17] La consistencia de las medidas de todos estos métodos se presta al soporte del valor medido de ${\displaystyle H_0}$ y del modelo Lambda-CDM. En el sistema métrico decimal,${\displaystyle H_0}$ es de unos 2.3 × 10⁻¹⁸ s^-1, esto no debería escribirse en Hz ya que la cantidad no es una frecuencia.

El valor del parámetro de deceleración ${\displaystyle q}$ medido a partir las observaciones de supernovas Tipo Ia, una de las candelas estándar, que en 1998 se halló que era negativo, sorprendió a todo el mundo astronómico pues ello implicaba que la expansión del universo se está «acelerando» desde hace unos 6000 millones de años^[18] (aunque el parámetro de Hubble sigue decreciendo con el tiempo).

Mediciones de Adam Riess et al.

Mediciones realizadas por Adam Riess et al. en 2018^[19] han aportado un valor de H₀ = 73.52 ±1.62 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹, que difiere en casi un 9 % (8.7 %) del valor H₀ = 67.4 ±0.5 km⋅s⁻¹⋅Mpc⁻¹ medido por Planck Collaboration et al.^[20] Esta discrepancia entre los valores vigentes es la que en la cosmología actual se denomina «Tensión de Hubble». Según la valoración efectuada por Kenworthy et al., el valor propuesto por A. Riess et al., es el más preciso hasta la fecha, 24 de abril de 2019 (Kenworthy, Scolnic, & Riess, 2019).^[21] Las causas exactas de esta discrepancia son todavía desconocidas, aunque algunos modelos apuntan a que podría deberse a una gran burbuja local^[22] o a un efecto de perspectiva geométrica en las mediciones.

Representación gráfica de las leyes de Kepler. El Sol está situado en uno de los focos. En tiempos iguales, las áreas barridas por el planeta son iguales. Por lo tanto, el planeta se moverá más rápidamente cerca del Sol.

Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol.^[1]

Primera ley (1609)

Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse.

Segunda ley (1609)

El radio vector que une un planeta y el Sol recorre áreas iguales en tiempos iguales.

La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio).

El afelio y el perihelio son los dos únicos puntos de la órbita en los que el radio vector y la velocidad son perpendiculares. Por ello solo en esos 2 puntos el módulo del momento angular ${\displaystyle L}$ se puede calcular directamente como el producto de la masa del planeta por su velocidad y su distancia al centro del Sol.

${\displaystyle L=m\cdot v_a\cdot r_a=m\cdot v_p\cdot r_p}$

En cualquier otro punto de la órbita distinto del Afelio o del Perihelio el cálculo del momento angular es más complicado, pues como la velocidad no es perpendicular al radio vector, hay que utilizar el producto vectorial.

${\displaystyle \overrightarrow{L}=m\cdot \overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}}$

Tercera ley (1619)

Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica.

${\displaystyle \frac{T^2}{a^3}=C=\text{constante}}$

Donde, T es el período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol), a  la distancia media del planeta con el Sol y C la constante de proporcionalidad.

Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutua influencia gravitatoria, como el sistema formado por la Tierra y el Sol. El valor "C" para un sistema como el solar es ${\displaystyle C=\frac{4\cdot {\pi }^2}{GM}}$

Formulación de Newton de la tercera ley de Kepler

Antes de que se redactaran las leyes de Kepler hubo otros científicos como Claudio Ptolomeo, Nicolás Copérnico y Tycho Brahe cuyas principales contribuciones al avance de la ciencia estuvieron en haber conseguido medidas muy precisas de las posiciones de los planetas y de las estrellas. Kepler, que fue discípulo de Tycho Brahe, aprovechó todas estas mediciones para poder formular su tercera ley.

Kepler logró describir el movimiento de los planetas. Utilizó los conocimientos matemáticos de su época para encontrar relaciones entre los datos de las observaciones astronómicas obtenidas por Tycho Brahe y con ellos logró componer un modelo heliocéntrico del universo. Comenzó trabajando con el modelo tradicional del cosmos, planteando trayectorias excéntricas y movimientos en epiciclos, pero encontró que los datos de las observaciones lo situaban fuera del esquema que había establecido Copérnico, lo que lo llevó a concluir que los planetas no describían una órbita circular alrededor del Sol. Ensayó otras formas para las órbitas y encontró que los planetas describen órbitas elípticas, las cuales tienen al Sol en uno de sus focos. Analizando los datos de Brahe, Kepler también descubrió que la velocidad de los planetas no es constante,^[2] sino que el radio vector que une al Sol (situado en uno de los focos de la trayectoria elíptica) con un planeta determinado, describe áreas iguales en tiempos iguales. En consecuencia, la velocidad de los planetas es mayor cuando están próximos al Sol (perihelio) que cuando se mueven por las zonas más alejadas (afelio). Esto da origen a las tres Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.

Las leyes de Kepler representan una descripción cinemática del sistema solar.

• Primera Ley de Kepler: Todos los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas. El Sol está en uno de los focos de la elipse.

• Segunda Ley de Kepler: Los planetas se mueven con velocidad areolar constante. Es decir, el vector posición r de cada planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

Se puede demostrar que el momento angular es constante lo que nos lleva a las siguientes conclusiones:

Las órbitas son planas y estables.

Se recorren siempre en el mismo sentido.

La fuerza que mueve los planetas es central.

• Tercera Ley de Kepler: Se cumple que para todos los planetas, la razón entre el periodo de revolución al cuadrado y el semieje mayor de la elipse al cubo se mantiene constante. Esto es:

${\displaystyle \frac{T^2}{a^3}=C}$

Ilustración de la relación entre el radio orbital y el período orbital.

El estudio de Newton de las leyes de Kepler condujo a su formulación de la ley de la gravitación universal.

La formulación matemática de Newton de la tercera ley de Kepler para órbitas circulares es:

La fuerza gravitacional crea la aceleración centrípeta necesaria para el movimiento circular de radio a:

${\displaystyle \frac{GMm}{a^2}=m{\omega }^{2}a}$

recordando la expresión que relaciona la velocidad angular y el período de revolución:

${\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T}}$

de donde se deduce que el cuadrado del tiempo de una órbita completa o periodo es:

${\displaystyle T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3}$,

y despejando:

${\displaystyle \frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}=C}$,

donde ${\displaystyle C}$ es la constante de Kepler, T  es el periodo orbital, a  el semieje mayor de la órbita, M es la masa del cuerpo central y G  una constante denominada Constante de gravitación universal cuyo valor marca la intensidad de la interacción gravitatoria y el sistema de unidades a utilizar para las otras variables de esta expresión. Esta expresión es válida tanto para órbitas circulares como elípticas.

En realidad, esta última expresión es solo una aproximación de la expresión más general que se deduce con todo rigor de las Leyes de Newton y que es:

${\displaystyle \frac{T^2}{a^3}(M+m)=\frac{4{\pi }^2}{G}}$

Donde ${\displaystyle M}$ es la masa del cuerpo central, ${\displaystyle m}$ la del astro que gira en torno a él y ${\displaystyle a}$ sería el semieje mayor con respecto al centro de masas del sistema. Como en el sistema solar la masa del Sol es muy superior a la de cualquier planeta, ${\displaystyle m\ll M}$, la expresión simplificada se obtiene de la más general haciendo ${\displaystyle M+m\simeq M}$

Deducción matemática de las leyes de Kepler a partir de las leyes de Newton

La demostración de la primera y segunda ley de Kepler se basa en las leyes de Newton y la ley de gravitación universal.

Sistema de referencia de coordenadas polares

Demostración de la segunda ley de Kepler

Enunciado matemático Sean ${\displaystyle [t_1,t_2]}$, ${\displaystyle [t_3,t_4]}$ dos intervalos de tiempo tal que ${\displaystyle t_2-t_1=t_4-t_3}$ y sea ${\displaystyle A_{{\theta }_1,{\theta }_2}=\frac{1}{2}\underset{{\theta }_1}{\overset{{\theta }_2}{\int }}{r}^2(\theta )d\theta }$, ${\displaystyle \mathrm{\forall }{\theta }_1,{\theta }_2}$. Entonces, ${\displaystyle A(t_2-t_1)=A(t_4-t_3)}$.

En primer lugar, se fija un sistema de referencia de coordenadas polares:

$\overrightarrow{x}(t)=r(t)\cdot (cos(\theta (t)),sen(\theta (t)))$, ${\displaystyle \overrightarrow{u_r}(t)=(cos(\theta (t)),sen(\theta (t)))}$, ${\displaystyle \overrightarrow{u_{\theta }}(t)=(-sen(\theta (t)),cos(\theta (t)))}$,

donde ${\displaystyle \overrightarrow{x}(t)}$ denota la posición del cuerpo con masa ${\displaystyle m}$ en el instante ${\displaystyle t}$; el cuerpo con masa ${\displaystyle M}$ está quieto y en el origen; y ${\displaystyle \overrightarrow{u_r}}$ y ${\displaystyle \overrightarrow{u_{\theta }}}$ son vectores unitarios en las direcciones radial y circunferencial, respectivamente; y ${\displaystyle \theta (t)}$ es el ángulo que forma ${\displaystyle r(t)}$ con el eje polar (eje de referencia desde el que se mide el ángulo polar).

${\displaystyle \overrightarrow{u_r}}$ y ${\displaystyle \overrightarrow{u_{\theta }}}$ satisfacen las siguientes propiedades:

${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{u_r}}{d\theta }=\overrightarrow{u_{\theta }}}$; ${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{u_r}}{dt}={\overrightarrow{u_r}}^{\prime }=\overrightarrow{u_{\theta }}{\theta }^{\prime }}$; ${\displaystyle \overrightarrow{u_r}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u_{\theta }}}$.

La fuerza ${\displaystyle \overrightarrow{F}}$sobre el cuerpo de masa ${\displaystyle m}$ se descompone en: ${\displaystyle \overrightarrow{F}=F_r\overrightarrow{u_r}+F_{\theta }\overrightarrow{u_{\theta }}}$. Además, como ${\displaystyle \overrightarrow{F}}$ es una fuerza central, ${\displaystyle F_{\theta }\equiv 0}$.

Por lo tanto, aplicando la segunda ley de Newton,

${\displaystyle F_r\overrightarrow{u_r}=\overrightarrow{F}=m{\overrightarrow{x}}^{″}(t)}$. ${\displaystyle [1]}$

La velocidad del planeta es la derivada de la posición:

${\displaystyle x^{\prime }(t)=r^{\prime }(t)\overrightarrow{u_r}+r(t){\theta }^{\prime }(t)\overrightarrow{u_{\theta }}}$, ${\displaystyle [2]}$

y su aceleración es la derivada de la velocidad:

${\displaystyle [3]}$

Usando ${\displaystyle [1]}$ y ${\displaystyle [3]}$:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{F}_r=[r^{″}(t)-r(t)({\theta }^{\prime }(t){)}^2]m\\ 0=2r^{\prime }(t){\theta }^{\prime }(t)+r(t){\theta }^{″}(t)\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}[4]\\ [5]\end{array}}$

Multiplicando por ${\displaystyle r}$ a ambos lados de ${\displaystyle [5]}$:

${\displaystyle 0=2r(t)r^{\prime }(t){\theta }^{\prime }(t)+r^2(t){\theta }^{″}(t)=(r^2(t){)}^{\prime }{\theta }^{\prime }(t)+r^2(t){\theta }^{″}(t)=(r^2(t){\theta }^{\prime }(t){)}^{\prime }}$.

Así que ${\displaystyle r^2(t){\theta }^{\prime }(t)=c}$ (constante). ${\displaystyle [6]}$

Representación del área del sector barrido entre los ángulos ${\displaystyle {\theta }_1}$ y ${\displaystyle {\theta }_2}$.

Por otra parte, sea ${\displaystyle A_{{\theta }_1,{\theta }_2}}$ el área del sector barrido entre los ángulos ${\displaystyle {\theta }_1}$ y ${\displaystyle {\theta }_2}$:

${\displaystyle A_{{\theta }_1,{\theta }_2}=\frac{1}{2}\underset{{\theta }_1}{\overset{{\theta }_2}{\int }}{\displaystyle r^2(\theta )d\theta }}$.

Tomemos ${\displaystyle {\theta }_1=0}$ por simplicidad y denotemos ${\displaystyle A_{{\theta }_1,{\theta }_2}=A}$.

Por el teorema fundamental del cálculo, ${\displaystyle \frac{dA}{d\theta }=\frac{r^2(\theta )}{2}}$. Como ${\displaystyle \theta }$ es función de ${\displaystyle t}$, por ${\displaystyle [6]}$:

${\displaystyle A^{\prime }(t)=\frac{dA(\theta (t))}{d\theta }{\theta }^{\prime }(t)=\frac{r^2(\theta (t))}{2}{\theta }^{\prime }(t)=c}$ (constante).

Por lo tanto, ${\displaystyle A(t)=ct+k}$, para alguna constante ${\displaystyle k}$.

Se obtiene: ${\displaystyle A(t)=ct}$.

Aplicando esto a dos intervalos de tiempo de igual longitud, ${\displaystyle [t_1,t_2]}$ y ${\displaystyle [t_3,t_4]}$:

${\displaystyle A(t_2-t_1)=(t_2-t_1)c=(t_4-t_3)c=A(t_4-t_3)}$. ■

Demostración de la primera ley de Kepler

Enunciado matemático La trayectoria del cuerpo de masa m es una cónica.

Imponiendo que ${\displaystyle F_r}$ cumpla la ley universal de gravitación:

${\displaystyle F_r=-\frac{GmM}{r^2(t)}}$. ${\displaystyle [7]}$

Aplicando la segunda ley de Newton y la ley de gravitación universal:

${\displaystyle \overrightarrow{x^{″}}(t)=-(G\frac{M}{r^2(t)})\overrightarrow{u_r}}$. ${\displaystyle [8]}$

Igualando ${\displaystyle [4]}$ y ${\displaystyle [7]}$:

${\displaystyle -\frac{GM}{r^2(t)}=r^{″}(t)-r(t)({\theta }^{\prime }(t){)}^2}$ . ${\displaystyle [9]}$

Despejando de la ecuación ${\displaystyle [6]}$ se obtiene: ${\displaystyle {\theta }^{\prime }(t)=\frac{c}{r^2(t)}}$, para c constante. ${\displaystyle [10]}$

Se puede reescribir la ecuación ${\displaystyle [9]}$ , usando ${\displaystyle [10]}$, como:

${\displaystyle -\frac{GM}{r^2(t)}=r^{″}(t)-\frac{c^2}{r^3(t)}}$. ${\displaystyle [11]}$

Haciendo el cambio ${\displaystyle z(t)=\frac{1}{r(t)}}$ y derivando dos veces, obtenemos lo siguiente:

${\displaystyle r^{\prime }(t)=-\frac{1}{z^2(t)}{z}^{\prime }(t)=-\frac{1}{z^2(t)}\frac{dz(t)}{d\theta (t)}{\theta }^{\prime }(t)=-c\frac{dz(t)}{d\theta (t)}}$,

${\displaystyle r^{″}(t)=-c\frac{d}{dt}(\frac{dz(t)}{d\theta (t)})=-c\frac{d^{2}z(t)}{d{\theta }^2(t)}{\theta }^{\prime }(t)}$.

Usando ${\displaystyle [10]}$:

${\displaystyle r^{″}(t)=-c^2{z}^2(t)\frac{d^{2}z(t)}{d{\theta }^2(t)}}$.

Sustituyendo ${\displaystyle r^{″}(t)}$ en el lado derecho de ${\displaystyle [11]}$:

${\displaystyle r^{″}(t)-\frac{c^2}{r^3(t)}=-c^2{z}^2(t)\frac{d^{2}z(t)}{d{\theta }^2(t)}-\frac{c^2}{r^3(t)}=-c^2{z}^2(t)\frac{d^{2}z(t)}{d{\theta }^2(t)}-c^2{z}^3(t)}$,

y en el lado izquierdo aplicando de nuevo el cambio ${\displaystyle z(t)=\frac{1}{r(t)}}$:

${\displaystyle -\frac{GM}{r^2(t)}=-GM{z}^2(t)}$.

De esta forma, la ecuación ${\displaystyle [9]}$ se puede escribir como:

${\displaystyle z+\frac{d^{2}z}{d{\theta }^2}=\frac{GM}{c^2}}$.

Esta ecuación diferencial tiene como únicas soluciones:

${\displaystyle z(\theta )=Acos(\theta -\alpha )+\frac{GM}{c^2}}$, donde ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle \alpha }$ son constantes.

Eligiendo el eje polar de manera que ${\displaystyle \alpha =0}$:

${\displaystyle r(\theta )=\frac{1}{Acos(\theta )+\frac{GM}{c^2}}=\frac{\frac{c^2}{GM}}{Bcos(\theta )+1}}$, donde ${\displaystyle B=\frac{A{c}^2}{GM}}$.

Haciendo los cambios ${\displaystyle e=B}$ y ${\displaystyle p=\frac{1}{A}}$, se obtiene la ecuación de una cónica con foco en el origen:

${\displaystyle r(\theta )=\frac{ep}{ecos(\theta )+1}}$, donde ${\displaystyle e}$ es la excentricidad y ${\displaystyle p}$ es la distancia del foco a la directriz.

Según el valor de ${\displaystyle e}$, esta cónica puede ser una elipse, una hipérbola o una parábola.

Si la trayectoria de los cuerpos celestes está acotada, el único caso posible es que sea una elipse, . ■

Descubrimiento de nuevos cuerpos celestes

Johannes Kepler descubrió sus leyes gracias a un considerable trabajo de análisis de las observaciones astronómicas realizadas por Tycho Brahe, mucho más precisas que las ya conocidas; se basó en particular en las posiciones de Marte, cuyo movimiento estudió a partir de 1600. Estaba convencido de que el Sol era de algún modo el "verdadero" centro del sistema solar (para los planetas exteriores, como Marte, Copérnico utilizaba un punto ficticio cercano al Sol como centro de un círculo sobre el que giraba a velocidad uniforme el centro de un pequeño epiciclo que llevaba el planeta). Guiado por esta creencia y tras mucho divagar, acabó descubriendo que el movimiento de los planetas es elíptico, con el sol situado en un foco de la elipse. Sus resultados y el modo en que llegó a ellos se recogen en su obra principal, la Astronomia nova, que apareció en 1609, pero que en realidad se terminó a finales de 1605.^[3]

Sus propias leyes permitieron afinar la investigación astronómica y revelar las irregularidades de los movimientos de los cuerpos conocidos mediante una asombrosa progresión de los análisis.

El ejemplo más espectacular fue el de las irregularidades de Urano, que condujeron al descubrimiento de Neptuno por John Couch Adams (1819 - 1892) y Urbain Le Verrier (1811 - 1877), mediante cálculo: descubrimiento confirmado por la observación de Johann Gottfried Galle (1812 - 1910) en 1846.