GEOMETRÍA DINÁMICA

Cónicas de euler

Hay dos cónicas relacionadas con la línea de Euler del triángulo ABC a través de la construcción trilineal polar / polo. Las cónicas son duales entre sí (consulte TriangleConics.html ). La circunferencia es una hipérbola y el doble incónico es una parábola. Su perspectiva es la D tripolar de la línea de Euler con respecto a ABC. A * B * C * es el triángulo con vértices que los asociados armónicos de D con respecto a ABC. Los polares trilineales (tripolares) de los puntos P en la línea de Euler con respecto a A * B * C * envuelven la hipérbola y los polares trilineales de estos puntos con respecto a ABC sobre la parábola, por lo tanto el nombre que uso.
La parábola tiene su foco E en X (112), que está en el circuncírculo. Su tangente en el vértice es la línea de E de Wallace-Simson y pasa desde el punto simmediano K del triángulo. Por lo tanto, esta cónica es fácil de construir al ubicar E a través de su línea Steiner correspondiente, que es la línea a través de {H, K} (ver SteinerReflected.html ). 
La imagen muestra también los ejes y puntos focales F ₁ , F ₂ de la hipérbola.

			La relación de Euler. El circumradius R, el inradius r y la distancia OI de los centros del circumcircle y el incircle del triángulo ABC satisfacen la relación  Sea D el otro punto de intersección del circuncírculo con la bisectriz del ángulo C, E el punto diametral de D. Las distancias DA = DI = DB (consulte Bisector.html ). Se desprende de los triángulos similares FCI y BED,  CI / IF = ED / DB => CI * ID = CI * DB = ED * IF = r * (2R).  El producto CI * ID es la potencia de I con respecto al circuncírculo, por lo tanto es igual a R 2 -OI 2 . La relación resulta al igualar esto con la expresión anterior.  Corolario Para cada triángulo, los radios de entrada y circunferencia satisfacen la desigualdad:  R> 2r. La igualdad R = 2r es válida solo para el triángulo equilátero.  2. Suficiencia de la relación de Euler. Si los radios {R, r} de dos círculos y la distancia OI de sus centros satisfacen la relación de Euler, entonces, para cada punto C en el circuncírculo, dibuje las tangentes {CA, CB}, donde {A, B} son la segunda intersección Puntos de estas líneas con el circuncírculo. Luego ABC tiene los dos círculos como circunferencia y círculo respectivamente.  De hecho, si la relación es válida, entonces el triángulo CIF y el triángulo rectángulo con hipotenusa 2R y un lado DI son similares. Pero el último triángulo rectángulo es igual a EBD. Por lo tanto, DB = DI y esto implica que el incentivo del triángulo ABC coincide con I. De ello se deduce que el radio de ABC también es igual a r como se afirma.  ObservaciónLa propiedad demostrada implica que si hay un triángulo inscrito en un círculo (a) y circunscrito en un círculo (b), entonces hay una infinidad de triángulos también inscritos en el mismo circuncírculo (a) y circunscritos sobre el mismo incircle (b) . Este es un caso especial del porismo más general de Poncelet sobre los polígonos inscritos y circunscritos simultáneamente en dos cónicas (consulte Poncelet.html ).  3. Triángulos porísticos. Otro aspecto de las propiedades anteriores es el del estudio de invariantes de triángulos porísticos , es decir, invariantes de la familia de un solo parámetro de todos los triángulos inscritos y circunscritos simultáneamente en dos círculos dados. Los siguientes problemas son de este contexto.  Problema-1 Los excéntricos de todos los triángulos porísticos están en un círculo (c). {A '', B '', C ''} de los triángulos porísticos están en un círculo Por ejemplo, el punto de Nagel X 8 de estos triángulos se mueve en un círculo concéntrico al circuncírculo.