EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 LEYES DE LA FÍSICA

William Henry

La ley de Henry enuncia que a una temperatura constante, la cantidad de gas disuelta en un líquido es directamente proporcional a la presión parcial que ejerce ese gas sobre el líquido,^[1][2] es decir, a mayor presión, mayor solubilidad y a la inversa.

La ley de Henry sólo es válida en presiones bajas y en disoluciones diluidas.

Historia

La ley de Henry fue formulada en 1803, por el químico inglés William Henry, quien estudió el tema a principios del siglo XIX. En su publicación acerca de la cantidad de gases absorbidos por agua, describió los resultados de sus experimentos:

"... de gas condensado, el agua absorbe por cada una, dos o más atmósferas añadidas, una cantidad, normalmente comprimida, que debería ser igual al doble, triple, etc., del volumen absorbido bajo la presión normal de la atmósfera."

Ejemplos

Un ejemplo en el cual la ley de Henry está en juego es en la disolución, que depende de la profundidad, de oxígeno y nitrógeno en la sangre de los buzos bajo agua que cambia durante la descompresión, llevando a la enfermedad del buzo.

Otro ejemplo cotidiano se da con las bebidas carbonatadas, las cuales contienen dióxido de carbono disuelto. Antes de abrir una lata o una botella de alguna bebida carbonatada, el gas por encima del líquido es mayoritariamente dióxido de carbono a presión mayor que la presión atmosférica. Después de abrir el recipiente, el gas escapa a la atmósfera, la presión parcial del dióxido de carbono se reduce y el gas que estaba disuelto en la bebida escapa de la disolución.

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre	Unidad	Común
${\displaystyle \alpha }$	Coeficiente de absorción de Bunsen
${\displaystyle \beta }$	Coeficiente de absorción de Kuenen	m3 / kg	L / g
${\displaystyle \delta }$	Coeficiente de absorción de Raoult		g / ml
${\displaystyle \lambda }$	Solubilidad de un gas de Ostwald
${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{b}\mathrm{p}}}$	Solubilidad de Henry por molalidad	mol / (kg Pa)
${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{p}}}$	Solubilidad de Henry por concentración	mol / J	mol / (L atm)
${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{c}}}$	Solubilidad de Henry adimensional
${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{x}\mathrm{p}}}$	Solubilidad de Henry por razón de mezcla de fase acuosa	Pa-1	atm-1
${\displaystyle K_{WA}}$	Coeficiente de partición de agua - aire (Ing. water - air)
${\displaystyle K_{AW}}$	Coeficiente de partición de aire - agua (Ing. air - water)
	Volatilidad
${\displaystyle K_{\mathrm{H}}^{pc}}$	Volatilidad de Henry por concentración	J / mol	L atm / mol
${\displaystyle K_{\mathrm{H}}^{px}}$	Volatilidad de Henry por razón de mezcla de fase acuosa	Pa	atm
${\displaystyle K_{\mathrm{H}}^{cc}}$	Volatilidad de Henry adimensional
	Parámetros
${\displaystyle b}$	Molalidad	mol / kg
${\displaystyle c_a}$	Concentración de especie "a" en la fase acuosa	mol / m3	mol / L
${\displaystyle c_g}$	Concentración de especie "a" en la fase gaseosa	mol / m3	mol / L
${\displaystyle m_1}$	Masa de gas saturado	kg	g
${\displaystyle m_2}$	Masa de solvente puro	kg	g
${\displaystyle p}$	Presión parcial de especia "a" en la fase acuosa	Pa	atm
${\displaystyle R}$	Constante de los gases	J / (kg K)
${\displaystyle T}$	Temperatura	K
${\displaystyle T^{STP}}$	Temperatura a presión estándar (Ing. Standard pressure)	K
${\displaystyle V_1}$	Volumen de gas saturado	m3	L
${\displaystyle V_2}$	Volumen de solvente puro	m3	L
${\displaystyle x}$	Razón de la mezcla molar en la fase acuosa
${\displaystyle \rho }$	Densidad del solvente	kg / m3
	Agua
${\displaystyle M_{{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}}}$	Masa molar
${\displaystyle {\rho }_{{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}}}$	Densidad	kg / m3

Constantes de solubilidad de la ley de Henry

Solubilidad de Henry por concentración (${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{p}}}$)

Químicos atmosféricos a menudo definen la solubilidad de Henry como:

${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{p}}=\frac{{\mathrm{c}}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{p}}}$

Solubilidad de Henry adimensional (${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{c}}}$) o (${\displaystyle K_{WA}}$)

${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{c}}=\frac{{\mathrm{c}}_{\mathrm{a}}}{{\mathrm{c}}_{\mathrm{g}}}}$

Para un gas ideal la conversión es:

${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{c}}=\mathrm{R}\mathrm{T}{\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{p}}}$

Algunas veces, la constante adimensional es llamada Coeficiente de partición agua - aire (${\displaystyle K_{WA}}$). Está cercanamente relacionada con los varios, poco diferentes definiciones del Coeficiente de Ostwald (${\displaystyle \lambda }$), como afirma Battino (1984).

Solubilidad de Henry por razón de mezcla de fase acuosa (${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{x}\mathrm{p}}}$)

${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{x}\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{p}}}$

Para solución acuosa diluida la conversión es: Iúnibá'.

${\displaystyle c_a\approx \frac{M_{{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}}}{{\rho }_{{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}}}}$

Amour Plastique, Lé tú chú:

${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{x}\mathrm{p}}\approx (\frac{{\mathrm{M}}_{{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}}}{{\rho }_{{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}}}){\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{p}}}$

Solubilidad de Henry por molalidad (${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{b}\mathrm{p}}}$)

Puede ser ventajoso describir la fase acuosa en términos de molalidad (${\displaystyle b}$) en lugar de concentración (${\displaystyle c}$). La molalidad (${\displaystyle b}$) de una solución no cambia con la temperatura (${\displaystyle T}$), pues se refiere a la masa del solvente. En contraste, la concentración (${\displaystyle c}$) cambia con la temperatura (${\displaystyle T}$), ya que la densidad de una solución (${\displaystyle \rho }$) y así su volumen son dependientes de la temperatura (${\displaystyle T}$). Definiendo la composición de la fase acuosa vía molalidad tiene la ventaja que cualquier dependencia de la temperatura (${\displaystyle T}$) de la constante de la ley de Henry es un fenómeno de solubilidad real y no introducido indirectamente vía cambio de densidad de la solución. Utilizando la molalidad, la solubilidad de Henry se puede definir como:

${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{b}\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{p}}}$

No hay un simple camino para calcular (${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{p}}}$) a partir de (${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{b}\mathrm{p}}}$), ya que la conversión entre la concentración (${\displaystyle c}$) y molalidad (${\displaystyle b}$) involucra a todos los solutos de una solución. Para una solución con un total de solutos (${\displaystyle n}$) con índices (${\displaystyle i=1,...,n}$), la conversión es:

${\displaystyle c_a=\frac{b\rho }{1+\sum _{i=1}^n{b}_i{M}_i}}$

Si solo hay un soluto se simplifica a:

${\displaystyle c_a=\frac{b\rho }{1+bM}}$

La ley de Henry solo es válida para soluciones diluidas, donde (${\displaystyle bM\ll 1}$) y (${\displaystyle \rho \approx {\rho }_{{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}}}$). En este caso la conversión se reduce a:

${\displaystyle c_a\approx b{\rho }_{{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}}}$

${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{b}\mathrm{p}}=\frac{{\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{p}}}{{\rho }_{{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}}}}$

Coeficiente de absorción de Bunsen (${\displaystyle \alpha }$)

De acuerdo con Sazonov y Shaw, el número adimensional coeficiente de Bunsen se define como:

"el volumen de gas saturado (${\displaystyle V_1}$), reducido a (${\displaystyle T=273.15K,p=1bar}$), el cual es absorbido por una unidad de volumen de solvente puro (${\displaystyle V_2}$) a la temperatura de medición y presión parcial (${\displaystyle p=1bar}$)."

${\displaystyle \alpha =\frac{V_1}{V_2}}$

Si es gas ideal, la presión se cancela, y la conversión a (${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{p}}}$) se simplifica:

${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{p}}=\frac{\alpha }{\mathrm{R}{\mathrm{T}}^{\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{P}}}}$

Con (${\displaystyle T^{STP}=273.15K}$). Nota. De acuerdo con la definición, el factor de conversión no depende de la temperatura. Independientemente de la temperatura a que se refiere el coeficiente de Bunsen, siempre se usa (${\displaystyle 273.15K}$) para la conversión. El coeficiente de Bunsen, el cual es nombrado por Robert Bunsen, ha sido utilizado principalmente en la literatura antigua.

Coeficiente de absorción de Kuenen (${\displaystyle \beta }$)

De acuerdo con Sazonov y Shaw, el coeficiente de Kuenen (${\displaystyle S}$) es definido como:

"el volumen de gas saturado (${\displaystyle V_1}$), reducido a (${\displaystyle T=273.15K,p=1bar}$), el cual se disuelve por unidad de masa de solvente puro (${\displaystyle m_2}$) a la temperatura de medición y presión parcial (${\displaystyle p=1bar}$)."

${\displaystyle \beta =\frac{V_1}{m_2}}$

${\displaystyle {\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{p}}=\frac{\beta \rho }{\mathrm{R}{\mathrm{T}}^{\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{P}}}}$

El coeficiente de absorción de Kuenen llamado así en honor a Johannes Kuenen, ha sido utilizado principalmente en literatura antigua, y la IUPAC lo considera obsoleto.

Coeficiente de absorción de Raoult (${\displaystyle \delta }$)

${\displaystyle \delta =\frac{m_1}{\text{100 ml de liquido}}}$

Solubilidad de un gas de Ostwald (${\displaystyle \lambda }$)

Constantes de volatilidad de la ley de Henry

Volatilidad de Henry por concentración (${\displaystyle K_{\mathrm{H}}^{pc}}$)

${\displaystyle K_{\mathrm{H}}^{pc}=\frac{p}{c_a}=\frac{1}{{\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{p}}}}$

Volatilidad de Henry por razón de mezcla de fase acuosa (${\displaystyle K_{\mathrm{H}}^{px}}$)

${\displaystyle K_{\mathrm{H}}^{px}=\frac{p}{x}=\frac{1}{{\mathrm{H}}^{\mathrm{x}\mathrm{p}}}}$

Volatilidad de Henry adimensional (${\displaystyle K_{\mathrm{H}}^{cc}}$) o (${\displaystyle K_{AW}}$)

${\displaystyle K_{\mathrm{H}}^{cc}=\frac{c_g}{c_a}=\frac{1}{{\mathrm{H}}^{\mathrm{c}\mathrm{c}}}}$

En ingeniería química y química ambiental, ésta constante adimensional es a menudo llamada Coeficiente de partición aire-agua (${\displaystyle K_{AW}}$).

La ley de Hooke: la tensión es proporcional a la elongación axial de la pieza.

En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke^[1]establece que el alargamiento unitario que experimenta un cuerpo elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre el mismo (${\displaystyle F}$):

${\displaystyle ϵ=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L}=\frac{F}{AE}}$

Siendo (${\displaystyle \mathrm{\Delta }L}$) el alargamiento, (${\displaystyle L}$) la longitud original, (${\displaystyle E}$): módulo de Young, (${\displaystyle A}$) la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a un cuerpo elástico hasta un límite denominado límite elástico.

Debe su nombre a Robert Hooke. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en ingeniería y construcción, así como en la ciencia de los materiales.

La ley de Hooke es solo una aproximación lineal de primer orden a la respuesta real de los resortes y otros cuerpos elásticos a las fuerzas aplicadas. Finalmente debe fallar una vez que las fuerzas excedan algún límite, ya que ningún material puede comprimirse más allá de un cierto tamaño mínimo, o estirarse más allá de un tamaño máximo, sin alguna deformación permanente o cambio de estado. Muchos materiales se desviarán notablemente de la ley de Hooke mucho antes de que se alcancen esos límites elásticos.

La ley de Hooke es una aproximación precisa para la mayoría de los cuerpos sólidos, siempre que las fuerzas y deformaciones sean lo suficientemente pequeñas. Por esta razón, la ley de Hooke se utiliza ampliamente en todas las ramas de la ciencia y la ingeniería, y es la base de muchas disciplinas como la sismología, la mecánica molecular y la acústica. También es el principio fundamental detrás de la balanza de muelle, el manómetro, el galvanómetro y el volante del reloj mecánico.

Historia

Esta ley recibe su nombre del físico inglés Robert Hooke, contemporáneo de Isaac Newton, y contribuyente prolífico de la arquitectura. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, y reveló su significado un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza").^{[cita requerida]}

Ley de Hooke para los resortes

La ley de Hooke describe cuánto se alarga un resorte bajo una cierta fuerza.

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza (${\displaystyle F}$) ejercida por el resorte con la elongación o alargamiento (${\displaystyle \delta }$) provocado por la fuerza externa aplicada al extremo del mismo:

${\displaystyle F=-k\delta }$

donde (${\displaystyle k}$) se llama constante elástica del resorte y (${\displaystyle \delta }$) es su elongación o variación que experimenta su longitud.

La energía de deformación o energía potencial elástica (${\displaystyle U_k}$) asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

${\displaystyle U_k=\frac{1}{2}k{\delta }^2}$

Es importante notar que la (${\displaystyle k}$) antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando (${\displaystyle k}$) por la longitud total, y llamando al producto (${\displaystyle k_i}$) o (${\displaystyle k}$) intrínseca, se tiene:

${\displaystyle k=\frac{k_i}{L}}$

Llamaremos (${\displaystyle F(x)}$) a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos el cual tomaremos como origen de coordenadas, (${\displaystyle k_{\mathrm{\Delta }x}}$) a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud (${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$) a la misma distancia y (${\displaystyle {\delta }_{\mathrm{\Delta }x}}$) al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza (${\displaystyle F(x)}$). Por la ley del muelle completo:

${\displaystyle F(x)=-k_{\mathrm{\Delta }x}{\delta }_{\mathrm{\Delta }x}=-k_i\frac{{\delta }_{\mathrm{\Delta }x}}{\mathrm{\Delta }x}}$

Tomando el límite:

${\displaystyle F(x)=-k_i\frac{{\delta }_{dx}}{dx}}$

que por el principio de superposición resulta:

${\displaystyle F(x)=-k_i\frac{d\delta }{dx}=-(AE)\frac{d\delta }{dx}}$

Teniendo en cuenta esta Ley de Hooke del muelle y además, la masa del objeto que oscila, y su aceleración, se obtiene como solución el movimiento del oscilador armónico simple (Véase también: Muelle elástico / Resorte). La frecuencia angular de la oscilación se calcula como:

${\displaystyle \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}}$

siendo (${\displaystyle m}$) la masa del oscilador

En los medios elásticos también se pueden propagar ondas como consecuencia de la vibración del medio. En la ecuación de ondas de las ondas elásticas interviene además de la variable espacial (${\displaystyle x}$) (en el caso de una dimensión), el tiempo. Esto se debe a que una onda tiene la doble dependencia espacial y temporal a la vez (Véase también: Muelle elástico / Resorte).

Ley de Hooke en sólidos elásticos

La ley de Hooke para sólidos elásticos generaliza la ley de Hooke para resortes. En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada solo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

${\displaystyle {\sigma }_{ij}=\sum _{k,l}{C}_{ijkl}{\epsilon }_{kl}}$

Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas, se involucran solo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación.

De tal forma que la deformación (${\displaystyle ϵ}$) es una cantidad adimensional, el módulo (${\displaystyle E}$) se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo (${\displaystyle \sigma }$) (unidades Pa, psi y ksi). El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido; en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo (${\displaystyle \sigma }$) para el que la similitud entre (${\displaystyle \sigma }$) y (${\displaystyle ϵ}$) deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo.

En resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales, como resistencia, ductibilidad y resistencia de corrosión; que pueden afectarse debido a la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de manofactura.

Caso unidimensional

En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden ignorar (${\displaystyle \sigma ={\sigma }_{11}}$), (${\displaystyle ϵ={ϵ}_{11}}$), (${\displaystyle C_{11}=E}$) y la ecuación anterior se reduce a:

${\displaystyle \sigma =Eϵ}$

donde (${\displaystyle E}$) es el módulo de Young.

Caso tridimensional isótropo

Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además del módulo de Young otra constante elástica, llamada coeficiente de Poisson (${\displaystyle \nu }$). Por otro lado, las ecuaciones de Lamé-Hooke para un sólido elástico lineal e isótropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma:

${\displaystyle {ϵ}_{xx}=\frac{1}{E}\left({\sigma }_{xx}-\nu ({\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})\right){ϵ}_{xy}=\frac{(1+\nu )}{E}{\sigma }_{xy}}$

${\displaystyle {ϵ}_{yy}=\frac{1}{E}\left({\sigma }_{yy}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{zz})\right){ϵ}_{yz}=\frac{(1+\nu )}{E}{\sigma }_{yz}}$

${\displaystyle {ϵ}_{zz}=\frac{1}{E}\left({\sigma }_{zz}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})\right){ϵ}_{xz}=\frac{(1+\nu )}{E}{\sigma }_{xz}}$

En forma matricial, en términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson como:

Las relaciones inversas vienen dadas por:

Caso tridimensional ortótropo

El comportamiento elástico de un material ortotrópico queda caracterizado por nueve constantes independientes: 3 módulos de elasticidad longitudinal ${\displaystyle (E_x,E_y,E_z)}$, 3 módulos de rigidez ${\displaystyle (G_{xy},G_{yz},G_{zx})}$ y 3 coeficientes de Poisson ${\displaystyle ({\nu }_{xy},{\nu }_{yx},{\nu }_{zx})}$. De hecho para un material ortotrópico la relación entre las componentes del tensor tensión y las componentes del tensor deformación viene dada por:

Donde:

${\displaystyle \frac{{\nu }_{yx}}{E_y}=\frac{{\nu }_{xy}}{E_x}\frac{{\nu }_{zx}}{E_z}=\frac{{\nu }_{xz}}{E_x}\frac{{\nu }_{yz}}{E_y}=\frac{{\nu }_{zy}}{E_z}(\ast )}$

Como puede verse las componentes que gobiernan el alargamiento y las que gobiernan la distorsión están desacopladas, lo cual significa que en general es posible producir alargamientos en torno a un punto sin provocar distorsiones y viceversa. Las ecuaciones inversas que dan las deformaciones en función de las tensiones toman una forma algo más complicada:

Donde:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }:=\frac{1-{\nu }_{xy}{\nu }_{yx}-{\nu }_{xz}{\nu }_{zx}-{\nu }_{yz}{\nu }_{zy}-{\nu }_{xy}{\nu }_{yz}{\nu }_{zx}-{\nu }_{yx}{\nu }_{zy}{\nu }_{xz}}{E_x{E}_y{E}_z}}$ :={\frac {1-\nu _{xy}\nu _{yx}-\nu _{xz}\nu _{zx}-\nu _{yz}\nu _{zy}-\nu _{xy}\nu _{yz}\nu _{zx}-\nu _{yx}\nu _{zy}\nu _{xz}}{E_{x}E_{y}E_{z}}}}

De hecho la matriz anterior, que representa al tensor de rigidez es simétrica ya que de las relaciones (*) se la simetría de la anterior matriz puesto que:

${\displaystyle \frac{{\nu }_{yx}+{\nu }_{yz}{\nu }_{zx}}{E_y{E}_z\mathrm{\Delta }}=\frac{{\nu }_{xy}+{\nu }_{xz}{\nu }_{zy}}{E_x{E}_z\mathrm{\Delta }}\frac{{\nu }_{zx}+{\nu }_{zy}{\nu }_{yx}}{E_y{E}_z\mathrm{\Delta }}=\frac{{\nu }_{xz}+{\nu }_{xy}{\nu }_{yz}}{E_x{E}_y\mathrm{\Delta }}\frac{{\nu }_{zy}+{\nu }_{zx}{\nu }_{xy}}{E_x{E}_z\mathrm{\Delta }}=\frac{{\nu }_{yz}+{\nu }_{yx}{\nu }_{xz}}{E_x{E}_y\mathrm{\Delta }}}$

Un caso particular de materiales ortótropos son los materiales transversalmente isótropos lineales en los que solo hace falta especificar cinco constantes elásticas: ${\displaystyle E_t,E_L,G_t,{\nu }_t,{\nu }_{Lt}}$, donde ${\displaystyle t}$ se refiere a las direcciones transversales a la dirección que se llama longitudinal.

Fundamentos termodinámicos

Las deformaciones lineales de materiales elásticos se pueden aproximar como procesos adiabáticos . En estas condiciones y para procesos cuasiestáticos, la primera ley de la termodinámica para un cuerpo deformado se puede expresar como

${\displaystyle \delta W=\delta U}$

donde ${\displaystyle \delta U}$ es el aumento de energía interna y ${\displaystyle \delta W}$ es el trabajo realizado por fuerzas externas. El trabajo se puede dividir en dos términos.

${\displaystyle \delta W=\delta W_{\mathrm{s}}+\delta W_{\mathrm{b}}}$

donde ${\displaystyle \delta W_{\mathrm{s}}}$ es el trabajo realizado por las fuerzas superficiales mientras que ${\displaystyle \delta W_{\mathrm{b}}}$ es el trabajo realizado por las fuerzas másicas. Si δ u es una variación del campo de desplazamiento u en el cuerpo, entonces los dos términos de trabajo externos se pueden expresar como

${\displaystyle \delta W_{\mathrm{s}}={\int }_{\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }}\mathbf{t}\cdot \delta \mathbf{u}dS;\delta W_{\mathrm{b}}={\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathbf{b}\cdot \delta \mathbf{u}dV}$

donde t es el vector de tracción de la superficie , b es el vector de fuerza del cuerpo, ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ representa el cuerpo y ${\displaystyle \mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }}$ representa su superficie. Usando la relación entre el esfuerzo de Cauchy y la superficie de tracción, t = n · σ (donde n es el vector normal unitario exterior a ${\displaystyle \mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }}$ ), tenemos

${\displaystyle \delta W=\delta U={\int }_{\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }}(\mathbf{n}\cdot \mathit{\sigma })\cdot \delta \mathbf{u}dS+{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathbf{b}\cdot \delta \mathbf{u}dV.}$

La conversión de la integral de superficie en una integral de volumen mediante el teorema de divergencia da

${\displaystyle \delta U={\int }_{\mathrm{\Omega }}(\mathrm{\nabla }\cdot (\mathit{\sigma }\cdot \delta \mathbf{u})+\mathbf{b}\cdot \delta \mathbf{u})dV.}$

Usando la simetría del esfuerzo de Cauchy y la identidad

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot (\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})=(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{a})\cdot \mathbf{b}+\frac{1}{2}\left({\mathbf{a}}^{\mathsf{T}}:\mathrm{\nabla }\mathbf{b}+\mathbf{a}:(\mathrm{\nabla }\mathbf{b}{)}^{\mathsf{T}}\right)}$ :(\nabla \mathbf {b} )^{\mathsf {T}}\right)}

tenemos lo siguiente

${\displaystyle \delta U={\int }_{\mathrm{\Omega }}\left(\mathit{\sigma }:\frac{1}{2}\left(\mathrm{\nabla }\delta \mathbf{u}+(\mathrm{\nabla }\delta \mathbf{u}{)}^{\mathsf{T}}\right)+\left(\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }+\mathbf{b}\right)\cdot \delta \mathbf{u}\right)dV.}$

De la definición de deformación y de las ecuaciones de equilibrio tenemos

${\displaystyle \delta \mathit{\epsilon }=\frac{1}{2}\left(\mathrm{\nabla }\delta \mathbf{u}+(\mathrm{\nabla }\delta \mathbf{u}{)}^{\mathsf{T}}\right);\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }+\mathbf{b}=\mathbf{0}.}$

Por tanto, podemos escribir

${\displaystyle \delta U={\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathit{\sigma }:\delta \mathit{\epsilon }dV}$

y por lo tanto la variación en la densidad de energía interna viene dada por

${\displaystyle \delta U_0=\mathit{\sigma }:\delta \mathit{\epsilon }.}$

Un material elástico se define como aquel en el que la energía interna total es igual a la energía potencial de las fuerzas internas (también llamada energía de deformación elástica ). Por lo tanto, la densidad de energía interna es una función de las deformaciones, ${\displaystyle U_0=U_0(\epsilon )}$ y la variación de la energía interna se puede expresar como

${\displaystyle \delta U_0=\frac{\mathrm{\partial }{U}_0}{\mathrm{\partial }\mathit{\epsilon }}:\delta \mathit{\epsilon }.}$

Dado que la variación de la deformación es arbitraria, la relación tensión-deformación de un material elástico viene dada por

${\displaystyle \mathit{\sigma }=\frac{\mathrm{\partial }{U}_0}{\mathrm{\partial }\mathit{\epsilon }}.}$

Para un material elástico lineal, la cantidad ∂U₀∂ε es una función lineal de ε y, por lo tanto, se puede expresar como

${\displaystyle \mathit{\sigma }=\mathsf{c}:\mathit{\epsilon }}$

donde c es un tensor de cuarto rango de constantes materiales, también llamado tensor de rigidez. Podemos ver por qué c debe ser un tensor de cuarto rango observando que, para un material elástico lineal,

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\mathit{\epsilon }}\mathit{\sigma }(\mathit{\epsilon })=\text{constante}=\mathsf{c}.}$

En notación de índice

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{\sigma }_{ij}}{\mathrm{\partial }{\epsilon }_{kl}}=\text{constante}=c_{ijkl}.}$

La constante del lado derecho requiere cuatro índices y es una cantidad de cuarto rango. También podemos ver que esta cantidad debe ser un tensor porque es una transformación lineal que lleva el tensor de deformación al tensor de tensión. También podemos demostrar que la constante obedece a las reglas de transformación del tensor para tensores de cuarto rango.

Aplicaciones fuera del campo de la ingeniería

• Rebotar: La ley de Hooke la utilizan practicantes de puenting, la cual les indica cuánto se estirará la cuerda, al experimentar la fuerza de su peso cuando caen al vacío.