GEOMETRÍA DINÁMICA

Locus focal

El lugar de los puntos focales de dos elipses concéntricas tangentes es una hipérbola rectangular que pasa por los 
puntos de tangencia comunes de las dos elipses y tiene una asíntota idéntica a la línea media de las dos tangentes paralelas. 
La prueba se deriva de un argumento estándar que determina los focos a partir de la ecuación general de la cónica, como se 
discute en [Loney, pág. 366]. De acuerdo con esto, si la ecuación de la cónica se da en la forma 
(1) F (x, y) = ax ² + 2hxy + por ² + 2gx + 2fy + c = 0, 
las coordenadas (x, y) de la Los puntos focales de la cónica se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones: 
(2) [(ax + hy + g) ²- (hx + by + f) ² ] / [ab] = F (x, y), 
(3) [(ax + hy + g) (hx + by + f)] / h = F (x, y) . 
Para aplicar estas ecuaciones en modo simplificado se supone que la ecuación de una de las elipses se da en la coordenada 
sistema de centrado en el centro de la cónica, mientras que la línea de los puntos de tangencia coincide con el eje y: x = 0. 
Así, la el miembro cónico general de la familia en cuestión se da mediante una ecuación de la forma: 
(4) (a + k) x ² + 2hxy + por ² + c = 0, 
donde el parámetro k determina el miembro cónico de la familia. Por conveniencia puse a + k = a '.
Aplicando (2) + (3) en este caso (en el que los coeficientes de los términos lineales desaparecen) obtenemos: 
(5) [(a'x + hy) ² - (hx + by) ² ] / [a'-b] = [(a'x + hy) (hx + by)] / h = F (x, y). 
Estos, después de una cierta simplificación reducen a

(6) x ² - y ² = [(a'-b) c] / [a'b-h ² ], xy = [hc] / [a'b-h ² ]. 
De esto deducimos 
                                     z = [x ² -y ² ] / [xy] = [a'-b] / h = (a-b + k) / h => k = hz + (ba) => 
                                            x ² - y ² = z (xy) = hz / (b (hz + b) -h ² ) => 
                                            bh (x ² -y ² ) + (b ² -h ² ) xy - h = 0, 
que obviamente es rectangular hipérbola (ver sección 11 deConic_Equation.html ). Para verificar la otra afirmación sobre 
la dirección asintótica, basta con ver (ibid sección-3) que la dirección de la tangente (-b, h) de su punto de intersección 
C con el eje y satisface la ecuación

Observación Esta propiedad conduce a la solución de un problema propuesto por Nikolaos Dergiades (Hyacinthos Message18698) que 
solicita la construcción de una elipse c 'tangente y concéntrica a una dada cy con los puntos focales dados {A, B}. 
Como señala Dergiades (ibid Message 18708), la hipérbola se puede construir fácilmente como un paso cónico a través de cinco puntos 
{A, B, C, D, H}, siendo el último punto el ortocentro del triángulo BCD. La propiedad del ortocentro H de pertenecer a una 
hipérbola rectangular que pasa a través de los vértices de un triángulo se demuestra en OrthoRectangular.html .

Puntos focales en una elipse

Considere una elipse c con centro M y ejes MR, MI. Luego, desde un punto L en la elipse, dibuje un paralelo a un eje, e = (LT), por ejemplo, paralelo a MR. Dibuje la línea RW, tangente a c y paralela al eje MI. Defina también la elipse (d) con focos en L, T y pasando por V. A medida que L se mueve en la elipse (c) (CTRL + 2, pick-move L), la elipse (d) cambia su forma desde el círculo ( QW) al segmento (degenerado) (RS). Además, los puntos X de la elipse (d) tienen la siguiente propiedad: Dibuje la línea XZ, paralela a RV y defina los puntos de intersección de esta línea con la línea MR (Y) y con el círculo (QW) (Z). Entonces, la relación de longitud XY / XZ es constante en (d) e independiente de la posición de X en (d). 
Esta propiedad está relacionada con la figura Ellipse_Construction2.html .

Cuatro circulos iguales

Dado un círculo c (D, r) sea {c ₁ (A, r), c ₂ (B, r), c ₃ (C, r)} sean otros tres círculos con un radio igual al radio de (c) y se centra en (c). Luego, los segundos puntos de intersección de estos círculos {F, G, H} también están en un círculo de radio r.

El ángulo (HCF) es igual al ángulo (ADB). Para ello se comparan los ángulos con el ángulo (ACB). Esto implica que HF es paralelo e igual a AB. De manera análoga, muestre la igualdad de los otros lados de los triángulos ABC y FHG de los que sigue la afirmación.