EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 LEYES DE LA FÍSICA

No debe confundirse con las leyes homónimas de Faraday sobre la electrólisis o leyes de Faraday de la electrólisis.

Experimento de Faraday que muestra la inducción entre dos bobinas: La batería (derecha) aporta la corriente eléctrica que fluye a través de una pequeña bobina (A), creando un campo magnético. Cuando las espiras son estacionarias, no aparece ninguna corriente inducida. Pero cuando la pequeña bobina se mueve dentro o fuera de la bobina grande (B), el flujo magnético a través de la bobina mayor cambia, induciéndose una corriente que es detectada por el galvanómetro (G).^[1]

La ley de inducción electromagnética de Faraday (o simplemente ley de Faraday, también conocida como ley de Faraday-Lenz) establece que la tensión inducida en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde.^[2]

Historia

Esta ley fue formulada a partir de los experimentos que Michael Faraday realizó en 1831, y tiene importantes aplicaciones en la generación de electricidad.

Diagrama del aparato de anillo de hierro de Faraday. El flujo magnético cambiante de la bobina izquierda induce una corriente en la bobina derecha.^[3]

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \overrightarrow{B}}$	Campo magnético
${\displaystyle \overrightarrow{E}}$	Campo eléctrico
${\displaystyle \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }}$	Elemento infinitesimal de longitud del circuito representado por el contorno C
${\displaystyle S}$	Superficie arbitraria, cuyo borde es C

Las direcciones del contorno C y de ${\displaystyle \mathrm{d}\overrightarrow{S}}$ están dadas por la regla de la mano derecha.

Descripción

Ley de Faraday

Animación: Por el solenoide de la izquierda circula una corriente eléctrica alterna que produce un campo magnético cambiante. Este campo provoca, por inducción electromagnética, una corriente eléctrica en el circuito de la derecha que se mide con el amperímetro.

En un circuito cerrado muy delgado en el cual varía el flujo magnético se induce una fuerza electromotriz (FEM) proporcional a la variación temporal del flujo.

${\displaystyle \mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_B}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_S\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}}$

El sentido de la FEM inducida está dada por la Ley de Lenz.

En el caso de un inductor con N espiras, la fórmula anterior se transforma en:

${\displaystyle V_{\epsilon }=-N\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_B}{\mathrm{d}t}}$

donde:

• ${\displaystyle V_{\epsilon }}$ es la tensión inducida o fuerza electromotriz inducida,
• ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_B}{\mathrm{d}t}}$ es la tasa de variación temporal del flujo magnético ${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_B}$ en una espira.

La definición de integral de superficie se basa en dividir la superficie Σ en pequeños elementos de superficie. Cada elemento está asociado a un vector dA de magnitud igual al área del elemento y con dirección normal al elemento y apuntando "hacia fuera" (con respecto a la orientación de la superficie).

La regla de la mano izquierda sobre la ley de Faraday. El signo de ΔΦ_B, el cambio en el flujo, se encuentra basado en la relación entre el campo magnético B, el área de la espira A, y la normal n a esa área, representada por los dedos de la mano izquierda. Si ΔΦB es positivo, la dirección de la fuerza electromotriz es la misma que la de los dedos curvados (flechas amarillas). Si ΔΦ_B es negativa, la dirección de la fuerza electromotriz es contraria a las flechas.^[4][5]

Ley de Maxwell-Faraday

La ley de Maxwell-Faraday muestra que un flujo magnético que varía en el tiempo está relacionado con un campo eléctrico no conservativo:

${\displaystyle {\oint }_{\mathrm{\partial }\mathrm{\Sigma }}\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=-{\int }_{\mathrm{\Sigma }}\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{B}}{\mathrm{\partial }t}\cdot \mathrm{d}\mathbf{A}}$

Al aplicarse esta ley a una curva fija en el espacio, se puede reescribir de la siguiente manera:

${\displaystyle {\oint }_{\mathrm{\partial }\mathrm{\Sigma }}\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=-\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}{\int }_{\mathrm{\Sigma }}\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{A}}$

Por medio del teorema de Stokes puede obtenerse una forma diferencial de esta ley:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{B}}{\mathrm{\partial }t}}$

Ésta es una de las ecuaciones de Maxwell, las cuales conforman las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo.

Significado físico

La ley de Lenz plantea que las tensiones inducidas serán de un sentido tal que se opongan a la variación del flujo magnético que las produjo. Esta ley es una consecuencia del principio de conservación de la energía.

La polaridad de una tensión inducida es tal, que tiende a producir una corriente, cuyo campo magnético se opone siempre a las variaciones del campo existente producido por la corriente original.

El flujo de un campo magnético uniforme a través de un circuito plano viene dado por un campo magnético generado en una tensión disponible con una circunstancia(?) totalmente proporcional al nivel de corriente y al nivel de amperios disponible en el campo eléctrico.

Cuando una tensión es generada por una batería, o por la fuerza magnética de acuerdo con la ley de Faraday, esta tensión generada, se llama tradicionalmente «fuerza electromotriz» o fem. La fem representa energía por unidad de carga (tensión), generada por un mecanismo y disponible para su uso. Estas tensiones generadas son los cambios de tensión que ocurren en un circuito, como resultado de una disipación de energía, como por ejemplo en una resistencia.

Excepciones

Resulta tentador generalizar la ley de Faraday para afirmar: Si ∂Σ es cualquier bucle cerrado arbitrario en el espacio que sea, entonces la derivada temporal total del flujo magnético a través de Σ es igual a la fem alrededor de ∂Σ. Esta afirmación, sin embargo, no siempre es cierta; la razón parte del hecho obvio de que la fem es indefinida en el espacio vacío cuando no hay conductor presente. Como se ha señalado en la sección anterior, no se garantiza que la ley de Faraday funcione a menos que la velocidad de la curva abstracta ∂Σ coincida con la velocidad real del material que conduce la electricidad.^[6] Los dos ejemplos que se ilustran a continuación muestran que a menudo se obtienen resultados incorrectos cuando el movimiento de ∂Σ se separa del movimiento del material.^[7]

• 
  Generador homopolar de Faraday. El disco gira con velocidad angular ω, barriendo circularmente el radio conductor en el campo magnético estático B (cuya dirección es a lo largo de la normal de la superficie del disco). La fuerza magnética de Lorentz v × B impulsa una corriente a lo largo del radio conductor hasta el borde conductor, y desde allí el circuito se completa a través de la escobilla inferior y el eje que soporta el disco. Este dispositivo genera una fem y una corriente, aunque la forma del "circuito" es constante y, por tanto, el flujo a través del circuito no cambia con el tiempo.
• 
  Un cable (líneas rojas continuas) se conecta a dos placas metálicas (plateadas) que se tocan para formar un circuito. Todo el sistema se encuentra en un campo magnético uniforme, normal a la página. Si el camino abstracto ∂Σ sigue el camino primario del flujo de corriente (marcado en rojo), entonces el flujo magnético a través de este camino cambia dramáticamente a medida que las placas giran, sin embargo la fem es casi cero. Según "Feynman Lectures on Physics" ^[7]: ch17

Se puede analizar ejemplos como estos teniendo cuidado de que la trayectoria ∂Σ se mueve con la misma velocidad que el material.^[6] Alternativamente, siempre se puede calcular correctamente la fem combinando la ley de fuerza de Lorentz con la ecuación de Maxwell-Faraday:^{[7]: ch17 [8]}

${\displaystyle \mathcal{E}={\int }_{\mathrm{\partial }\mathrm{\Sigma }}(\mathbf{E}+{\mathbf{v}}_m\times \mathbf{B})\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=-{\int }_{\mathrm{\Sigma }}\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{B}}{\mathrm{\partial }t}\cdot \mathrm{d}\mathrm{\Sigma }+{\oint }_{\mathrm{\partial }\mathrm{\Sigma }}({\mathbf{v}}_m\times \mathbf{B})\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}$

donde "es muy importante notar que (1) [v_m] es la velocidad del conductor... no la velocidad del elemento de trayectoria dl y (2) en general, la derivada parcial respecto al tiempo no puede moverse fuera de la integral ya que el área es función del tiempo."^[8]

Ley de Faraday y la relatividad

Dos fenómenos

La ley de Faraday es una ecuación que describe dos fenómenos diferentes: la fem de movimiento generada por una fuerza magnética en un conductor que se desplaza (véase la Fuerza de Lorentz), y la fem transformada generada por una fuerza eléctrica a causa de un campo magnético variable (descrito por la ecuación de Maxwell–Faraday).

James Clerk Maxwell llamó la atención sobre este hecho en su trabajo de 1861 titulado On Physical Lines of Force.^[9] En la última mitad de la Parte II de ese artículo, Maxwell da una explicación física separada para cada uno de los dos fenómenos.

Una referencia sobre estos dos aspectos de la inducción electromagnética se encuentra en algunos libros modernos.^[10] Según lo expresa Richard Feynman:

La "regla del flujo" que la fem en un circuito es igual a la tasa de cambio del flujo magnético a través del circuito se aplica tanto si el flujo cambia porque el campo cambia o si lo hace porque el circuito se desplaza (o ambos) ...

Sin embargo, en nuestra explicación de la regla hemos utilizado dos leyes completamente distintas para los dos casos – v × B para el caso en que "se mueve el circuito" y ∇ × E = −∂_tB para el caso en que "cambia el campo".

No conocemos otro caso en la física en que un principio general tan simple y preciso requiere para su comprensión cabal un análisis en función de dos fenómenos diferentes. Richard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics^[11]

Explicación basada en un formalismo de cuatro dimensiones

En el caso general, la explicación de la aparición de la fem de movimiento por la acción de la fuerza magnética sobre las cargas en el alambre en movimiento o en el circuito que cambia su área es insatisfactoria. De hecho, las cargas en el alambre o en el circuito podrían estar completamente ausentes, ¿desaparecería entonces el efecto de inducción electromagnética en este caso? Esta situación se analiza en el artículo, en el que, al escribir las ecuaciones integrales del campo electromagnético en forma covariante cuatridimensional, en la ley de Faraday aparece la derivada temporal total del flujo magnético a través del circuito en lugar de la derivada temporal parcial.^[12] Así pues, la inducción electromagnética aparece o bien cuando el campo magnético cambia con el tiempo o bien cuando cambia el área del circuito. Desde el punto de vista físico, es mejor hablar no de la emf de inducción, sino de la intensidad de campo eléctrico inducido $\mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\mathcal{E}-\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{A}}{\mathrm{\partial }t}$, que se produce en el circuito cuando cambia el flujo magnético. En este caso, la contribución a ${\displaystyle \mathbf{E}}$ del cambio en el campo magnético se realiza a través del término $-\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{A}}{\mathrm{\partial }t}$ , donde ${\displaystyle \mathbf{A}}$ es el potencial vectorial. Si el área del circuito está cambiando en el caso del campo magnético constante, entonces alguna parte del circuito está inevitablemente en movimiento, y el campo eléctrico ${\displaystyle \mathbf{E}}$ surge en esta parte del circuito en el sistema de referencia K' como resultado de la transformación de Lorentz del campo magnético ${\displaystyle \mathbf{B}}$, presente en el sistema de referencia estacionario K, que pasa a través del circuito. La presencia del campo ${\displaystyle \mathbf{E}}$ en K' se considera como resultado del efecto de inducción en el circuito en movimiento, independientemente de si las cargas están presentes en el circuito o no. En el circuito conductor, el campo ${\displaystyle \mathbf{E}}$ provoca el movimiento de las cargas. En el marco de referencia K, parece aparición de emf de la inducción ${\displaystyle \mathcal{E}}$, cuyo gradiente en forma de ${\displaystyle -\mathrm{\nabla }\mathcal{E}}$, tomado a lo largo del circuito, parece generar el campo ${\displaystyle \mathbf{E}}$.

El punto de vista de Einstein

La reflexión sobre esta aparente dicotomía fue uno de los principales caminos que llevaron a Albert Einstein a desarrollar la relatividad especial:

Se sabe que la electrodinámica de Maxwell -tal como se entiende habitualmente en la actualidad-, cuando se aplica a cuerpos en movimiento, conduce a asimetrías que no parecen ser inherentes a los fenómenos. Tomemos, por ejemplo, la acción electrodinámica recíproca de un imán y un conductor.

En este caso, el fenómeno observable sólo depende del movimiento relativo del conductor y del imán, mientras que la visión habitual establece una clara distinción entre los dos casos en los que uno u otro de estos cuerpos está en movimiento. En efecto, si el imán está en movimiento y el conductor en reposo, en las proximidades del imán se crea un campo eléctrico con una energía determinada, que produce una corriente en los lugares donde se encuentran las partes del conductor.

Pero si el imán está inmóvil y el conductor en movimiento, no surge ningún campo eléctrico en las proximidades del imán. En el conductor, sin embargo, encontramos una fuerza electromotriz, a la que en sí misma no corresponde ninguna energía, pero que da lugar -suponiendo igualdad de movimiento relativo en los dos casos discutidos- a corrientes eléctricas de la misma trayectoria e intensidad que las producidas por las fuerzas eléctricas en el primer caso.

Ejemplos de este tipo, junto con los intentos infructuosos de descubrir cualquier movimiento de la Tierra en relación con el "medio ligero", sugieren que los fenómenos de la electrodinámica, así como de la mecánica, no poseen propiedades correspondientes a la idea del reposo absoluto.

La difusión molecular desde un punto de vista microscópico y macroscópico. Inicialmente hay moléculas de soluto en el lado izquierdo de una barrera (línea color púrpura) y no hay ninguna en la derecha. Cuando se elimina la barrera, el soluto se difunde para ocupar completamente el contenedor. Superior: Una única molécula se mueve en forma aleatoria. Centro: Con un mayor número de moléculas, se observa una clara tendencia de parte del soluto a llenar más uniformemente el contenedor. Inferior: Con un enorme número de moléculas de soluto, la aleatoriedad se convierte en indetectable: el soluto parece moverse suave y sistemáticamente desde las áreas de alta concentración a las áreas de baja concentración. Este suave flujo es descrito por las leyes de Fick.

Las leyes de Fick sobre la difusión son leyes cuantitativas, escritas en forma de ecuación diferencial que describen matemáticamente al proceso de difusión (física) de materia o energía en un medio en el que inicialmente no existe equilibrio químico o térmico. Estas leyes pueden ser utilizadas para resolver el coeficiente de difusión, D. Se puede utilizar la primera ley de Fick para derivar la segunda ley, la cual resulta idéntica a la ecuación de difusión.

En situaciones en las que existen gradientes de concentración de una sustancia, o de temperatura, se produce un flujo de partículas o de calor que tiende a homogeneizar la disolución y uniformar la concentración o la temperatura. El flujo homogeneizador es una consecuencia estadística del movimiento aleatorio de las partículas que da lugar al segundo principio de la termodinámica, conocido también como movimiento térmico aleatorio de las partículas. Así los procesos físicos de difusión pueden ser vistos como procesos físicos o termodinámicos irreversibles.

Etimología

Reciben su nombre del médico y fisiólogo alemán Adolf Fick (1829-1901), que las derivó en 1855.

Historia

En el año 1855, el fisiólogo Adolf Fick reporta por primera vez sus ahora muy bien conocidas leyes que gobiernan el transporte de masas por un medio difusivo.^[1][2] El trabajo de Fick fue inspirado por anteriores experimentos de Thomas Graham, los cuales estuvieron muy cerca de proponer las leyes fundamentales por las cuales Fick se hizo famoso. Las leyes de Fick son análogas a las relaciones descubiertas aproximadamente en la misma época por otros eminentes científicos: ley de Darcy (flujo hidráulico), ley de Ohm (transporte de carga), y ley de Fourier (transporte de calor).

Los experimentos de Fick (modelados por Graham) lidian con la medición de concentraciones y flujos de sal, difundiendo entre dos reservorios a través de tubos de agua. Es notable que el trabajo de Fick se ocupa primariamente de la difusión de fluidos, porque en ese tiempo, la difusión en sólidos, en general, no se consideraba posible.^[3] Al día de hoy las leyes de Fick forman el núcleo de nuestro entendimiento de la difusión en sólidos, líquidos y gases (en ausencia de movimientos masivos de fluido en los últimos casos). Cuando el proceso de difusión no sigue las leyes de Fick (lo que suele suceder),^[4][5] se denomina no Fickiano, en estos hay excepciones que "demuestran" la importancia de las reglas generales que delineó Fick en 1855.

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle J}$	Flujo difusivo	mol / (m2 s)
${\displaystyle \mathbf{J}}$	Vector de flujo difusivo
${\displaystyle \varphi }$	Concentración (para mezclas ideales)	mol / m3
	Constantes
${\displaystyle c^{\circ }}$	Concentración	mol / m3
${\displaystyle D}$	Coeficiente de difusión (Difusividad)	m2 / s
${\displaystyle R}$	Constante universal de los gases	J / (mol K)
${\displaystyle T}$	Temperatura absoluta	K
${\displaystyle {\mu }^{\circ }}$	Potencial químico	J / mol
${\displaystyle \rho }$	Densidad del fluido	kg / m3
	Variables
${\displaystyle t}$	Tiempo	s
${\displaystyle x}$	Posición	m
	Dependen de ${\displaystyle (x,t)}$
${\displaystyle i}$	i-ésima especie
${\displaystyle c_i}$	Concentración	mol / m3
${\displaystyle J_i}$	Flujo difusivo	mol / (m2 s)
${\displaystyle M_i}$	Masa molar	kg / mol
${\displaystyle y_i}$	Fracción de masa	kg / kg
${\displaystyle {\mu }_i}$	Potencial químico	J / mol

Primera ley de Fick

La primera ley de Fick relaciona al flujo difusivo con la concentración bajo la asunción de un estado estacionario. Esta ley postula que el flujo va desde una región de alta concentración a las regiones de baja concentración, con una magnitud que es proporcional al gradiente de concentración (derivada espacial), o en términos más simples el concepto de que el soluto se moverá desde una región de alta concentración a una de baja concentración atravesando un gradiente de concentración. En una única dimensión (espacial), la ley toma la forma:

${\displaystyle J=-D\frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }x}}$

(${\displaystyle D}$) es proporcional a la velocidad de difusión al cuadrado de las partículas que están difundiendo, la cual depende de la temperatura, viscosidad del fluido y del tamaño de las partículas de acuerdo a la relación de Einstein-Stokes. En soluciones acuosas diluidas los coeficientes de difusión de diferentes iones son similares y tienen valores a temperatura ambiente que van desde los (0,6 x 10⁻⁹) a los (2 x 10⁻⁹) m² / s. Para moléculas biológicas los coeficientes de difusión normalmente van entre los (10⁻¹¹) y los (10⁻¹⁰) m² / s.

Para dos o más dimensiones espaciales, podemos hacer uso del operador (${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$), (nabla o gradiente), lo cual generaliza la primera derivada, obteniéndose:

${\displaystyle \mathbf{J}=-D\mathbf{\nabla }\varphi }$

La fuerza impulsora para la difusión unidimensional es la cantidad

${\displaystyle -\frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }x}}$

que para mezclas ideales es el gradiente de concentración. En sistemas químicos diferentes a soluciones ideales, la fuerza impulsora para la difusión de cada especie es el gradiente de potencial químico de estas especies. En estos casos la primera ley de Fick (para una dimensión) puede ser reescrita como:

Deducción

	Potencial químico	Haciendo	1° Ley de Fick
Ecuaciones	${\displaystyle {\mu }_i={\mu }^{\circ }+RT\ln (\frac{c_i}{c^{\circ }})}$	${\displaystyle \mathrm{\partial }z=\mathrm{\partial }\ln (c_i/c^{\circ })}$	${\displaystyle J_i=-D\frac{\mathrm{\partial }{c}_i}{\mathrm{\partial }x}}$
Derivando	${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{\mu }_i}{\mathrm{\partial }x}=(RT)\frac{\mathrm{\partial }\ln (c_i/c^{\circ })}{\mathrm{\partial }x}}$	${\displaystyle \mathrm{\partial }z=\frac{\mathrm{\partial }(c_i/c^{\circ })}{(c_i/c^{\circ })}}$
Simplificando		${\displaystyle \mathrm{\partial }z=\frac{\mathrm{\partial }(c_i)}{c_i}}$
Sustituyendo	${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{\mu }_i}{\mathrm{\partial }x}=\frac{(RT)}{c_i}\frac{\mathrm{\partial }(c_i)}{\mathrm{\partial }x}}$
Despejando	${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{c}_i}{\mathrm{\partial }x}=(\frac{c_i}{RT})\frac{\mathrm{\partial }{\mu }_i}{\mathrm{\partial }x}}$
Sustituyendo	${\displaystyle J_i=-(\frac{D{c}_i}{RT})\frac{\mathrm{\partial }{\mu }_i}{\mathrm{\partial }x}}$

${\displaystyle J_i=-(\frac{D{c}_i}{RT})\frac{\mathrm{\partial }{\mu }_i}{\mathrm{\partial }x}}$

Si la variable primaria es la fracción de masa (${\displaystyle y_i}$), dada, por ejemplo, en (kg / kg), entonces la ecuación toma la forma:

Deducción

	1° Ley de Fick	2	Potencial químico
Ecuaciones	${\displaystyle J_i=-(\frac{D{c}_i}{RT})\frac{\mathrm{\partial }{\mu }_i}{\mathrm{\partial }x}}$	${\displaystyle y_i=\frac{c_i{M}_i}{\rho }}$	${\displaystyle {\mu }_i={\mu }^{\circ }+(RT)\ln (\frac{c_i}{c^{\circ }})}$
Despejando		${\displaystyle c_i=\frac{\rho y_i}{M_i}}$
Derivando			${\displaystyle \mathrm{\partial }{\mu }_i=(RT)\mathrm{\partial }\ln (\frac{c_i}{c^{\circ }})}$
Simplificando			${\displaystyle \mathrm{\partial }{\mu }_i=(RT)\mathrm{\partial }\ln (c_i)}$
Sustituyendo	${\displaystyle J_i=-(\frac{D}{RT})(\frac{\rho y_i}{M_i})\frac{(RT)\mathrm{\partial }\ln (c_i)}{\mathrm{\partial }x}}$
Simplificando	${\displaystyle J=-(\frac{\rho D{y}_i}{M_i})\frac{\mathrm{\partial }\ln (c_i)}{\mathrm{\partial }x}}$

${\displaystyle J_i=-\frac{\rho D}{M_i}\mathrm{\nabla }{y}_i}$

Nótese que la densidad se encuentra fuera del operador gradiente.

Segunda ley de Fick

La segunda ley de Fick predice la forma en que la difusión causa que la concentración cambie con el tiempo. Se trata de una ecuación diferencial parcial que en una dimensión se escribe:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }t}=D\frac{{\mathrm{\partial }}^2\varphi }{\mathrm{\partial }{x}^2}}$

En dos o más dimensiones debemos usar el Laplaciano (${\displaystyle \mathrm{\Delta }={\mathrm{\nabla }}^2}$), que generaliza la segunda derivada, obteniéndose la ecuación

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }t}=D\mathrm{\Delta }\varphi }$

Solución de ejemplo en una dimensión: longitud de difusión

Un caso simple de difusión a tiempo (${\displaystyle t}$) en una dimensión (tomada como el eje (${\displaystyle x}$)) a partir de una frontera localizada en la posición (${\displaystyle x=0}$), donde la concentración se mantiene a un valor (${\displaystyle n_0}$) es

${\displaystyle n(x,t)=n_0\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{c}}$	Función error complementario

Este es el caso que se presenta cuando los gases corrosivos difunden atravesando la capa oxidativa hacia la superficie del metal (esto si asumimos que la concentración de los gases en ese medio es constante y el espacio de difusión —p. ej. la capa de producto de corrosión— es semiinfinita, comenzando en 0 en la superficie y expandiéndose infinitamente en profundidad en el material). Si, a su vez, el espacio de difusión es infinito (permaneciendo a través de la capa con () y a través de aquella con (${\displaystyle n\left(x,0\right)=n_0,x\le 0}$), entonces la solución se corrige sólo con un coeficiente ½ por delante de (${\displaystyle n_0}$) (esto podría parecer obvio, ya que la difusión ahora ocurre en dos direcciones). Este caso es válido cuando algunas soluciones con concentración (${\displaystyle n_0}$) son puestas en contacto con una capa de solvente puro (Bokstein, 2005). La longitud (${\displaystyle 2\sqrt{Dt}}$) se denomina longitud de difusión y provee una medida de cuan lejos la concentración se propaga en la dirección (${\displaystyle x}$) por difusión a un tiempo (${\displaystyle t}$) (Bird, 1976).

Como una aproximación rápida a la función error, se pueden utilizar los dos primeros términos de la serie de Taylor:

${\displaystyle n(x,t)=n_0\left[1-2\left(\frac{x}{2\sqrt{\pi Dt}}\right)\right]}$si ${\displaystyle D}$ es dependiente del tiempo, la longitud de difusión se transforma en ${\displaystyle 2\sqrt{{\int }_0^{t}D(t^{\prime })d{t}^{\prime }}}$. Esta idea es útil para estimar la longitud de difusión sobre un ciclo de calentamiento-enfriamiento, donde (${\displaystyle D}$) varía con la temperatura.

Generalizaciones

1. En los medios no homogéneos, el coeficiente de difusión varía en espacio, (${\displaystyle D=D(x)}$). Esta dependencia no afecta a la primera ley de Fick, pero la segunda ley cambia:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\varphi (x,t)}{\mathrm{\partial }t}=\mathrm{\nabla }\cdot (D(x)\mathrm{\nabla }\varphi (x,t))=D(x)\mathrm{\Delta }\varphi (x,t)+\sum _{i=1}^3\frac{\mathrm{\partial }D(x)}{\mathrm{\partial }{x}_i}\frac{\mathrm{\partial }\varphi (x,t)}{\mathrm{\partial }{x}_i}}$

2. En los medios anisotrópicos, el coeficiente de difusión depende de la dirección. Es un tensor simétrico (${\displaystyle D=D_{ij}}$). La primera ley de Fick cambia a

${\displaystyle J=-D\mathrm{\nabla }\varphi }$, es el producto de un tensor y de un vector: ${\displaystyle J_i=-\sum _{j=1}^3{D}_{ij}\frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }{x}_j}.}$

Para la ecuación de difusión esta fórmula da

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\varphi (x,t)}{\mathrm{\partial }t}=\mathrm{\nabla }\cdot (D\mathrm{\nabla }\varphi (x,t))=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{D}_{ij}\frac{{\mathrm{\partial }}^2\varphi (x,t)}{\mathrm{\partial }{x}_i\mathrm{\partial }{x}_j}}$

La matriz simétrica de los coeficientes de difusión (${\displaystyle D_{ij}}$) debería ser positiva y definida. Es necesario hacer que el operador situado a mano derecha sea elíptico.

3. Para los medios anisotrópicos no homogéneos se pueden combinar estas dos formas de la ecuación de difusión para obtener:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\varphi (x,t)}{\mathrm{\partial }t}=\mathrm{\nabla }\cdot (D(x)\mathrm{\nabla }\varphi (x,t))=\sum _{i,j=1}^3\left(D_{ij}(x)\frac{{\mathrm{\partial }}^2\varphi (x,t)}{\mathrm{\partial }{x}_i\mathrm{\partial }{x}_j}+\frac{\mathrm{\partial }{D}_{ij}(x)}{\mathrm{\partial }{x}_i}\frac{\mathrm{\partial }\varphi (x,t)}{\mathrm{\partial }{x}_j}\right)}$

4. El enfoque basado en la fórmula de la movilidad de Einstein y Teorell lleva a la siguiente generalización de la ecuación de Fick para la difusión multicomponente de componentes perfectos:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{\varphi }_i}{\mathrm{\partial }t}=\sum _j\mathrm{\nabla }\cdot \left(D_{ij}(\frac{{\varphi }_i}{{\varphi }_j})\mathrm{\nabla }{\varphi }_j\right)}$

donde (${\displaystyle {\varphi }_i}$) son las concentraciones de los componentes, y (${\displaystyle D_{ij}}$) es la matriz de coeficientes. Aquí, los índices (${\displaystyle ij}$) se encuentran relacionados con cada uno de los diversos componentes, y no a las coordenadas espaciales.

Las fórmulas de Chapman-Enskog para la difusión en gases, incluyen exactamente los mismos términos. Cabe destacar que estos modelos físicos de difusión son diferentes de los "modelos de juguete" (${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_t{\varphi }_i=\sum _j{D}_{ij}\mathrm{\Delta }{\varphi }_j}$) que son válidos para desviaciones muy pequeñas del equilibrio uniforme. Estos términos fueron incluidos tempranamente en la ecuación de difusión de Maxwell-Stefan.

Para coeficientes de difusión anisotrópicos multicomponentes hace falta un tensor de rango cuatro, por ejemplo (${\displaystyle D_{ij\alpha \beta }}$), donde (${\displaystyle ij}$) se refieren a los componentes y (${\displaystyle \alpha ,\beta =1,2,3}$) corresponden a las coordenadas espaciales.

Aplicaciones

Se han utilizado con frecuencia ecuaciones derivadas de las leyes de Fick para modelar procesos de transporte pasivo en alimentos, neuronas, biopolímeros, productos farmacéuticos, poros, suelos, dinámica de poblaciones, materiales nucleares, procesos de dopado de semiconductores, etc. La teoría de todos los métodos voltametricos se encuentra basada en las soluciones a las ecuaciones de Fick. Una gran cantidad de investigación experimental en ciencia de polímeros y alimentos ha mostrado que se requiere un enfoque más general para describir el transporte de componentes en materiales que experimentan una transición vítrea. En las proximidades de una transición vítrea el comportamiento del flujo se convierte en no Fickeano. Se puede demostrar que las leyes de Fick pueden obtenerse de las ecuaciones de Maxwell-Stefan^[6] para transferencia de masa multicomponente. La ley de Fick es un caso límite de las ecuaciones de Maxwell-Stefan, donde la mezcla se encuentra extremadamente diulida y cada especie química se encuentra actuando únicamente con el total de la mezcla y no con otras especies. Para tomar cuenta de la presencia de múltiples especies en mezclas no diluidas se haceuso de variaciones de las ecuaciones de Maxwell-Stefan. Puede verse también procesos de transporte acoplado no diagonales (relaciones de Onsanger).

Perspectiva biológica

La primera ley conduce a la siguiente fórmula:^[7]

${\displaystyle \text{Flujo}=-P(c_2-c_1)}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle P}$	Permeabilidad, una conductancia de membrana determinada experimentalmente para un determinado gas a una determinada temperatura
${\displaystyle c_2-c_1}$	Diferencia en la concentración del gas a través de una membrana artificial para la dirección de flujo (desde ${\displaystyle c_1}$ a ${\displaystyle c_2}$)

La primera ley de Fick también es importante para las ecuaciones de transferencia de radiación. Sin embargo, en este contexto se vuelve inexacta cuando la constante de difusión es baja y la radiación se encuentra limitada por la velocidad de la luz, antes que por la resistencia del material a través del cual la radiación se está propagando. En esta situación, se puede hacer uso de un limitador de flujo.

La tasa de intercambio de un gas a través de una membrana de fluido puede determinarese utilizando esta ley en conjunción con la ley de Graham.

Flujo de Fick en líquidos

Cuando dos líquidos miscibles se ponen en contacto, y ocurre la difusión, la concentración macroscópica o promedio evoluciona siguiendo la ley de Fick. A escala mesoscópica, esto es, entre la escala macroscópica descrita por la ley de Fick y la escala molecular, donde toma lugar el paseo aleatorio de las moléculas, las fluctuaciones no pueden ser menospreciadas. Tales situaciones pueden ser exitosamente modeladas por medio de las fluctuaciones hidrodinámicas de Landau-Lifshitz. En este marco teórico, la difusión es debida a fluctuaciones cuyas dimensiones van desde la escala molecular a la macroscópica.^[8]

En particular, las ecuaciones de hidrodinámica fluctuante incluyen el término de flujo de Fick, con un coeficiente de difusión, junto con ecuaciones hidrodinámicas y términos estocásticos que describen las fluctuaciones.

Al calcular las fluctuaciones con un enfoque perturbativo, la aproximación de orden cero es la ley de Fick. El primer orden añade las variaciones, y salen de como las fluctuaciones contribuyen a la difusión.

Esto representa en cierta forma una tautología, ya que el fenómeno descrito por una aproximación de bajo orden es el resultado de una aproximación mayor: este problema se resuelve únicamente renormalizando las ecuaciones de hidrodinámica fluctuante.

Aplicaciones en la fabricación de semiconductores

Las tecnologías de fabricación de circuitos integrados, procesos de modelados tales como el CVD, oxidación térmica, dopado, etc. hacen uso de las ecuaciones de difusión obtenidas de las leyes de Fick.

En ciertos casos, las soluciones se obtienen para las condiciones de contorno tales como una fuente de difusión de concentración, una fuente limitada de concentración, o difusión de contorno móvil (donde la profundidad de unión se mantiene en movimiento dentro del sustrato).

Derivación de las leyes de Fick

Primera ley de Fick

Para una dimensión, la siguiente derivación se encuentra basada en un argumento similar desarrollado en Berg 1977 (ver las referencias).

Considérese una colección de partículas desarrollando un paseo aleatorio en una dimensión con escala de longitud (${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$) y escala de tiempo (${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$). Sea (${\displaystyle N(x,t)}$) el número de partículas en la posición (${\displaystyle x}$) a tiempo (${\displaystyle t}$).

A un tiempo dado, la mitad de las partículas podrían moverse a la derecha y la mitad podrían hacerlo hacia la izquierda. Ya que la mitad de las partículas en el punto (${\displaystyle x}$) se mueven hacia la derecha y la mitad de las partículas en el punto (${\displaystyle x+\mathrm{\Delta }x}$) lo hacen hacia la izquierda, el siguiente movimiento hacia la derecha está dado por:

${\displaystyle -\frac{1}{2}\left[N(x+\mathrm{\Delta }x,t)-N(x,t)\right]}$

El flujo (${\displaystyle J}$), es el movimiento de las partículas a través de determinado elemento de área, o área (${\displaystyle a}$), normal al paseo aleatorio durante el intervalo de tiempo (${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$). De esta forma podríamos escribir:

Deducción

	1	2	General
Ecuaciones	${\displaystyle J=-\frac{1}{2}\left[\frac{N(x+\mathrm{\Delta }x,t)}{a\mathrm{\Delta }t}-\frac{N(x,t)}{a\mathrm{\Delta }t}\right]}$	${\displaystyle D=\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{2\mathrm{\Delta }t}}$	${\displaystyle \varphi (x,t)=\frac{N(x,t)}{a\mathrm{\Delta }x}}$
Multiplicando ${\displaystyle (\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}{)}^2}$	${\displaystyle J=-\frac{1}{2}\left[\frac{N(x+\mathrm{\Delta }x,t)}{a\mathrm{\Delta }t}-\frac{N(x,t)}{a\mathrm{\Delta }t}\right](\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}{)}^2}$
Ordenando	${\displaystyle J=-\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{2\mathrm{\Delta }t}\left[\frac{N(x+\mathrm{\Delta }x,t)}{a\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }x}-\frac{N(x,t)}{a\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }x}\right]}$
Sustituyendo	${\displaystyle J=-D\left[\frac{\varphi (x+\mathrm{\Delta }x,t)}{\mathrm{\Delta }x}-\frac{\varphi (x,t)}{\mathrm{\Delta }x}\right]}$
Aplicando límite ${\displaystyle (\mathrm{\Delta }x\to 0)}$	${\displaystyle J=-D\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{\varphi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-\varphi (x,t)}{\mathrm{\Delta }x}\right]}$
Definición de derivada	${\displaystyle J=-D\frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }x}}$

${\displaystyle J=-D\frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }x}}$

Segunda ley de Fick

La segunda ley de Fick puede ser derivada de la primera ley de Fick y de la ley de conservación de masa (véase Ecuación de continuidad) en ausencia de cualquier reacción química:

Deducción

	Conservación	1° Fick
Ecuaciones	${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }t}+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}J=0}$	${\displaystyle J=-D\frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }x}}$
Sustituyendo	${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }t}+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(-D\frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }x})=0}$
Despejando	${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }t}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(D\frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }x})}$
Ordenando	${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }t}=D\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\varphi }$
Simplificando	${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }t}=D\frac{{\mathrm{\partial }}^2\varphi }{\mathrm{\partial }{x}^2}}$

y, entonces, recibir la forma de las ecuaciones de Fick como se desarrolló anteriormente.

Para el caso de difusión en dos o más dimensiones, la segunda ley de Fick se transforma en

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }t}=D{\mathrm{\nabla }}^2\varphi }$

la cual es análoga a la ecuación del calor.

Si el coeficiente de difusión no es constante, sino que depende de las coordenadas y/o de la concentración, la segunda ley de Fick conduce a

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }t}=\mathrm{\nabla }\cdot (D\mathrm{\nabla }\varphi )}$

Un importante ejemplo es el caso donde ${\displaystyle \varphi }$ es el estado estacionario, p. ej. la concentración no cambia en el tiempo, de forma tal que el miembro izquierdo de la ecuación de más arriba es idéntica a cero. En una dimensión con ${\displaystyle D}$ constante, la solución para la concentración puede ser una variación lineal de concentración sobre ${\displaystyle x}$. En dos o más dimensiones obtenemos

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0}$

La cual es la ecuación de Laplace, de la cual sus soluciones suelen ser referidas por los matemáticos como funciones armónicas.