EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

LEYES DE LA FÍSICA

Diagrama de mariposa que muestra comportamientos emparejados de la ley de Spörer.

La ley de Spörer es una ley empírica que predice la variación en latitud de la aparición de manchas solares durante un ciclo solar.

Historia

Fue descubierta por el astrónomo inglés Richard Christopher Carrington (1826-1875) alrededor de 1861. El trabajo de Carrington fue refinado por el astrónomo alemán Gustav Spörer (1822-1895).

Descripción

Al principio de un ciclo, las manchas solares tienden a aparecer alrededor de 30° a 45° de latitud. A medida que avanza el ciclo, las manchas solares aparecen cada vez a más baja latitud, hasta que alcanzan unos 15° en el máximo solar. La latitud media de las manchas solares continúa disminuyendo hasta los aproximadamente 7° y entonces, mientras el ciclo viejo acaba, las manchas solares del nuevo ciclo empiezan apareciendo a las latitudes altas.

Gráfica de una función de la energía total emitida por un cuerpo negro ${\displaystyle j^{\star }}$, proporcional a su temperatura termodinámica ${\displaystyle T}$. En azul está la energía total de acuerdo con la aproximación de Wien, ${\displaystyle j_W^{\star }=j^{\star }/\zeta (4)\approx 0,924\sigma T^4}$.

La ley de Stefan-Boltzmann establece que un cuerpo negro emite radiación térmica con una potencia emisiva hemisférica total proporcional a la cuarta potencia de su temperatura.

La ley es muy precisa solo para objetos negros ideales, los radiadores perfectos, llamados cuerpos negros; funciona como una buena aproximación para la mayoría de los cuerpos grises.

Historia

La ley fue deducida en 1879 por el físico austriaco Jožef Stefan (1835-1893) basándose en las mediciones experimentales realizadas por el físico irlandés John Tyndall. Stefan publicó esta ley en el artículo «Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur» (Sobre la relación entre la radiación térmica y la temperatura) en el Boletín de las sesiones de la Academia de Ciencias de Viena.

La ley fue derivada en 1884 a partir de consideraciones teóricas por Ludwig Boltzmann (1844-1906) usando la termodinámica. Boltzmann consideró un cierto motor térmico ideal con luz como fuente de energía en lugar de gas.

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre	Valor	Unidad
${\displaystyle E}$	Potencia emisiva hemisférica total		W / m2
${\displaystyle T_e}$	Temperatura efectiva (Temperatura absoluta de la superficie)		K
${\displaystyle \epsilon }$	Emisividad
${\displaystyle \sigma }$	Constante de Stefan-Boltzmann	5.67E-8	W / (m2 K4)

Descripción

${\displaystyle E=\sigma (T_e{)}^4}$

Esta potencia emisiva de un cuerpo negro (o radiador ideal) supone un límite superior para la potencia emitida por los cuerpos reales.

La potencia emisiva superficial de una superficie real es menor que el de un cuerpo negro a la misma temperatura y está dada por:

${\displaystyle E=\epsilon \sigma (T_e{)}^4}$

donde (${\displaystyle \epsilon }$) es una propiedad radiactiva de la superficie denominada emisividad. Con valores en el rango (0 ≤ ε ≤ 1), esta propiedad es la relación entre la radiación emitida por una superficie real y la emitida por el cuerpo negro a la misma temperatura. Esto depende marcadamente del material de la superficie y de su acabado, de la longitud de onda, y de la temperatura de la superficie.

Demostración

Demostración matemática

Esta ley no es más que la integración de la distribución de Planck a lo largo de todas las longitudes de onda del espectro de frecuencias:

Deducción

	Ley de Planck	2	3
Ecuaciones	${\displaystyle q=\frac{C_1}{{\lambda }^5[e^{(\frac{C_2}{\lambda T})}-1]}}$	${\displaystyle C_1=2\pi h(c_0{)}^2}$	${\displaystyle C_2=\frac{h{c}_0}{k_{\mathrm{B}}}}$
Integrando con límites	${\displaystyle E={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{C_1}{{\lambda }^5[e^{(\frac{C_2}{\lambda T})}-1]}d\lambda }$
	${\displaystyle E=[\frac{{\pi }^4{C}_1}{15(C_2{)}^4}]T^4}$
Sustituyendo	${\displaystyle E=[\frac{{\pi }^4(2\pi h(c_0{)}^2)}{15((h{c}_0)/k_{\mathrm{B}}{)}^4}]T^4}$
Simplificando	${\displaystyle E=[\frac{2{\pi }^5(k_{\mathrm{B}}{)}^4}{15h^3(c_0{)}^2}]T^4}$
Extrayendo	${\displaystyle \sigma =[\frac{2{\pi }^5(k_{\mathrm{B}}{)}^4}{15h^3(c_0{)}^2}]}$
Evaluando	${\displaystyle \sigma =[\frac{2{\pi }^5(1.380649E-23{)}^4}{15(6.62607015E-34{)}^3(299792458{)}^2}]}$
Operando	${\displaystyle \sigma =(5.6704E-8)\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2{\mathrm{K}}^4}}$

Experimento del cubo de Leslie

La ley de Stefan-Boltzmann queda bastante clara con el experimento del cubo de Leslie:

En general en la emisión radiante a altas temperaturas se desprecia el efecto de la temperatura del orden de la temperatura ambiente a la que se encuentran los objetos circundantes. Sin embargo debemos tener en cuenta que esta práctica estudia esta ley a bajas temperaturas para las cuales no se puede obviar la temperatura ambiente. Esto hace ver que como el detector del sensor de radiación (una termopila no está a (0 K) irradia energía radiante y una intensidad proporcional a esta es la que mide, luego si la despreciamos estamos falseando el resultado. Su radiación se puede cuantificar de forma proporcional a su temperatura absoluta a la cuarta potencia:

${\displaystyle R_{det}=\sigma (T_{det}{)}^4}$

De esta forma podemos conocer la radiación neta que mide a partir del voltaje generado por el sensor sabiendo que es proporcional a la diferencia de radiación entre la absorbida y la emitida, es decir:

${\displaystyle R_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}}=(R_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}-R_{det})=\sigma (T^4-(T_{det}{)}^4)}$

Por último, haciendo una serie de suposiciones, como puede ser evitar que el sensor se vea influenciado por la radiación del cubo de Leslie cuando no sea necesario, tomar mediciones (podemos alejarlo), y solo entonces podremos considerar que la temperatura del detector es la del ambiente. Con alejarlo cuando sea innecesario esta hipótesis puede ser suficiente.

Ejemplos

Primera determinación de la temperatura del Sol

Utilizando su ley Stefan determinó la temperatura de la superficie del Sol. Tomó los datos de Charles Soret (1854-1904) que determinó que la densidad del flujo de energía del Sol es 29 veces mayor que la densidad del flujo de energía de una fina placa de metal caliente. Puso la placa de metal a una distancia del dispositivo de la medición que permitía verla con el mismo ángulo que se vería el Sol desde la Tierra. Soret estimó que la temperatura de la placa era aproximadamente 1900 °C a 2000 °C. Stefan pensó que el flujo de energía del Sol es absorbido en parte por la atmósfera terrestre, y tomó para el flujo de energía del Sol un valor ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ veces mayor, a saber ${\displaystyle (\frac{3}{2})29=43,5}$.

Las medidas precisas de la absorción atmosférica no se realizaron hasta 1888 y 1904. La temperatura que Stefan obtuvo era un valor intermedio de los anteriores, (1950 °C o 2223 K). Como (2,57⁴ = 43,5), la ley de Stephan nos dice que la temperatura del Sol es (2,57 veces) mayor que la temperatura de una placa de metal, así que Stefan consiguió un valor para la temperatura de la superficie del Sol de (5713 K), el valor moderno es (5780 K). Este número fue una aproximación más exacta para la temperatura del Sol. Antes de esto, se obtuvieron valores tan pequeños como (1800 °C) o tan altos como (13 000 000 °C). El valor de (1800 °C) fue hallado por Claude Servais Mathias Pouillet (1790-1868) en 1838. Si nosotros concentramos la luz del Sol con una lente, podemos calentar un sólido hasta los (1800 °C).

Las temperaturas y radios de las estrellas

La temperatura de las estrellas puede obtenerse suponiendo que emiten radiación como un cuerpo negro de manera similar que nuestro Sol. La luminosidad (${\displaystyle L}$) de la estrella es igual a:

${\displaystyle L=4\pi (R^2\sigma )T^4}$

donde (${\displaystyle \sigma }$) es la constante de Stefan-Boltzmann, (${\displaystyle R}$) es el radio estelar y (${\displaystyle T}$) es la temperatura de la estrella.

Esta misma fórmula puede usarse para computar el radio aproximado de una estrella de la secuencia principal y, por tanto, similar al Sol:

${\displaystyle \frac{R}{R_{\odot }}\approx {\left(\frac{T_{\odot }}{T}\right)}^2\sqrt{\frac{L}{L_{\odot }}}}$

donde (${\displaystyle R_{\odot }}$) es el radio solar.

Con la ley de Boltzmann, los astrónomos puede inferir los radios de las estrellas fácilmente. La ley también se usa en la termodinámica de un agujero negro en la llamada radiación de Hawking.

La temperatura de la Tierra

Podemos calcular la temperatura de la Tierra (${\displaystyle T_e}$) igualando la energía recibida del Sol y la energía emitida por la Tierra. El Sol emite una energía por unidad de tiempo y área que es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura (${\displaystyle T_s}$). A la distancia de la Tierra (a₀) (unidad astronómica), esa potencia ha disminuido en la relación entre la superficie del Sol y la superficie de una esfera de radio a₀. Además el disco de la Tierra intercepta esa radiación pero debido a la rápida rotación de la Tierra es toda la superficie de la Tierra la que emite la radiación a una temperatura (${\displaystyle T_e}$) con lo que dicha potencia queda disminuida en un factor 4. Por ello:

${\displaystyle {\left(\frac{T_e}{T_s}\right)}^4=\frac{1}{4}{\left(\frac{r_s}{a_0}\right)}^2}$

donde ${\displaystyle r_s}$ es el radio del Sol. Por ello:

${\displaystyle T_e=T_s\sqrt{\frac{r_S}{2a_0}}=(5780)\mathrm{K}\sqrt{\frac{(696\times {10}^6)\mathrm{m}}{2(149,59787066\times {10}^9)\mathrm{m}}}=(278)\mathrm{K}}$

Resulta una temperatura de (5 °C). La temperatura real es de (15 °C).

Resumiendo: La distancia del Sol a la Tierra es (215 veces) el radio del Sol, reduciendo la energía por metro cuadrado por un factor que es el cuadrado de esa cantidad, es decir (46 225). Teniendo en cuenta que la sección que interfiere la energía tiene un área que es (1/4) de su superficie, vemos que disminuye en (184 900 veces). La relación entre la temperatura del Sol y la Tierra es por tanto (20,7), ya que (20,7⁴ es 184 900 veces).

Esto muestra aproximadamente por qué (T ≅ 278 K) es la temperatura de nuestro mundo. El cambio más ligero de la distancia del Sol podría cambiar la temperatura media de la Tierra.

En el cálculo anterior hay dos defectos. Parte de la energía solar es reflejada por la Tierra que es lo que se denomina albedo y esto disminuye la temperatura de la Tierra hecho por el cálculo anterior hasta (–18 °C) y parte de la energía radiada por la Tierra que tiene una longitud larga, entre (3) y (80 micras), es absorbida por ciertos gases llamados de efecto invernadero, calentando la atmósfera hasta la temperatura actual. El llamado efecto invernadero es, entonces, vital para la vida en el planeta.

Véase también: Equilibrio térmico de la Tierra

Para calcular la constante solar o energía emitida por el Sol por unidad de tiempo y área a la distancia de la Tierra basta con dividir esta energía por (46,225) resulta:

${\displaystyle K=\sigma T_s^4{\left(\frac{r_s}{a_0}\right)}^2=(1366)\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2}}$

Intercambios radiactivos entre cuerpos negros

El flujo de calor se obtiene de la siguiente manera:

${\displaystyle q=AE=A\epsilon \sigma (T_e{)}^4}$

Para el cálculo de intercambios radiactivos de dos cuerpos negros, hay que afectar a la expresión anterior por el llamado factor de forma (${\displaystyle F}$), el cual indica que fracción de la energía total emitida por una superficie es interceptada (absorbida, reflejada o transmitida) por otra superficie, es un concepto puramente geométrico. La expresión final es de la forma:

${\displaystyle q_{(1-2)}=A_1{F}_{12}\sigma (T_1{)}^4}$

${\displaystyle q_{(2-1)}=A_2{F}_{21}\sigma (T_2{)}^4}$

${\displaystyle q_{12}=q_{(1-2)}-q_{(2-1)}=A_1{F}_{12}\sigma ((T_1{)}^4-(T_2{)}^4)}$

Hay que tener en cuenta que se cumple ${\displaystyle A_1{F}_{12}=A_2{F}_{21}}$

Para superficies reales (con emisividad menor a 1) hay que tener en cuenta que además de emitir, la superficie refleja energía, para ello se define (${\displaystyle J}$) como la radiosidad, que es la suma de la energía emitida y la reflejada.

${\displaystyle q_{(1-2)}=A_1{F}_{12}{J}_1}$

${\displaystyle q_{(2-1)}=A_2{F}_{21}{J}_2}$

${\displaystyle q_{12}=q_{(1-2)}-q_{(2-1)}=A_1{F}_{12}(J_1-J_2)}$

En el caso particular de un cuerpo negro se cumple que (${\displaystyle J=E}$)

Ejemplo:

Para una cavidad cerrada compuesta por dos superficies reales, el intercambio radiactivo es:

Un cuerpo que cumple la ley de Stokes se ve sometido a dos fuerzas, la gravitatoria y la de arrastre. En el momento que ambas se igualan su aceleración se vuelve nula y su velocidad constante.

La ley de Stokes proporciona la fuerza de fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de número de Reynolds pequeño.

Etimología

Fue deducida en 1851 por George Gabriel Stokes tras resolver un caso particular de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Aplicaciones

La ley de Stokes es el principio usado en los viscosímetros de esfera en caída libre, en los cuales el fluido está estacionario en un tubo vertical de vidrio y una esfera, de tamaño y densidad conocidas, cae a través del líquido. Si la bola ha sido seleccionada correctamente alcanzará la velocidad terminal, que se puede medir por el tiempo que pasa entre dos marcas en la parte baja del tubo.

A veces se usan sensores electrónicos para fluidos opacos. Si se conocen las densidades de la esfera, el líquido y la velocidad de caída se puede calcular la viscosidad a partir de la ley de Stokes. Para mejorar la precisión del experimento se utilizan varias bolas. La técnica es usada en la industria para verificar la viscosidad de los productos, por ejemplo, la glicerina o el sirope.

La importancia de la ley de Stokes está ilustrada por el hecho de que ha desempeñado un papel crítico en la investigación de al menos tres Premios Nobel.^[1]

La ley de Stokes también es importante para la compresión del movimiento de microorganismos en un fluido, así de los procesos de sedimentación debidos de pequeñas partículas y organismos en medios acuáticos.^[2] También es usado para determinar el porcentaje de granulometría muy fina de un suelo mediante el ensayo de sedimentación.

En la atmósfera, la misma teoría puede usarse para explicar por qué las gotas de agua (o los cristales de hielo) pueden permanecer suspendidos en el aire (como nubes) hasta que consiguen un tamaño crítico para empezar a caer como lluvia (o granizo o nieve). Se puede hacer un uso similares de la ecuación para estudiar el principio de asentamiento de partículas finas en el agua u otros fluidos.

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle F_d}$	Fuerza	N
${\displaystyle g}$	Gravedad	m / s2
${\displaystyle p}$	Presión	Pa
${\displaystyle R}$	Radio de la esfera	m
${\displaystyle u}$	Velocidad	m / s
${\displaystyle u_s}$	Velocidad de caída de las partículas (velocidad límite)	m / s
${\displaystyle \mu }$	Viscosidad dinámica	Pa s
${\displaystyle \omega }$	Vorticidad	s-1
${\displaystyle {\rho }_p}$	Densidad de las partículas	kg / m3
${\displaystyle {\rho }_f}$	Densidad del fluido	kg / m3
${\displaystyle \sigma }$	Fuerza viscosa por unidad de área	N / m2

Descripción

La ley de Stokes puede escribirse como:

${\displaystyle F_d=6\pi R\mu u}$

La condición de bajos números de Reynolds implica un flujo laminar lo cual puede traducirse por una velocidad relativa entre la esfera y el medio inferior a un cierto valor crítico. En estas condiciones la resistencia que ofrece el medio es debida casi exclusivamente a las fuerzas de rozamiento que se oponen al deslizamiento de unas capas de fluido sobre otras a partir de la capa límite adherida al cuerpo. La ley de Stokes se ha comprobado experimentalmente en multitud de fluidos y condiciones.

Si las partículas empiezan a caer verticalmente en un fluido viscoso debido a su propio peso hacen un recorrido antes de alcanzar su velocidad límite o terminal constante ; puede calcularse tal recorrido y el tiempo en que lo logra así como también tal velocidad límite igualando la fuerza de fricción con el peso aparente de la partícula en el fluido.

${\displaystyle u_s=(\frac{2}{9})\frac{({\rho }_p-{\rho }_f)g{r}^2}{\mu }}$

Flujo de Stokes alrededor de una esfera

Flujo estacionario de Stokes

En flujos de Stokes con un número de Reynolds muy bajo, la aceleración convectiva se puede considerar nula en los términos de la ecuación de Navier-Stokes. En ese caso las ecuaciones del flujo se igualan a las de un flujo incompresible y estacionario:^[3]

${\displaystyle \mathit{\omega }=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{u}}$

Usando algunas propiedades del cálculo de vectores, estas ecuaciones se pueden mostrar como resultado de una ecuación de Laplace para la presión y cada uno de los componentes del vector vorticidad:^[3]

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2\mathit{\omega }=0}$

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^{2}p=0}$

Fuerzas adicionales como la gravedad o la flotabilidad no han sido tomados en cuenta, pero pueden ser fácilmente añadidos a la ecuación ya que son lineales, así que se puede aplicar la superposición lineal a las soluciones.

Flujo alrededor de una esfera

Para el caso de una esfera en un campo de velocidades, es ventajoso usar el sistema de coordenadas cilíndrico (${\displaystyle r,\phi ,z}$). El eje (${\displaystyle z}$) pasa por el centro de la esfera y está alineado con la dirección del flujo, mientras que (${\displaystyle r}$) es el radio medido perpendicular al eje (${\displaystyle z}$). El origen es el centro es de la esfera. Debido a que el flujo es asimétrico respecto al eje z, éste es independiente del azimut (${\displaystyle \phi }$).

En el sistema de coordenadas cilíndrico, el flujo incompresible puede ser descrito por la función del flujo de Stokes (${\displaystyle \psi }$), la cual está en función de (${\displaystyle r}$) y (${\displaystyle z}$):^[4][5]

${\displaystyle v=-\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial }\psi }{\mathrm{\partial }z},w=\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial }\psi }{\mathrm{\partial }r}}$

con (${\displaystyle v}$) y (${\displaystyle w}$) como componentes del flujo de velocidad en la dirección (${\displaystyle r}$) y (${\displaystyle z}$), respectivamente. La componente de la velocidad acimutal en la dirección φ es cero, en el caso simétrico. El flujo de volumen, a través de un tubo limitado por una superficie de valor constante (${\displaystyle \psi }$), es igual a (${\displaystyle 2\pi \psi }$) y es constante.^[4]

Para el caso de un flujo simétrico por los ejes, el único componente no nulo del vector vorticidad (${\displaystyle \omega }$) es el azimutal (${\displaystyle \phi }$), el componente (${\displaystyle {\omega }_{\phi }}$).^[6][7]

${\displaystyle {\omega }_{\phi }=\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }z}-\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }r}=-\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }r}\left(\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial }\psi }{\mathrm{\partial }r}\right)-\frac{1}{r}\frac{{\mathrm{\partial }}^2\psi }{\mathrm{\partial }{z}^2}}$

El operador de Laplace, aplicado a la vorticidad (${\displaystyle {\omega }_{\phi }}$), aplicado en el sistema cilíndrico con simetría en los ejes:^[7]

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2{\omega }_{\phi }=\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }r}\left(r\frac{\mathrm{\partial }{\omega }_{\phi }}{\mathrm{\partial }r}\right)+\frac{{\mathrm{\partial }}^2{\omega }_{\phi }}{\mathrm{\partial }{z}^2}-\frac{{\omega }_{\phi }}{r^2}=0.}$

De las dos ecuaciones anteriores, y con las apropiadas condiciones de contornos, para un campo de velocidad uniforme y paralela (${\displaystyle V}$) en la dirección (${\displaystyle z}$) y en una esfera de radio (${\displaystyle R}$), la solución resulta ser^[8]

${\displaystyle \psi =-\frac{1}{2}V{r}^2\left[1-\frac{3}{2}\frac{R}{\sqrt{r^2+z^2}}+\frac{1}{2}{\left(\frac{R}{\sqrt{r^2+z^2}}\right)}^3\right].}$

La fuerza viscosa por unidad de área σ, ejercida por el flujo en la superficie de la esfera, está en la dirección z sobre toda la esfera. Más exactamente, tiene el mismo valor en cualquier punto de la esfera:

${\displaystyle \mathit{\sigma }=\frac{3\mu V}{2R}{\mathbf{e}}_z}$

con () el vector unitario en la dirección (). Para otras formas que no sean la esférica, () no es constante a lo largo de la superficie del cuerpo. Integrando la fuerza viscosa por unidad de área () sobre la esfera resulta la fuerza de fricción () de acuerdo con la ley de Stokes.