GEOMETRÍA DINÁMICA

Cuatro puntos

Un cuatro puntos es un conjunto de cuatro puntos en la posición general {A, B, C, D}. Esto define tres puntos más {E, F, G} como intersecciones de los lados . Por lado nos referimos a una línea que une dos puntos (de los cuatro). {E, F, G} se llaman puntos diagonales y las tres líneas {e, f, g} definidas por pares de ellos son las diagonales de los cuatro puntos. 
Aquí estudiamos el sistema de perspectividades naturalmente vinculado a un punto cuatro. 
[1] La expectativa (g, G) es la homografía involutiva S que fija los puntos de la línea g y el punto G. Además, cada punto I se asigna a J que se encuentra en la línea GI y es tal que {I, J} son armónicos conjugado a los puntos G, G _I , que más tarde es el punto de intersección de GI con g.
[2] La expectativa (f, F) es la homografía involutiva T que fija los puntos de la línea f y el punto F. Además, cada punto I se asigna a K que está en la línea FI y tal que {I, K} son armónicos conjugar a los puntos F, F _I , que más tarde es el punto de intersección de FI con f. 
[3] Los dos mapas conmutan: S * T = T * S = R y definen una tercera perspectiva, la (e, E) -perpectividad, fijando los puntos de la línea e, etc. 
[4] R ² = 1 es involutivo , T = R * S = S * R y uno podría seleccionar dos arbitrarios del conjunto {R, S, T} y probar las propiedades análogas para el tercero.

La conmutatividad S * T = T * S genera para cada punto I del plano otros cuatro puntos y todos estos tienen los mismos puntos diagonales {E, F, G} y las mismas diagonales {e, f, g}. Considerando el grupo generado por S y T, el triángulo EFG es su dominio fundamental que contiene exactamente un punto de cada órbita de la acción grupal en el plano. 
Considerando la figura como parte del plano proyectivo, el triángulo EFG define otros cuatro triángulos, cada uno con un lado común con el "central" y un vértice común, los cuatro triángulos que cubren completamente el plano. Los mapas {S, T, R} intercambian estos triángulos con el "central". 
Cada uno de estos triángulos es también auto-polar.Con respecto a cada cónica que pasa por los cuatro puntos de una órbita del grupo. En particular, cuando el triángulo es obtuso hay un círculo único que es invariante con respecto al grupo. Las involuciones restringidas en este círculo se convierten en inversiones (ver Autopolar.html para una discusión de este círculo). 
Consulte el archivo FourPointsCyclic.html para ver una ilustración del caso de un triángulo obtuso EFG y el correspondiente único, invariante bajo el círculo del grupo. 
En general, el producto de dos involuciones es una homografía no involutiva. La conmutatividad es equivalente a la condición de que el punto Fregier de cada uno esté contenido en el eje de homografía del otro. Este es exactamente el caso con las tres involuciones conectadas con un cuatro puntos.

Cuatro puntos inscritos en un círculo.

Un cuatro puntos es un conjunto de cuatro puntos en la posición general {A, B, C, D}. Esto define tres puntos más {E, F, G} como intersecciones de los lados . Por lado nos referimos a una línea que une dos puntos (de los cuatro). {E, F, G} se llaman puntos diagonales y las tres líneas {e, f, g} definidas por pares de ellos son las diagonales de los cuatro puntos. 
Algunas propiedades generales de los cuatro puntos se analizan en FourPoints.html . Aquí hay una ilustración del caso en el que los cuatro puntos están en un círculo (c), el triángulo EFG es obtuso y autopolar con respecto a (c).

Las tres perspectivas, conectadas con los lados del triángulo EFG se indican aquí como {S _E , S _F , S _G }. Restringidos en el círculo (c), coinciden con las inversiones (se sigue trivialmente de InversionAsInvolution.html ). 
El triángulo XYZ se genera a partir de X aplicando las involuciones como se muestra. En particular, para X en el círculo, todo el triángulo está inscrito en el círculo. El centro del círculo es el ortocentro de EFG y cuando YZ pasa a través del centro de (c) YZ se vuelve ortogonal a GE (ya que la línea GE es la polar de F), por lo tanto, coincide con la altitud de EFG de F. Para esta constelación, también XY se vuelve ortogonal a FG y XZ paralela a FG y dividido en dos por E. Se puede obtener una prueba rápida de afirmaciones posteriores al llevar las tangentes a (c) en los vértices de XYZ y ver que deben cruzarse por pares en las líneas e, f, g. Algunos otros comentarios sobre el triángulo EFG se encuentran en el archivo Autopolar.html .

Cónica que pasa por cuatro puntos y tangente a una recta.

El teorema de involución se puede usar para encontrar la cónica que pasa a través de cuatro puntos y es tangente a una línea dada. Suponiendo que los cuatro puntos {A, B, C, D} en la posición general, y la línea (e) que no pasa por los cuatro puntos o los puntos de intersección de los lados opuestos {E, F, G}, el teorema de Desargues afirma que dos puntos de intersección de cada miembro cónico del haz cónico a través de {A, B, C, D} con (e) están en involución. La involución (f) depende solo de los cuatro puntos y la línea.

Las cónicas que estamos buscando pasan a través de los puntos fijos de la involución f, por lo tanto, hay dos o ninguna solución al problema anterior. En el caso de que f tenga dos puntos fijos, se pueden determinar dibujando un círculo d ortogonal a dos círculos con diámetros definidos por dos pares de puntos conjugados, como (X ₁ , X ₂ ), (Y ₁ , Y ₂ ). Los puntos de intersección (si los hay) de (d) con la línea (e) son los puntos fijos de la involución f. Esto se explica en InvolutionBasic2.html .