EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 FENÓMENOS FÍSICOS

Fotografías de una pelota que rebota tomada con una luz estroboscópica a 25 imágenes por segundo. Si se desprecia la resistencia del aire, la raíz cuadrada de la relación de la altura de un rebote con respecto a la altura del rebote previo es el coeficiente de restitución del impacto pelota-superficie del suelo.

El coeficiente de restitución (también llamado cociente) es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque entre partículas clásicas.^[1] Se expresa como el cociente de la velocidad relativa final entre la velocidad relativa inicial entre dos objetos sometidos a colisión, donde final significa tras la colisión, e inicial antes de la misma. El coeficiente ${\displaystyle C_R}$ presenta valores en el intervalo de números reales que va de 0 a 1 es decir, satisface la desigualdad . Siendo su valor una medida de la naturaleza de la colisión: si su valor es cero se supone un choque perfectamente inelástico, mientras que si ${\displaystyle C_R=1}$ es considerado un choque elástico. En la gran mayoría de los choques reales el coeficiente de restitución es inferior a la unidad, lo que supone en una mayor o menor medida una deformación inelástica de los cuerpos sometidos a colisión.

Introducción

Las leyes generales de la colisión entre cuerpos se expresan en la mecánica clásica, la determinación de las velocidades de los cuerpos colisionantes constituye uno de los temas recurrentes desde sus inicios, siendo los primeros autores en abordar el problema Newton y Poisson ya en el siglo XVII. Newton define el coeficiente normal de restitución con la proporción entre las velocidades relativas de los cuerpos antes y después de la colisión. De la forma:

${\displaystyle \text{Coeficiente de Restitución}{C}_R=\frac{\text{Velocidad Relativa tras la Colisión}}{\text{Velocidad Relativa antes de la Colisión}}}$

En contraste con esta definición cinemática dada por Newton, la definición abordada por Poisson se centra en los cambios detectados de energía cinética fundamentada en el coeficiente de la magnitud de los impulsos normales correspondientes a los periodos de restitución y compresión. En ausencia de fricción los resultados de Poisson son equivalentes a los proporcionados por Newton.^[2] Sin embargo, en presencia de fricción, ambas definiciones no son equivalentes.^[3] Los resultados experimentales expresados en ciertos cuerpos como pelotas de golf se han obtenido mediante experimentación realizada en 1929 por la U.S. Golf Association,^[4] De la misma forma algunos investigadores han profundizado en el efecto del choque de sólidos.^[5]

Choque en una dimensión

La deducción de la fórmula pasa por la consideración de un choque de dos partículas de masas ${\displaystyle m_1}$, ${\displaystyle m_2}$ respectivamente en una dimensión, es decir moviéndose en una línea recta antes y después del choque. Sean ${\displaystyle u_1}$ y ${\displaystyle u_2}$ las velocidades iniciales del objeto 1 y objeto 2 respectivamente. De la misma forma sea ${\displaystyle v_1}$ y ${\displaystyle v_2}$ la velocidad final de estos mismos objetos tras haberse producido la colisión. Todas las velocidades se miden respecto al mismo sistema de referencia inercial. Si aplicamos las leyes de conservación de energía y momento lineal se tienen las siguientes igualdades:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{m}_1{u}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{u}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2\\ m_1{u}_1+m_2{u}_2=m_1{v}_1+m_2{v}_2\end{array}}$

Realizando algunas modificaciones algebraicas en la igualdad correspondiente a la conservación de energía (primera ecuación), se tiene que:

${\displaystyle m_1(u_1^2-v_1^2)=m_2(v_2^2-u_2^2)}$

Lo que equivale a:

${\displaystyle m_1(u_1+v_1)(u_1-v_1)=m_2(v_2+u_2)(v_2-u_2)}$

Por otra parte, de la segunda ecuación de conservación de momentos se tiene:

${\displaystyle m_1(u_1-v_1)=m_2(v_2-u_2)}$

Realizando el cociente entre ambas expresiones reducidas, se llega a la siguiente igualdad:

${\displaystyle u_1+v_1=v_2+u_2}$

Indicando que, en un choque unidimensional perfectamente elástico la suma de las velocidades de cada uno de los cuerpos, antes y después de la colisión, se mantiene constante. Si se reordenan los sumandos de tal forma que queden en cada miembro las velocidades antes y después, se obtiene:

${\displaystyle u_1-u_2=-(v_1-v_2)}$

Finalmente, de esta última expresión, se obtiene equivalentemente que:

${\displaystyle -\frac{v_1-v_2}{u_1-u_2}=1}$

Como la hipótesis de partida fue una colisión perfectamente elástica se supone que el valor 1 es indicador de este tipo de choque. Cabe resaltar que un valor inferior a uno permite describir que el balance de velocidades se ha modificado debido a cambios en la ecuación de energías (choque sin fricción). De esta forma las velocidades del choque, permiten definir el coeficiente de restitución como:

${\displaystyle C_R=-\frac{v_1-v_2}{u_1-u_2}}$

Donde cada una de las velocidades se han definido como:

${\displaystyle v_{\text{1}}}$ es la velocidad final del primer objeto tras la colisión

${\displaystyle v_{\text{2}}}$ es la velocidad final del segundo objeto tras la colisión

${\displaystyle u_{\text{1}}}$ es la velocidad inicial del primer objeto antes de la colisión

${\displaystyle u_{\text{2}}}$ es la velocidad inicial del segundo objeto antes de la colisión

Y por lo tanto, ${\displaystyle C_R}$ es precisamente el coeficiente de restitución, que toma valores entre 0 y 1. El valor 1 se da en un choque perfectamente elástico, donde se conserva tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema. El valor se da en un choque inelástico (o plástico central) donde sólo se conserva el momento lineal, una porción de la energía cinética inicial de las partículas se "consume" durante el choque, convirtiéndose en energía de deformación plástica, energía sonora, calor, etcétera.

Rebote en una dimensión

Un caso especial de interés resulta cuando el choque se realiza contra un cuerpo fijo (una pared, por ejemplo). En este caso particular la velocidad del segundo cuerpo es nula antes y después del choque por estar en reposo, lo que permite simplificar la expresión del cociente ${\displaystyle C_R}$ como:

${\displaystyle C_R=-\frac{v_1}{u_1}}$

Casos especiales de aplicación de esta última expresión se encuentran en cuerpos que rebotan contra paredes, suelos, etc. En el caso particular de un cuerpo que se deja caer desde una altura ${\displaystyle h_o}$, tras chocar contra un suelo sin fricción, se puede estimar el valor de ${\displaystyle C_R}$ conociendo la altura máxima ${\displaystyle h_1}$ tras el primer rebote. Es de suponer que ${\displaystyle h_o}$ ha de ser mayor que ${\displaystyle h_1}$ debido a la pérdida de energía durante el proceso de rebote. Resulta posible conocer ${\displaystyle v_1}$ antes del rebote por ser un fenómeno de caída libre, de tal forma que:

${\displaystyle v_1=\sqrt{2g{h}_o}}$

Donde g es la constante de aceleración terrestre. Por otra parte la velocidad tras el rebote se puede deducir de la altura máxima alcanzada ${\displaystyle h_1}$ (considerando despreciable el rozamiento con el aire), de tal forma que

${\displaystyle u_1=-\sqrt{2g{h}_1}}$

Que permite agrupar ambas expresiones de velocidad en la definición anterior, de tal forma que permita expresar el cociente ${\displaystyle C_R}$ como función de alturas entre dos rebotes sucesivos:

${\displaystyle C_R=\sqrt{\frac{h_1}{h_o}}}$

Esta fórmula se ha empleado en la determinación experimental del coeficiente de restitución.

Expresiones analíticas

El coeficiente de restitución puede determinarse experimentalmente, en algunos pocos casos bajo ciertas hipótesis analíticas también puede calcularse teóricamente. Los cálculos teóricos prueban que el coeficiente depende de hecho de la velocidad de deformación (aunque frecuentemente este efecto se ignore), además del material del que estén hecho los cuerpos. La hipótesis más común consiste en suponer un material viscoelástico lineal. Para el caso de dos esferas del mismo material viscoelástico el coeficiente de restitución puede expresarse en potencias de la velocidad de aproximación:^[6]

${\displaystyle C_R=1-C_1\left(\frac{3}{2}A\right){\left(\frac{\rho }{m_{eff}}\right)}^{2/5}{v}_r^{1/5}+C_2{\left(\frac{3}{2}A\right)}^2{\left(\frac{\rho }{m_{eff}}\right)}^{4/5}{v}_r^{2/5}-\dots }$

Donde:

${\displaystyle A=\frac{1}{3}\frac{(3{\eta }_2-{\eta }_1{)}^2}{3{\eta }_2+2{\eta }_1}\left[\frac{(1-2\nu )(1-{\nu }^2)}{E{\nu }^2}\right]}$

${\displaystyle {\eta }_1,{\eta }_2}$, constantes viscosas del material.

${\displaystyle E,\nu }$, constantes elásticas del material: módulo de Young y coeficiente de Poisson.

${\displaystyle \rho =\frac{2E}{3(1-{\nu }^2)}\sqrt{R_{eff}}}$

${\displaystyle m_{eff}=m_1{m}_2/(m_1+m_2),R_{eff}=R_1{R}_2/(R_1+R_2),}$

${\displaystyle R_i,m_i}$, radio y masa de la esfera i-ésima.

${\displaystyle v_r=({\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2)\cdot \frac{({\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2)}{\Vert {\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2\Vert }}$, velocidad relativa de aproximación.

${\displaystyle C_1=\frac{\sqrt{\pi }}{{50}^{1/5}}\frac{\mathrm{\Gamma }(3/5)}{\mathrm{\Gamma }(21/10)}=1,15344,C_2=0,79826}$ constantes calculadas a partir de la ecuación de movimiento:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\ddot{\xi }+\frac{\rho }{m_{eff}}\left({\xi }^{3/2}+\frac{3}{2}A\sqrt{\xi }\dot{\xi }\right)\\ \xi (0)=0,\dot{\xi }(0)=0\end{array}}$

donde:

${\displaystyle \xi =R_1+R_2-\Vert {\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2\Vert }$, es la deformación por aplastamiento sufrida por la distancia entre centros de las dos esferas.

Casos particulares

En el choque de una única partícula contra una superficie plana, es posible aplicar la siguiente fórmula simplificada, que se deduce de las fórmulas anteriores asumiendo que la componente de velocidad paralela a la pared se mantiene constante y toda la fuerza ejercida por la pared es perpendicular a la misma (si el sólido es altamente deformable o existe mucha adherencia esas hipótesis se alejarían de lo que sucede realmente), bajo esas condiciones el coeficiente de restitución es simplemente:

${\displaystyle C_R=\frac{\tan \phi }{\tan \alpha }}$

En donde ${\displaystyle \alpha }$ es el ángulo de la velocidad del centro de masas después del choque, y ${\displaystyle \phi }$ el ángulo de incidencia (ambos medidos sobre el plano formado por la velocidad paralela al plano y la dirección normal a la superficie plana).

La dinámica del punto material es una parte de la mecánica newtoniana en la que los sistemas se analizan como sistemas de partículas puntuales y que se ejercen fuerzas a distancia instantáneas.

Sistema de una sola partícula

Si se estudia el movimiento de una partícula material desde un sistema de referencia inercial, entonces la ecuación de movimiento básica es la segunda ley de Newton:

${\displaystyle m\frac{d^2\mathbf{r}(t)}{d{t}^2}-\mathbf{F}=0}$

Donde r está representando la posición de la partícula, t es el instante del tiempo en que se mide la posición y F la fuerza. Si el sistema de una partícula está totalmente aislada de cualquier interacción con el exterior, no existirán fuerzas sobre la partícula y entonces la segunda ley de Newton se reduce a que:

${\displaystyle \frac{d^2\mathbf{r}(t)}{d{t}^2}=0\Rightarrow \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}={\mathbf{v}}_0\Rightarrow \mathbf{r}(t)={\mathbf{v}}_{0}t+{\mathbf{r}}_0}$

Y por tanto la partícula se mueve a velocidad constante sobre una línea recta, tal como expresa la primera ley de Newton o ley de inercia. Y así cualquier magnitud física que, fijado un observador, dependa únicamente de la velocidad se mantendrá constante a lo largo del tiempo (para una partícula aislada eso sucede con la energía, el momento lineal y el momento angular, entre otras).

Sistemas de partículas interactuantes

Artículo principal: Sistema de partículas (física)

Un sistema de partículas N puntuales es un sistema algo más interesante, donde la segunda ley de Newton nos dice que la trayectoria de cada una de las partículas estará gobernada por las ecuaciones siguientes:

(1)${\displaystyle m_i\frac{d^2{\mathbf{r}}_i(t)}{d{t}^2}-\left[\sum _{j\ne i}{\mathbf{F}}_{ji}({\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j)\right]=0}$

Donde r_i(t) es la posición de la partícula i-ésima en el instante de tiempo t, F_ji representa la fuerza que ejerce la partícula j sobre la partícula i. Este sistema puede resultar difícil de integrar mediante los métodos más sencillos de la mecánica clásica. Aunque el carácter determinista de la mecánica newtoniana queda asegurado por el hecho de que:

1. fijadas unas condiciones iniciales para las posiciones y las velocidades,
2. fijados ciertas condiciones de regularidad sobre la forma funcional de las fuerzas en función de las posiciones, y siempre y
3. cuando podamos asegurar que no se producen colisiones triples existe solución única para el anterior sistema de ecuaciones.

Aun cuando no podamos integrar de manera sencilla el sistema de ecuaciones (1), que tiene en tres dimensiones 6N grados de libertad cinemáticos, podemos encontrar algunas integrales de movimiento que reducen el problema.

Conservación de la energía

Artículo principal: Conservación de la energía

Cuando las fuerzas que se ejercen las partículas son conservativas puede verse que existen funciones llamadas funciones de potencial V_ji tales que:^[1]

(2)${\displaystyle {\mathbf{F}}_{ji}=-\mathbf{\nabla }{V}_{ji}=-\frac{d{V}_{ji}}{d\mathbf{r}}}$

En ese caso puede probarse que a pesar de lo intricadas que puedan ser las trayectorias seguidas por las partículas, existe una magnitud física llamada energía total, que se conserva a lo largo del movimiento. Es decir, existe una función escalar cuyo valor se mantiene constante a lo largo del tiempo para el sistema, esta energía total viene dada por:

(3)

Para comprobar que esta magnitud permanece constante con el tiempo basta derivar la expresión (3) respecto al tiempo, y substituir dentro de la expresión obtenida (2):

${\displaystyle \frac{dE}{dt}=\frac{d{E}_c}{dt}+\sum _i\frac{d{E}_p}{d{\mathbf{r}}_i}\cdot {\dot{\mathbf{r}}}_i=\sum _i{\dot{\mathbf{r}}}_i\cdot \left(m_i\frac{d{\dot{\mathbf{r}}}_i}{dt}+\sum _{j\ne i}\left(\frac{d{V}_{ji}}{d{\mathbf{r}}_i}\right)\right)=\sum _i{\dot{\mathbf{r}}}_i\cdot \left(m_i\frac{d^2{\mathbf{r}}_i}{d{t}^2}+\sum _{j\ne i}-{\mathbf{F}}_{ji}\right)=0}$

La expresión anterior se anula porque para todo i la expresión entre paréntesis es idénticamente nula, tal como muestra la ecuación del movimiento (1).

Conservación del momento lineal

Artículo principal: Momento lineal

Otra ley de conservación que se menciona habitualmente en relación con los sistemas de partículas es la ley de conservación del momento lineal o cantidad de movimiento. En ciertos sistemas resulta que la magnitud vectorial obtenida como suma de momentos lineales:

(4)${\displaystyle P({\mathbf{r}}_i,{\dot{\mathbf{r}}}_i)=\sum _{i=1}^N{m}_i{\dot{\mathbf{r}}}_i}$

Permanece constante a lo largo del tiempo. Para que esa magnitud se conserve se requiere una condición sobre las fuerzas. Esta condición es el principio de acción-reacción fuerte que para un sistema de partículas implica:

${\displaystyle {\mathbf{F}}_{ji}=-{\mathbf{F}}_{ij}}$

En sistemas de partículas cargadas que interactúan entre sí mediante campos magnéticos, el momento lineal total de las partículas definido por (4) no cumple en general la anterior condición por lo que el momento lineal asociado a las partículas no se conserva. Sin embargo, si se considera el momento lineal que debe asignarse al campo electromagnético entonces puede escribirse una ley de conservación del momento para el sistema formado por el campo y las partículas (sin embargo, este momento total no vendría dado por (4)).

Casos particulares

• El problema de los dos cuerpos consiste en plantear un problema de tipo (1) con N = 2 es siempre resoluble ya que existen tantas integrales de movimiento como ecuaciones.

• El problema de los tres cuerpos es similar al anterior pero no puede construirse una solución a partir de integrales primeras, Poincaré probó un teorema que establece sólo existen 10 integrales de movimiento algebraicas en las coordenadas y momentos conjugados, lo cual imposibilita una solución por los medios usados para el problema de los dos cuerpos. Sin embargo, en 1912 Karl Fritiof Sundman halló una solución al problema de los tres cuerpos en forma de serie en potencias de ${\displaystyle t^{\frac{1}{3}}}$ que convergía lentamente para todo t y siempre y cuando el momento angular total no fuera cero. Sin embargo, esta solución converge muy lentamente y no resulta de un gran interés práctico.

• Un gas encerrado en una caja es otro interesante problema de partículas que puede ser analizado por la mecánica clásica. Sabemos que si todos los choques contra las paredes y entre partículas son perfectamente elásticos y el conjunto de puntos de la superficie de la caja que no presenta curvatura tiene medida de Lebesgue nula entonces el sistema es ergódico.

Generalización al caso relativista y al caso cuántico

El tratamiento de partículas materiales se restringe a la mecánica clásica. Y no puede ser adecuadamente generalizado a la mecánica relativista o la mecánica cuántica.

En mecánica relativista las fuerzas a distancia no son posibles, aunque para sistemas de partículas a pequeñas velocidades (comparadas con las de la luz) puede usarse la dinámica del punto material como tratamiento aproximado. Para partículas eléctricas a grandes velocidades es necesario tener en cuenta la energía y el momento asociado al campo electromagnético, ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación electromagnética.

Por otra parte, el tratamiento cuántico de los sistemas de partículas idénticas da lugar a efectos no presentes en mecánica clásica, como por ejemplo la interacción de canje. Por esas razones, la dinámica del punto material no demasiado útil desde el punto de vista cuántico.