AMIGOS PARA SIEMPRE: EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

FENÓMENOS FÍSICOS

La mecánica lagrangiana es una reformulación y extensión de la mecánica clásica introducida por Joseph-Louis de Lagrange en 1788. En la mecánica lagrangiana, la trayectoria de un objeto es obtenida encontrando la trayectoria que minimiza la acción, que es la integral del lagrangiano en el tiempo; siendo este la energía cinética del objeto menos la energía potencial del mismo. Se trata de una extensión de la mecánica clásica newtoniana ya que las herramientas matemáticas continúan siendo válidas en el ámbito de la Física Cuántica y la Relatividad General donde la formulación matemática newtoniana pierde toda validez.

La formulación lagrangiana simplifica considerablemente muchos problemas físicos. Por ejemplo, los sistemas de referencia inerciales son tratados en pie de igualdad y a diferencia de las leyes de Newton la forma de las ecuaciones del movimiento no depende del sistema de referencia elegido.

Motivación

La utilidad de la formulación lagrangiana se aprecia incluso en ejemplos sencillos. Por ejemplo, considere una cuenta en un aro. Si se calculara el movimiento de la cuenta usando la mecánica newtoniana, se obtendría un sistema complicado de ecuaciones que considerarían las fuerzas que el aro ejerce en la cuenta en cada instante.

En cambio, en la aproximación de Lagrange, uno mira todos los movimientos posibles que la cuenta podría tomar en el aro y encuentra matemáticamente el que reduce al mínimo la acción. Hay muy pocas ecuaciones puesto que no se está calculando directamente la influencia del aro en la cuenta en un instante dado.

Otro ejemplo es el caso del estudio de movimientos referidos a un sistema que gira, como por ejemplo observaciones astronómicas vistas desde el planeta Tierra: en la formulación newtoniana es necesario introducir a mano las fuerzas ficticias o fuerzas de inercia como la fuerza centrífuga o el efecto Coriolis mientras que en la formulación lagrangiana estas fuerzas aparecen de modo natural.

Los dos problemas considerados anteriormente son mucho más sencillos de resolver empleando la formulación lagrangiana.

Ecuaciones de Lagrange

Las ecuaciones del movimiento en mecánica lagrangiana son las ecuaciones de Lagrange, también conocidas como las ecuaciones de Euler-Lagrange. Debajo, bosquejamos la derivación de la ecuación de Lagrange de las leyes de Newton del movimiento. Vea las referencias para derivaciones más detalladas y más generales. En su forma más general, en que se da un sistema de referencia general con coordenadas generalizadas ( $q_{1},...,q_{N};{\dot {q}}_{1},...,{\dot {q}}_{N}$ ) las ecuaciones de Lagrange toman la forma:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L(q_{i}(t),{\dot {q}}_{i}(t),t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L(q_{i}(t),{\dot {q}}_{i}(t),t)}{\partial q_{i}}}=0$

Derivación a partir de las leyes de Newton

Considere una sola partícula con masa m y el vector de posición r. La fuerza aplicada, F, si es una fuerza conservativa puede ser expresada como el gradiente de una función potencial escalar V(r, t):

$\mathbf {F} =-\nabla V$

tal fuerza es independiente de las terceras derivadas de r (o de derivadas de orden superior), por tanto la segunda ley de Newton forma un sistema de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Por lo tanto, el movimiento de la partícula se puede describir totalmente por 6 variables independientes, o grados de libertad. Un sistema obvio de variables es {r_j, r′_j | j = 1, 2, 3}, las componentes cartesianas de r y sus derivadas temporales, en un instante dado del tiempo.

Más generalmente, podemos trabajar con un sistema de coordenadas generalizadas y de sus derivadas temporales, las velocidades generalizadas: {q_j, q′_j}. r está relacionado con las coordenadas generalizadas por cierta ecuación de transformación:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{1},q_{2},q_{3},t)$

Considere un desplazamiento arbitrario δr de la partícula. El trabajo hecho por la fuerza aplicada F es δW = F · δr. que usa la segunda ley de Newton, escribimos:

$\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} =m{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot \delta \mathbf {r}$

puesto que el trabajo es una cantidad escalar física, debemos poder reescribir esta ecuación en términos de las coordenadas y de las velocidades generalizadas. En el lado izquierdo,

$\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} =-\nabla V\cdot \sum _{i}{\partial r \over \partial q_{i}}\delta q_{i}=-\sum _{i,j}{\partial V \over \partial r_{j}}{\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}=-\sum _{i}{\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}$

El lado derecho es más difícil, pero después de algunas maniobras obtenemos:

$m{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot \delta \mathbf {r} =\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_{i}}-{\partial T \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}$

Donde $T=m{\dot {r}}^{2}/2$ es la energía cinética de la partícula. Nuestra ecuación para el trabajo hecho se convierte en

\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {q'_{i}}}-{\partial {(T-V)} \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}=0

sin embargo, ésta debe ser verdad para cualquier conjunto de desplazamientos generalizados δq_i, así que debemos tener

\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {q'_{i}}}-{\partial {(T-V)} \over \partial q_{i}}\right]=0

para cada coordenada generalizada δq_i. Podemos simplificar aún más esto observando que V es una función solamente de r y t, y r es una función de las coordenadas generalizadas y t. Por lo tanto, V es independiente de las velocidades generalizadas:

{d \over dt}{\partial {V} \over \partial {q'_{i}}}=0

Insertando esto en la ecuación precedente y substituyendo L = T - V, obtenemos las ecuaciones de Lagrange:

{\partial {L} \over \partial q_{i}}={d \over dt}{\partial {L} \over \partial {q'_{i}}}

Hay una ecuación de Lagrange para cada coordenada generalizada q_i. Cuando q_i = r_i (es decir las coordenadas generalizadas son simplemente las coordenadas cartesianas), es inmediato comprobar que las ecuaciones de Lagrange se reducen a la segunda ley del Newton.

La derivación antedicha se puede generalizar a un sistema de N partículas. Habrá 6N coordenadas generalizadas, relacionadas con las coordenadas de posición por 3N ecuaciones de transformación. En cada una de las 3N ecuaciones de Lagrange, T es la energía cinética total del sistema, y V la energía potencial total.

En la práctica, es a menudo más fácil solucionar un problema usando las ecuaciones de Euler-Lagrange que las leyes de Newton. Esto es porque las coordenadas generalizadas apropiadas q_i se pueden elegir para aprovechar las simetrías en el sistema.^[1]

Derivación a partir del principio de Hamilton

Artículo principal: Principio de mínima acción

La acción, denotada por S, es la integral temporal del lagrangiano:

S=\int L\,dt

Sean q₀ y q₁ las coordenadas en los instantes inicial y final, t₀ y t₁ respectivamente. Usando el cálculo de variaciones, se puede mostrar que las ecuaciones de Lagrange son equivalentes al principio de Hamilton:

el sistema experimenta aquella trayectoria entre t₀ y t₁ cuya acción tiene un valor estacionario.

Por estacionario, significamos que la acción no varía en el primer orden para las deformaciones infinitesimales de la trayectoria, con los puntos límites (q₀, t₀) y (q₁, t₁) fijados. El principio de Hamilton se puede escribir como:

δS = 0

Así, en vez de pensar en partículas que aceleran en respuesta a fuerzas aplicadas, uno puede pensar en ellas seleccionando la trayectoria con una acción estacionaria.

El principio de Hamilton es conocido, a veces, como principio de mínima acción. Sin embargo, esto es una impropiedad: la acción sólo necesita ser estacionaria, y la trayectoria correcta se podría producir por un máximo, punto de ensilladura, o mínimo en la acción.

Mecánica lagrangiana en variedades diferenciables

La formulación más moderna de la mecánica lagrangiana se realiza con toda generalidad sobre una variedad diferenciable llamada espacio fásico Γ que se construye como el fibrado tangente del llamado espacio de configuración.

Sobre el espacio fásico de dimensión 2N, , siendo N el número de grados de libertad, se define una función lagrangiana, que puede expresarse en términos de una carta local de coordenadas sobre ℝ^2N:

{\mathcal {L}}:\Gamma \to \mathbb {R} \qquad {\mathcal {L}}(p;\mathbf {v} )=L(q_{1},...,q_{N};{\dot {q}}_{1},...,{\dot {q}}_{N})\,

Relación con el Hamiltoniano

El hamiltoniano, denotado por H, es obtenido ejecutando una transformación de Legendre en el lagrangiano. El hamiltoniano es la base para otra formulación alternativa de la mecánica clásica conocida como mecánica hamiltoniana. El mismo es también aplicable de manera general en el ámbito de la física cuántica. Mientras que el Lagrangiano representa una solución general en coordenadas que describen el sistema físico, el hamiltoniano se centra en la evolución temporal. Es decir cuál será el estado en un tiempo futuro partiendo de unas condiciones iniciales. En tal sentido el Lagrangiano es más genérico, permitiendo la descripción de magnitudes físicas como el spin, isoespin o cargas como consecuencia de las simetrías del propio lagrangiano. El hamiltoniano es más útil y manejable en física experimental, donde cualquier medición o experimento estará realizado sobre la línea temporal debido a la naturaleza macroscópica de los elementos de medida y del propio científico realizando las medidas.

En 1948 Feynman descubrió la formulación por integral de caminos extendiendo el principio de menor acción a la mecánica cuántica. En esta formulación, las partículas recorren cada trayectoria posible entre los estados iniciales y finales; la probabilidad de un estado final específico es obtenida sumando sobre todas las trayectorias posibles que conduce a él. En el régimen clásico, la formulación por integral de trayectorias reproduce evidentemente el principio de Hamilton.

La primera y segunda ley de Newton, en latín, en la edición original de su obra *Principia Mathematica*.

La mecánica newtoniana o mecánica vectorial es una formulación específica de la mecánica clásica que estudia el movimiento de partículas y sólidos en un espacio euclídeo tridimensional. Los cuerpos tienen velocidad inicial básica de la misma se hace en sistemas de referencia inerciales donde las ecuaciones básicas del movimiento se reducen a las leyes de Newton, en honor a Isaac Newton, quien hizo contribuciones fundamentales a esta teoría.

La mecánica es la parte de la física que estudia el movimiento. Se subdivide en:

Estática, que trata sobre las fuerzas en equilibrio mecánico.
Cinemática, que estudia el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen.
Dinámica, que estudia los movimientos y las causas que los producen (fuerza y energía).

La mecánica newtoniana es adecuada para describir eventos físicos de la experiencia diaria, es decir, a eventos que suceden a velocidades muchísimo menores que la velocidad de la luz y tienen escala macroscópica. En el caso de sistemas con velocidades próximas a la velocidad de la luz debemos acudir a la mecánica relativista.

Importancia de la mecánica newtoniana

La mecánica newtoniana es un modelo físico macroscópico para describir el movimiento de los cuerpos en el espacio relacionando este movimiento con sus causas eficientes (fuerzas). Históricamente, la mecánica newtoniana fue el primer modelo dinámico capaz de hacer predicciones importantes sobre el movimiento de los cuerpos, incluyendo las trayectorias de los planetas. Es conceptualmente más simple que otras formulaciones de la mecánica clásica como la lagrangiana o hamiltoniana, por lo que resulta útil en problemas relativamente sencillos, pero su uso en problemas complicados puede ser más enredado que las otras dos formulaciones.

Y, por supuesto, la mecánica newtoniana es relativamente más sencilla que una teoría como la mecánica cuántica relativista, que describe adecuadamente incluso fenómenos partículas elementales moviéndose a gran velocidad y entornos microscópicos, que no pueden ser adecuadamente modelizados por la mecánica newtoniana.

La mecánica newtoniana es suficientemente válida para la gran mayoría de los casos prácticos cotidianos en una gran cantidad de sistemas. Esta teoría, por ejemplo, describe con gran exactitud sistemas como cohetes, movimiento de planetas, moléculas orgánicas, trompos, trenes y trayectorias de móviles en general.

La mecánica clásica de Newton es ampliamente compatible con otras teorías clásicas como el electromagnetismo y la termodinámica, también "clásicos" (estas teorías tienen también su equivalente cuántico).

Descripción de la teoría

La mecánica newtoniana se formula sobre un espacio euclídeo tridimensional. La teoría asume la existencia de un tiempo universal compartido por todos los observadores y asume que las partículas siguen trayectorias trazables bien definidas. Varios de estos supuestos de la mecánica newtoniana son abandonados en otras teorías físicas como la mecánica relativista o la mecánica cuántica.

Posición, velocidad y aceleración

La posición de una partícula con respecto a un punto fijo en el espacio se denota con el vector r, cuya norma, | r | = r, corresponde a la distancia entre el punto fijo y la partícula, y su dirección es la que va desde este punto fijo al lugar en que se ubica la partícula. Si r es una función del tiempo t, denotado por r = f(t), el tiempo t se toma a partir de un tiempo inicial arbitrario:

$\mathbf {r} =\mathbf {f} (t)\,$

Entonces resulta que la velocidad y la aceleración (que también son vectores) vienen dadas por:

$\mathbf {v} ={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta \mathbf {r} \over \Delta t},\qquad \mathbf {a} ={\frac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta \mathbf {v} \over \Delta t}$

La posición indica el lugar del objeto que se está analizando. Si dicho objeto cambia de lugar, la función r describe el nuevo lugar del objeto. El punto clave de la dinámica newtoniana es que la aceleración viene determinada por la fuerza, siendo una fuerza cualquier causa eficiente que puede cambiar el estado de movimiento de una partícula (cambiado su capacidad de hacer trabajo o curvando su trayectoria). Si se dispone de un medio de computar las fuerzas sobre una partícula la trayectoria de una partícula vendrá dada por la ecuación diferencial:

(*) $m{\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} (t)}{{\text{d}}t^{2}}}=m{\frac {{\text{d}}\mathbf {v} (t)}{{\text{d}}t}}=\mathbf {F} (t)$

donde m es la masa de la partícula. El tratamiento anterior es el usado para describir la dinámica de la partícula, junto a ese tipo de sistemas de la mecánica newtoniana, la mecánica del sólido rígido es una extensión de ese enfoque que también se considera parte de la mecánica newtoniana y que requiere algunos supuestos adicionales, como el que cualquier combinación de fuerzas o admite una fuerza resultante y un momento resultante, y que bajo esos esfuerzos el movimiento del sólido rígido viene descrito por un grupo uniparamétrico de isometrías.

No es que el hecho de que la ecuación (*) sea de segundo orden tiene que ver con el hecho de que para determinar una trayectoria (curva en el espacio), un teorema de geometría diferencial de curvas demuestra que la curvatura y la torsión determina la curva salvo traslación y rotación, por lo que si se especifica la posición inicial (traslación) y la velocidad (rotación) queda determinada la curva o trayectoria de manera única (ya que tanto la curvatura y la torsión de dicha curva son combinaciones de derivadas primeras y segundas).

Fuerzas

El principio fundamental de la dinámica (segundo principio de Newton) relaciona la masa y la aceleración de un móvil con una magnitud vectorial, la fuerza. Si se supone que m es la masa de un cuerpo y F el vector resultante de sumar todas las fuerzas aplicadas al mismo (resultante o fuerza neta), entonces:

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=m\mathbf {a} +{\frac {{\text{d}}m}{{\text{d}}t}}\mathbf {v}$

El segundo término del último miembro se anula para el caso de que la masa del cuerpo sea constante. Nótese que en el caso general, la masa total del cuerpo no es necesariamente constante (bien porque absorban o emitan partículas) entonces m es, necesariamente, independiente de t. Ese caso se da por ejemplo, en un cohete expulsa gases disminuyendo la masa de combustible y por lo tanto, su masa total, que decrece en función del tiempo. A la cantidad m v se le llama momento lineal o cantidad de movimiento.

La función de F se obtiene de consideraciones sobre la circunstancia particular del objeto. La tercera ley de Newton da una indicación particular sobre F: si un cuerpo A ejerce una fuerza F sobre otro cuerpo B, entonces B ejerce una fuerza (fuerza de reacción) de igual magnitud y sentido opuesto sobre A, -F (tercer principio de Newton o principio de acción y reacción).

La fuerza resultante sobre un sólido está caracterizada en mecánica newtoniana por un vector y por una recta de acción. Para una fuerza puntual su recta de acción viene dada por una recta cuyo vector director es paralelo a la fuerza y pasa por el punto de aplicación de dicha fuerza. Para un sistema de fuerzas más complejo la recta de acción resultante es más difícil de encontrar, pero su posición es necesaria para determinar el momento de fuerza resultante y describir si bajo las fuerzas dadas el cuerpo rota cambiando su orientación.

Energía

Si una fuerza $\mathbf {F}$ se aplica a un cuerpo que mantiene una postura regular o en equilibrio, que sigue una trayectoria C, el trabajo realizado por la fuerza es una magnitud escalar de valor:

$W(t)=\int _{C}\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)\ dt$

Donde $\mathbf {v} (t)$ es la velocidad para cada instante del tiempo. Si se supone que la masa del cuerpo es constante, y $\Delta W\,$ es el trabajo total realizado sobre el cuerpo, obtenido al sumar el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúa sobre el mismo, entonces, aplicando la segunda ley de Newton se puede demostrar que:

$\Delta W=\int m{\frac {{\text{d}}\mathbf {v} (t)}{{\text{d}}t}}\cdot \mathbf {v} (t)\ {\text{d}}t=m\int \mathbf {v} \cdot {\text{d}}\mathbf {v} ={\frac {m}{2}}\Delta (\mathbf {v} ^{2})=\Delta T\,$

En donde T es la llamada energía cinética, también denotada como K. Para una partícula puntual, T se define:

$T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}$

Para objetos extensos compuestos por muchas partículas, la energía cinética es la suma de las energías cinéticas de las partículas que lo constituyen. Un tipo particular de fuerzas, conocidas como fuerzas conservativas, puede ser expresado como el gradiente de una función escalar, llamada potencial, V:

$\mathbf {F} =-{\mbox{grad}}\,V=-{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}\mathbf {r} }}$

Si se suponen todas las fuerzas sobre un cuerpo conservativas, y V es la energía potencial del cuerpo (obtenida por suma de las energías potenciales de cada punto debidas a cada fuerza), entonces existe una función llamada energía mecánica que es constante a lo largo del tiempo, para ver esto se multiplica la (*) escalarmente por la velocidad:

$m{\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} }{{\text{d}}t^{2}}}\cdot {\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=\mathbf {F} {\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}\mathbf {r} }}\cdot {\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}},\quad \Rightarrow {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[{\frac {m}{2}}\left({\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}\right)^{2}+V\right]={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(T+V)=0$

La ecuación anterior puede ilustrarse de manera algo más sencilla si se considera el caso unidimensional:

$m{\ddot {x}}{\dot {x}}=F{\dot {x}}=-{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}x}}{\dot {x}},\quad \Rightarrow {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[{\frac {m{\dot {x}}^{2}}{2}}+V\right]={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(T+V)=0$

Este resultado es conocido como la ley de conservación de la energía, indicando que la energía mecánica total $E=T+V$ o $E=K+U$ es constante (no es función del tiempo). Se ha usado la notación de Newton $v={\dot {x}},a={\ddot {x}}$ . Nótese que la energía se conserva solo si la masa del cuerpo es constante (no hay emisión de materia) y si la fuerza sobre el cuerpo es conservativa.

Otros resultados

La segunda ley de Newton permite obtener otros resultados, a su vez considerados como leyes. Ver por ejemplo momento angular.

Relaciones con otras teorías

Además de la formulación newtoniana de la mecánica clásica, existen otras dos importantes formulaciones alternativas de la mecánica clásica con mayor grado de formalización: la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana.

Si se restringen estas dos formulaciones a estudio del movimiento de sistemas de partículas o sólidos en un espacio euclídeo tridimensional ℝ³ y se consideran sobre el sistemas de coordenadas inerciales, entonces ambas son equivalentes a las leyes de Newton y sus consecuencias. Sin embargo, tanto la mecánica lagrangiana como la mecánica hamiltoniana, debido a la generalidad de su formulación, pueden tratar adecuadamente los sistemas no inerciales sin cambio alguno, además de que en la práctica la resolución de problemas complejos es más sencilla en estas formulaciones más formales.

La mecánica relativista va más allá de la mecánica clásica y trata con objetos que se mueven a velocidades relativamente cercanas a la velocidad de la luz). La mecánica cuántica trata con sistemas de dimensiones reducidas (a escala semejante a la atómica), y la teoría cuántica de campos (véase también campo) trata con sistemas que exhiben ambas propiedades.

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lunes, 19 de octubre de 2026

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