GEOMETRÍA DINÁMICA

 Igual bisectrales propiedad de hiperbolas rectangulares.

Considere un punto C arbitrario en una hipérbola rectangular (c) y únalo a los vértices A, B de (c) para formar el triángulo ABC. Entonces las dos bisectrices del ángulo C (interno y externo) del triángulo ABC son paralelas a las líneas asintóticas de la hipérbola. En particular son iguales. Por lo tanto, tenemos otra caracterización de la hipérbola rectangular: 

dado un segmento fijo AB, el lugar geométrico de los puntos C, de manera que los triángulos ABC tienen bisectrices internas y externas iguales en C, es la hipérbola rectangular con vértices en los puntos A y B.

De hecho, de la discusión en RectangularAsProp.html se desprende que el ángulo de bisectas de la DG asintótica (FED), E, ​​F, son las medias de los lados de ABC. Pero siendo EDF el triángulo medial de ABC, la bisectriz del ángulo D es paralela a la bisectriz del ángulo C de ABC. 

El mismo argumento se puede aplicar al triángulo resultante de ABC cambiando la posición de B en la hipérbola y haciendo que A sea simétrico a B wr a D. Esta versión más general se ilustra en el archivo BisectorRatio.html .

Círculos iguales en vértices.

Considere un triángulo DEF y dibuje tres círculos iguales con el radio (r) centrado en sus vértices. Los puntos de intersección de los círculos con los lados de DEF definen tres líneas que forman un triángulo A'B'C 'que es perspectiva a DEF.

Para probarlo, aplique el teorema de Menelao para los puntos de intersección {D ', E', F '} de los lados de DEF y los lados correspondientes de A'B'C'. Por la condición examinada en CeviansAndParallels.html, esto es equivalente a probar que:

Aquí [D, AB] denota la distancia del punto D desde la línea AB. El triángulo DEF es la órtica del triángulo ABC y A'B'C 'es homotético. En vista de las relaciones de los ángulos: ángulo (F) = pi-2 * ángulo (C), el factor típico del producto anterior se convierte en:

R es el circunferencia de ABC. Los otros factores se obtienen permutando cíclicamente las letras A, B, C. Al multiplicar los tres factores, obtenemos una fracción con un numerador igual al denominador, dando así 1. Así, los triángulos DEF, A'B'C 'son línea-perspectiva y Por el teorema de Desargues son también puntos de perspectiva. 
Esta proposición implica que los seis puntos de intersección de los triángulos DEF y A'B'C 'están en una cónica. Esto se discute en EqualCirclesConic.html .

Cónicos de círculos iguales.

Considere un triángulo ABC y dibuje tres círculos iguales con el radio (r) centrado en sus vértices. Los puntos de intersección de los círculos con los lados de ABC definen seis puntos G, H, I, J, K, L que se encuentran en una cónica. 
Entre las cónicas definidas de esta manera hay una prominente para la cual los puntos anteriores coinciden con las proyecciones de los excenters D, E, F del triángulo ABC. En este caso, el radio r = s = (a + b + c) / 2 es el semiperímetro del triángulo.

La prueba es una consecuencia de la discusión realizada en EqualCirclesAtVertices.html . Con respecto a la cónica especial mencionada anteriormente, consulte la referencia a continuación en Mittenpunkt .