GEOMETRÍA DINÁMICA

Sobre el teorema de Euler-Circle.

El círculo de Euler es el círculo que pasa por los puntos intermedios A '', B '', C '' de los lados del triángulo ABC. Pasa también a través de: (a) los pies A *, B *, C * de las altitudes en los lados opuestos, (b) los medios A '' ', B' '', C '' 'de los segmentos que unen el ortocentro H a los vértices del triángulo.

Considere los radios desde el centro O, de su circunferencia, hasta los vértices del triángulo ABC. Sea A'B'C 'el triángulo de los centros de los círculos con diámetros OA, OB, OC. El triángulo A'B'C 'tiene lados paralelos y la mitad de la longitud de los lados correspondientes de ABC. Las altitudes de A'B'C 'se cortan entre sí en el centro M del círculo de Euler, pasando a través de A' ', B' ', C' '. Esto debido a que, por ejemplo, el diacenter MB 'de los dos círculos es ortogonal a su eje radical B''A' ', que es paralelo al lado BA. Por lo tanto, los puntos O, A 'y A del radio OA, se proyectan a los puntos A' ', N, A * en BC, A' ', A * siendo simétricos con respecto a N. La simétrica H de O con respecto a M debe , entonces, acuéstate en la altitud AA *. Como lo mismo es cierto para todas las altitudes, Este es el ortocentro de ABC. Esto implica que la MA paralela "" de M al radio OA define A '' ', coincidiendo con la intersección de la Altitud con el círculo de Euler y siendo también la mitad de AH.
- El triángulo complementario A''B''C '' y A'B'C 'tienen el mismo círculo de Euler, cuyo centro Q es el centro de MO. Estos dos triángulos son simétricos con respecto a Q. Sus vértices forman un hexágono simétrico A'B''B'A''C'C '', con el centro en Q. Su área es la mitad del área del triángulo. 
- OA '' es igual y paralelo a A'M, debido a la simetría de los triángulos A'B'C 'y A''B''C' 'con respecto a Q. A'M es igual y paralelo a HA' '', por lo tanto, OA '' es la mitad de la longitud de HA. Por lo tanto, la mediana AA '' divide HO en una proporción de 2/1, siendo el punto de división el centroide del triángulo ABC. 
- El ortocentro H de ABC es el punto [DeLongshamps] (centro del triángulo X (20)) del triángulo A ''

Círculos en los lados del paralelogramo.

Considere un paralelogramo ABCD y dibuje dos pares de círculos, cada par es simétrico con respecto al centro O del paralelogramo (intersección de diagonales) y tiene cuerdas en dos lados opuestos. Los otros puntos de intersección de estos círculos construyen un paralelogramo A'B'C'D ', que también es simétrico con respecto a O. 
[1] Los ángulos de A'B'C'D' son los mismos con los de ABCD. 
[2] Los circuncírculos de (A'BC) y (ABC ') pasan también a través de D', que es la intersección de los circuncírculos de (A'AD) y (C'CD).

La prueba es un argumento fácil de perseguir el ángulo indicado en la figura anterior. Primero muestra que los ángulos en C 'y D son iguales. Luego use la parte 1 y la simetría de la figura para mostrar que D'CBA es cíclico.

 2. Cuatro círculos de Euler que se cruzan.

Considere los cuatro triángulos {ABC, DAB, DBC, DCA} definidos por un triángulo básico ABC y un punto adicional D. 
Los círculos de Euler de estos cuatro triángulos se intersecan en un punto P.

La prueba sigue inmediatamente de la sección 1 al considerar los puntos intermedios {E, F, G, H, I, J} de los lados de los cuatro triángulos. La configuración resultante es la del párrafo anterior y sus resultados se aplican para mostrar la reclamación. 

Observación Si los cuatro puntos son ortocéntricos, es decir, {vértices de algún triángulo + su ortocentro}, entonces muchas hipérboles infinitas pasan a través de estos puntos. Si los cuatro puntos no son ortocéntricos, entonces solo hay una hipérbola rectangular que pasa por estos puntos y P es su centro. Este tema se discute en OrthoRectangular.html y MiquelDual.html .

Una propiedad del círculo de Euler.

Considere un punto P en el círculo de Euler c (E, ED) del triángulo A ₁ A ₂ A ₃ . Defina la simetría I de A ₁ wr a P y muestre ese ángulo (CA ₃ D) = (1/4) ángulo (PED), siendo D el pie de la altitud y A ₃ C la bisectriz del ángulo A ₁ A ₃ YO.

(1) Extienda A ₃ I y ubique su punto de intersección B con el circuncírculo. Primero, muestre que la DP es paralela a A ₁ B. 
(2) Use la homothety wr al ortocentro H, mapeando el círculo de Euler al circuncírculo y defina el ángulo (MON) homotético a anlge (PED). Comparar ángulo (MON) y ángulo (CA ₃ N). 

Esta propiedad se usa en la discusión (y animación) de todos los hipérbolas rectangulares circunscritos en el triángulo A ₁ A ₂ A ₃ . Tal hipérbola está determinada únicamente por su centro, que es un punto (P) del círculo de Euler. Vea el archivo RectHypeCircumscribed.html para los detalles.