GEOMETRÍA DINÁMICA

 Punto de Fermat del triángulo.

En los lados de un triángulo ABC con todos los ángulos menos que 2π / 3 construyen triángulos equiláteros BCK, CAL, ABM. 
Entonces 
a) Las líneas AK, BL, CM son todas iguales. 
b) Todas estas líneas pasan por un punto F. 
c) Todos los ángulos formados en F por estas líneas son de 60 grados. 
d) Los centros de los triángulos equiláteros forman nuevamente un triángulo equilátero UVW (vea Napoleón.html ). 
e) El punto F minimiza la suma de las distancias f (P) = PA + PB + PC.

Para (a): comparar triángulos AKC, LBC y mostrarlos iguales. El segundo resulta del primero girándolo en un 
ángulo de π / 3 sobre C. Esto implica también que el ángulo de AK a BL es π / 3. De la igualdad de los ángulos, AFL y 
ACL siguen a que AFCL es cíclico, lo que implica que KFC también es π / 3, por lo que F se distingue en BL por su 
propiedad para ver BC bajo el ángulo BFC que es 2π / 3. Esto implica fácilmente todas las propiedades hasta (d). 
Para (e): tome un punto P, únase con A, B y C. Gire el triángulo APC sobre A en un ángulo de 60 grados (figura 
abajo). Desea minimizar BP + AP + CP = BP + PQ + QL. Pero esto siempre es más corto que el segmento BL.

 2. El caso A> 2π / 3

Los resultados son verdaderos con algunos cambios menores también en el caso de que un ángulo del triángulo sea> 120 grados. Las líneas 
AK, BL, CM son nuevamente iguales, pero esta vez se intersecan en un punto F en la extensión de AK, para A> 2π / 3. 
También el punto F en este caso es ver BC bajo un ángulo de medida 2π / 3, mientras que los otros lados se ven 
bajo un ángulo de & p; i / 3.

 3. El otro punto Fermat.

La construcción de los equivalentes puede llevarse a cabo hacia el interior, creando una segunda configuración análoga a 
la que se suele dibujar. De nuevo, los segmentos {AK, BL, CM} tienen longitudes iguales y pasan por el mismo punto, 
que es ver los lados bajo ángulos π / 3 o 2π / 3. El punto F 'así definido es el segundo
punto Fermat del triángulo.

 4. Coordenadas trilineales.

Las coordenadas trilineales (x: y: z) del punto F de Fermat se calculan fácilmente utilizando las propiedades de la figura 
demostrada anteriormente (consulte Trilinears.html ).

Última cancelación de factores debidos a la ACL equilátera. Por lo tanto, los trilineales de los puntos F y, trabajando de manera análoga 
para F ', están dados por las razones:

Por lo tanto, se ve que {F, F '} son conjugados isogonales (ver Isogonal_Conjugation.html ) a los puntos isodinámicos {J, J'} del 
triángulo (ver Isodynamic.html y para el cálculo de trilineales de {J, J '} vea ApolloniusCircles.html ).

Doble de fermat

En los lados del triángulo ABC dibuja triángulos equiláteros BCE, ABD, ACF. Repita el mismo procedimiento con el triángulo DEF. Así, creando triángulos equiláteros DFJ, EFL, DEK. Las líneas Fermat correspondientes: DL = EJ = FK están en las mismas líneas que las líneas Fermat del triángulo original AE = BF = CD y doble en longitud.