EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

En física, el principio de Pascal es una ley enunciada por el físico-matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) que se resume en la frase: la presión ejercida sobre un fluido incompresible y en equilibrio dentro de un recipiente de paredes indeformables se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y en todos los puntos del fluido.

En pocas palabras, se podría resumir afirmando que toda presión ejercida hacia un fluido, se propagará sobre toda la sustancia de manera uniforme.^[1] El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera hueca, perforada en diferentes lugares y provista de un émbolo o pistón. Al llenar la esfera con agua y ejercer presión sobre ella mediante el émbolo, se observa que el agua sale por todos los agujeros con la misma velocidad y, por lo tanto, con la misma presión.

También podemos observar aplicaciones del principio de Pascal en las prensas hidráulicas, en los elevadores hidráulicos, en los frenos hidráulicos, en los puentes hidráulicos y en los gatos hidráulicos.

Prensa hidráulica

Artículo principal: Prensa hidráulica

La prensa hidráulica es una máquina compleja que permite amplificar las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores, prensas hidráulicas, frenos y muchos otros dispositivos hidráulicos.

La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados entre sí, y cuyo interior está completamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno de los dos cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el émbolo de menor sección A₁ se ejerce una fuerza F₁ la presión p₁ que se origina en el líquido en contacto con él se transmite íntegramente y de forma casi instantánea a todo el resto del líquido. Por el principio de Pascal esta presión será exactamente igual a la presión p₂ que ejerce el fluido en la sección A₂, es decir:

${\displaystyle p_1=p_2}$

con lo que las fuerzas serán:

con A₁ < A₂. Por tanto, la relación entre la fuerza resultante en el émbolo grande cuando se aplica una fuerza menor en el émbolo pequeño será tanto mayor cuanto mayor sea la relación entre las secciones:

${\displaystyle F_1=F_2\left(\frac{A_1}{A_2}\right)}$

Discusión lineal

En un fluido las tensiones compresivas o presiones en el mismo pueden representarse mediante un tensor de la forma:

(1)

Eso significa que fijado un punto ${\displaystyle P}$ en el seno del fluido y considerando una dirección paralela al vector unitario ${\displaystyle \mathbf{n}}$ la fuerza por unidad de área ejercida en ese punto según esa dirección o el vector tensión ${\displaystyle \mathbf{t}}$ viene dado por:

(2)${\displaystyle \mathbf{t}=\mathbf{T}\mathbf{n}}$

El principio de Pascal establece que la tensión en (2) es independiente de la dirección ${\displaystyle \mathbf{n}}$, lo cual sólo sucede si el tensor tensión es de la forma:^[2]

(3)

donde p es una constante que podemos identificar con la presión. A su vez, esa forma del tensor sólo es posible tenerlo de forma aproximada si el fluido está sometido a presiones mucho mayores que la diferencia de energía potencial entre diferentes partes del mismo. Por lo que el principio de Pascal puede formularse como: «En un fluido en reposo y donde las diferencias de altura son despreciables el tensor de tensiones del fluido toma la forma dada en». (3)

Sin embargo, en realidad debido al peso del fluido hace que el líquido situado en la parte baja de un recipiente tenga una tensión ligeramente mayor que el fluido situado en la parte superior. De hecho, si la única fuerza másica actuante es el peso del fluido, el estado tensional del fluido a una profundidad z el tensor tensión del fluido es:

(4)

En vista de lo anterior, se puede afirmar que «fijado un punto de un fluido incompresible en reposo y contenido en un recipiente bajo presión e indeformable, la presión del fluido, es idéntica en todas direcciones, y su tensor tensión viene dado por».(4)

El barril de Pascal

Ilustración del experimento del barril de Pascal de Las fuerzas de la naturaleza de Amédée Guillemin (1872).

El barril de Pascal es el nombre de un experimento de hidrostática supuestamente realizado por Blaise Pascal en 1646.^[3] En el experimento, Pascal supuestamente introdujo un tubo vertical largo en un barril lleno de agua. Al verter agua en el tubo vertical, el aumento de la presión hidrostática hizo que el barril estallara.^[3]

El experimento no se menciona en ninguna parte de las obras conservadas de Pascal y es posible que sea apócrifo, atribuido a él por autores franceses del siglo XIX, entre los que el experimento se conoce como crève-tonneau (aprox.: "rompebarriles");^[4] sin embargo, el experimento sigue asociado a Pascal en muchos libros de texto de física elemental.

^[

La ley de Paschen, llamada así en honor del físico alemán Friedrich Paschen (1865-1947) que fue el primero en establecerla en 1889.^[1] Estudió la tensión disruptiva de láminas paralelas envueltas de gas como función de la presión y la distancia entre ellas. La tensión necesaria para crear un arco eléctrico a través del espacio entre láminas disminuyó a un punto a medida que la presión fue reducida. Luego, comenzó a aumentar, gradualmente excediendo su valor original. También encontró que disminuyendo el espacio entre láminas a presión normal, causaba el mismo comportamiento en la tensión de ruptura.

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle a,b}$	Constantes que dependen de la composición del gas
${\displaystyle d}$	Distancia entre láminas[2]	m
${\displaystyle p}$	Presión	atm
${\displaystyle V}$	Tensión disruptiva (Voltaje)	Volt

Descripción

Paschen encontró que la tensión disruptiva puede ser descrita mediante la ecuación:

${\displaystyle V=\frac{a(pd)}{\ln (pd)+b}}$

Aire (760 Torr)

Símbolo	Valor
${\displaystyle a}$	43.6E6
${\displaystyle b}$	12.8

El gráfico de esta ecuación es la curva de Paschen. Ésta predice la existencia de una tensión disruptiva mínima para un determinado producto de la presión y la separación. El mínimo citado para presión atmosférica y una separación de 7.5 micrómetros es de 327 Voltios. En este punto, la intensidad del campo eléctrico en Voltios/metros es alrededor de unas 13 veces mayor que la necesaria para superar una brecha de un metro. El fenómeno está bien verificado experimentalmente y es conocido como el mínimo de Paschen. La ecuación falla para distancias menores de pocos micrómetros a una Atmósfera de presión y predice incorrectamente un arco infinito de voltaje en la distancia de 2.7 micrómetros.

La ley de Poiseuille (ley de Hagen-Poiseuille) es una ley que permite determinar el flujo laminar estacionario (${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_V}$) de un líquido incompresible y uniformemente viscoso (fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. La ley es también muy importante en hemodinámica. La ley queda formulada del siguiente modo:

${\displaystyle Q=\frac{dV}{dt}=\pi \overline{u}{R}^2=\frac{\pi R^4}{8\mu }\left(-\frac{dp}{dz}\right)=\frac{\pi R^4}{8\mu }\frac{\mathrm{\Delta }p}{L}}$

donde (${\displaystyle V}$) es el volumen del líquido que circula en la unidad de tiempo (${\displaystyle t}$), (${\displaystyle \overline{u}}$) la velocidad media del fluido a lo largo del eje z del sistema de coordenadas cilíndrico, (${\displaystyle r}$) es el radio interno del tubo, (${\displaystyle \mathrm{\Delta }p}$) es la caída de presión entre los dos extremos, (${\displaystyle \mu }$) es la viscosidad dinámica (a veces representada por ${\displaystyle \eta }$) y (${\displaystyle L}$) la longitud característica a lo largo del eje z.

La ley se puede derivar de la ecuación de Darcy-Weisbach, desarrollada en el campo de la hidráulica y que por lo demás es válida para todos los tipos de flujo. La ley de Hagen-Poiseuille se puede expresar también del siguiente modo:

${\displaystyle f=\frac{64}{\mathrm{R}\mathrm{e}},\mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{\rho \overline{u}(2R)}{\mu }}$

donde (${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}}$) es el número de Reynolds y (${\displaystyle \rho }$) es la densidad del fluido. En esta forma la ley aproxima el valor del factor de fricción, la energía disipada por la pérdida de carga, el factor de pérdida por fricción o el factor de fricción de Darcy (${\displaystyle f}$) en flujo laminar a muy bajas velocidades en un tubo cilíndrico.

Etimología

Esta ecuación fue derivada experimentalmente en 1838, formulada y publicada en 1840 y 1846 por Jean Léonard Marie Poiseuille (1797-1869). Llamada también en honor a Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884) por los experimentos llevados a cabo en 1839.

Historia

La derivación teórica de la fórmula original de Poiseuille fue realizada independientemente por Wiedman (1856) y Neumann y E. Hagenbach (1858, 1859, 1860). Hagenbach fue el primero que la denominó como ley de Poiseuille.

La ley de Poiseuille fue extendida en 1891 para flujo turbulento por L. R. Wilberforce, basándose en el trabajo de Hagenbach.

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre	Unidad	Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}}$	Número de Reynolds			Dimensiones
${\displaystyle F}$	Fuerza ejercida por el fluido	N	${\displaystyle A}$	Área transversal	m2
${\displaystyle f}$	Factor de fricción		${\displaystyle A_{\mathrm{L}}}$	Área longitudinal	m2
${\displaystyle g}$	Gravedad	m / s2	${\displaystyle D}$	Diámetro máximo	m
${\displaystyle h_f}$	Perdida por fricción	m	${\displaystyle L}$	Longitud	m
${\displaystyle p_1}$	Presión en punto 1	Pa	${\displaystyle R}$	Radio máximo	m
${\displaystyle p_2}$	Presión en punto 2	Pa	${\displaystyle r}$	Radio	m
${\displaystyle \mathrm{\Delta }p}$	Diferencia de presiones	Pa	${\displaystyle V}$	Volumen	m3
${\displaystyle Q}$	Caudal	m3 / s	${\displaystyle t}$	Tiempo	s
${\displaystyle R_{\mathrm{h}\mathrm{d}}}$	Resistencia hidrodinámica			Eléctricos
${\displaystyle u}$	Velocidad	m / s	${\displaystyle I}$	Corriente	A
${\displaystyle \overline{u}}$	Velocidad media	m / s	${\displaystyle R_e}$	Resistencia eléctrica	Ω
${\displaystyle u_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}$	Velocidad máxima	m / s	${\displaystyle V_e}$	Voltaje	Volt
${\displaystyle \mu }$	Viscosidad dinámica	Pa s
${\displaystyle \rho }$	Densidad	kg / m3
${\displaystyle \tau }$	Esfuerzo cortante	N / m2
${\displaystyle \frac{du}{dr}}$	Velocidad de corte	s-1

Cálculo de la fórmula

En una tubería por la cual circula un líquido se considera un trozo de ésta delimitado por los puntos (${\displaystyle ABDC}$), de longitud (${\displaystyle L}$) y radio interno (${\displaystyle R}$).

En el líquido circulante se considera un cilindro coaxial interno delimitado por los puntos (${\displaystyle abdc}$) de radio (${\displaystyle r}$), con área transversal (${\displaystyle 1}$) y (${\displaystyle 2}$): ${\displaystyle A=\pi r^2}$ y área longitudinal: ${\displaystyle A_L=2\pi rL}$ .

Debido a la viscosidad, sobre este cilindro actúa un esfuerzo cortante (${\displaystyle \tau }$) provocado por una fuerza cortante (${\displaystyle F}$). Esta fuerza (${\displaystyle F=p_{1}A-p_{2}A}$) tiene el sentido del desplazamiento del fluido, producido por un gradiente de presión ().

De acuerdo a la segunda ley de Newton, si (${\displaystyle p_1}$) y (${\displaystyle p_2}$) son las presiones aplicadas en el centro de gravedad del área transversal (${\displaystyle 1}$) y (${\displaystyle 2}$):

${\displaystyle p_{1}A-p_{2}A+F=0}$

Nota	Descripción
(*)	En un sólido, el esfuerzo de corte es proporcional a la deformación, pero un fluido se deforma continuamente mientras se aplique el esfuerzo de corte (${\displaystyle \frac{F}{A_L}}$), por lo tanto éste será proporcional a la velocidad de corte (${\displaystyle \frac{du}{dr}}$) por la viscosidad (${\displaystyle \mu }$).

Deducción

	1	2	3	4	5*
Ecuaciones	${\displaystyle p_{1}A-p_{2}A+F=0}$	${\displaystyle \mathrm{\Delta }p=p_1-p_2}$	${\displaystyle A=\pi r^2}$	${\displaystyle A_{\mathrm{L}}=2\pi rL}$	${\displaystyle \frac{F}{A_{\mathrm{L}}}=\mu \frac{du}{dr}}$
Simplificando	${\displaystyle (p_1-p_2)A+F=0}$
Despejando					${\displaystyle F=\mu A_{\mathrm{L}}\frac{du}{dr}}$
Sustituyendo				${\displaystyle F=(2\pi rL)\mu \frac{du}{dr}}$
Sustituyendo	${\displaystyle (\mathrm{\Delta }p)(\pi r^2)+(2\pi rL\mu \frac{du}{dr})=0}$
Simplificando	${\displaystyle \mathrm{\Delta }pr+2L\mu \frac{du}{dr}=0}$
Despejando	${\displaystyle du=-(\frac{\mathrm{\Delta }p}{2L\mu })rdr}$
Integrando	${\displaystyle u=-(\frac{\mathrm{\Delta }p}{4L\mu })r^2+C}$
Evaluando${\displaystyle r=R,u=0}$			${\displaystyle 0=-(\frac{\mathrm{\Delta }p}{4L\mu })(R{)}^2+C}$
Despejando			${\displaystyle C=(\frac{\mathrm{\Delta }p}{4L\mu })R^2}$
Sustituyendo	${\displaystyle u=-(\frac{\mathrm{\Delta }p}{4L\mu })r^2+(\frac{\mathrm{\Delta }p}{4L\mu })R^2}$
Simplificando	${\displaystyle u=(\frac{\mathrm{\Delta }p}{4L\mu })(R^2-r^2)}$

Distribución de velocidades en una tubería

${\displaystyle u=(\frac{\mathrm{\Delta }p}{4L\mu })(R^2-r^2)}$

El radio elevado al cuadrado indica que se trata de un paraboloide, donde la velocidad máxima (${\displaystyle u_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}$) se obtiene en el eje de la tubería. Zona en la que los efectos del rozamiento con las paredes de la tubería es mínima.

${\displaystyle u_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=(\frac{\mathrm{\Delta }p}{4\mu L})R^2}$

En la práctica es más sencillo medir la velocidad media (${\displaystyle \overline{u}}$) que la velocidad máxima (${\displaystyle u_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}$).

${\displaystyle \overline{u}=\frac{Q}{\pi R^2}}$

Para calcular el caudal en la tubería se va a considerar un anillo diferencial de espesor (${\displaystyle dr}$) entre dos circunferencias concéntricas con el eje de la tubería y radios (${\displaystyle r}$) y (${\displaystyle r+dr}$).

Deducción

	1	2
Ecuaciones	${\displaystyle u=\frac{Q}{\pi r^2}}$	${\displaystyle u=(\frac{\mathrm{\Delta }p}{4L\mu })(R^2-r^2)}$
Despejando	${\displaystyle Q=\pi u{r}^2}$
Derivando	${\displaystyle dQ=(2\pi u)rdr}$
Sustituyendo	${\displaystyle dQ=2\pi (\frac{\mathrm{\Delta }p}{4L\mu })(R^2-r^2)rdr}$
Simplificando	${\displaystyle dQ=(\frac{\pi \mathrm{\Delta }p}{2L\mu })(R^2-r^2)rdr}$
Integrando	${\displaystyle {\int }_0^{Q}dQ={\int }_0^R(\frac{\pi \mathrm{\Delta }p}{2L\mu })(R^2-r^2)rdr}$
	${\displaystyle {\int }_0^{Q}dQ=(\frac{\pi \mathrm{\Delta }p}{2L\mu }){\int }_0^R(R^2-r^2)rdr}$
	${\displaystyle {\int }_0^{Q}dQ=(\frac{\pi \mathrm{\Delta }p}{2L\mu }){\int }_0^R[(R^2)r-r^3]dr}$
	${\displaystyle [Q{]}_0^Q=(\frac{\pi \mathrm{\Delta }p}{2L\mu })[\frac{1}{2}{R}^2(r{)}^2-\frac{1}{4}(r{)}^4{]}_0^R}$
	${\displaystyle Q=(\frac{\pi \mathrm{\Delta }p}{2L\mu })(\frac{R^4}{2}-\frac{R^4}{4})}$
	${\displaystyle Q=(\frac{\pi \mathrm{\Delta }p}{8\mu L})R^4}$

Ley de Poiseuille para el caudal.

${\displaystyle Q=(\frac{\pi \mathrm{\Delta }p}{8\mu L})R^4}$

Deducción

	1	2	3	4
Ecuaciones	${\displaystyle R=\frac{D}{2}}$	${\displaystyle \overline{u}=\frac{Q}{\pi R^2}}$	${\displaystyle Q=(\frac{\pi \mathrm{\Delta }p}{8\mu L})R^4}$	${\displaystyle u_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=(\frac{\mathrm{\Delta }p}{4\mu L})R^2}$
Sustituyendo		${\displaystyle \overline{u}=(\frac{\pi \mathrm{\Delta }p}{8\mu L})\frac{R^4}{\pi R^2}}$
Simplificando		${\displaystyle \overline{u}=(\frac{\mathrm{\Delta }p}{8\mu L})R^2}$
Sustituyendo	${\displaystyle \overline{u}=(\frac{\mathrm{\Delta }p}{8\mu L})(\frac{D}{2}{)}^2}$		${\displaystyle \overline{u}=\frac{u_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{2}}$
Simplificando	${\displaystyle \overline{u}=(\frac{\mathrm{\Delta }p{D}^2}{32\mu L})}$
Despejando	${\displaystyle \mathrm{\Delta }p=\frac{32\mu \overline{u}L}{D^2}}$

${\displaystyle \overline{u}=\frac{u_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{2}}$

Ley de Poiseuille para la pérdida de presión.

${\displaystyle \mathrm{\Delta }p=\frac{32\mu \overline{u}L}{D^2}}$

Deducción

	1	2	3
Ecuaciones	${\displaystyle \mathrm{\Delta }p=\frac{32\mu \overline{u}L}{D^2}}$	${\displaystyle h_f=\frac{\mathrm{\Delta }p}{\rho g}}$	${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{\rho \overline{u}D}{\mu }}$
Dividiendo ${\displaystyle (2\rho g\overline{v})}$	${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }p}{(2\rho g\overline{u})}=\frac{32\mu \overline{u}L}{D^2(2\rho g\overline{u})}}$
Ordenando	${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }p}{\rho g}=(\frac{L}{D})64(\frac{\mu }{\rho \overline{u}D})(\frac{{\overline{u}}^2}{2g})}$
Sustituyendo	${\displaystyle h_f=(\frac{L}{D})(\frac{64}{\mathrm{R}\mathrm{e}})(\frac{{\overline{u}}^2}{2g})}$

${\displaystyle h_f=(\frac{L}{D})(\frac{64}{\mathrm{R}\mathrm{e}})(\frac{{\overline{u}}^2}{2g})}$

Al comparar con la ecuación de Darcy-Weisbach se deduce el factor de fricción (${\displaystyle f}$).

${\displaystyle f=\frac{64}{\mathrm{R}\mathrm{e}}}$

siendo esta otra expresión de la ecuación de Hagen-Poiseuille.

Relación con los circuitos eléctricos

La electricidad fue originalmente entendida como una clase de fluido. Esta analogía hidráulica es todavía útil en el ámbito académico con fines didácticos.

La ley de Ohm para los circuitos eléctricos se corresponde con la ley de Poiseuille.

Equivalencia

Ley de Ohm		Ley de Poiseuille
${\displaystyle R_e=\frac{V_e}{I}}$		${\displaystyle R_{\mathrm{h}\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{\Delta }p}{Q}=(\frac{8\mu L}{\pi r^4})}$
${\displaystyle V_e}$	Voltaje	${\displaystyle \mathrm{\Delta }p}$	Caída de presión
${\displaystyle I}$	Corriente eléctrica	${\displaystyle Q}$	Caudal
${\displaystyle R_e}$	Resistencia eléctrica	${\displaystyle (\frac{8\mu L}{\pi r^4})}$	Resistencia hidrodinámica

Relación con el pulmón

La ley de Poiseuille tiene aplicación en la ventilación pulmonar al describir el efecto que tiene el radio de las vías respiratorias sobre la resistencia del flujo de aire en dirección a los alveolos. De ese modo, si el radio de los bronquiolos se redujera por la mitad, la ley de Poiseuille predice que el caudal de aire que pasa por ese bronquiolo reducido tendría que oponerse a una resistencia 16 veces mayor, teniendo en cuenta que la resistencia al flujo es inversamente proporcional al radio elevado a la cuarta potencia.^[1]

Este principio cobra importancia en el asma y otras enfermedades obstructivas del pulmón. Al reducirse el radio de las vías aéreas respiratorias, el esfuerzo de la persona se eleva a la cuarta potencia.