GEOMETRÍA DINÁMICA

Productos de homografías involutivas sobre cónicas.

Tales homografías se estudian en InvolutionsProduct.html . Aquí revisamos la determinación práctica del punto de imagen H (X) = Z de tal producto H = G * F. G, F están determinados por dos puntos / líneas y sus polares / polos, por lo tanto, la notación G (A, a), F (B, b) en la que el par denota el polo y su polar con respecto a la cónica dada (c ). H (y H ^-1 = F * G también) tienen la línea c = AB como eje de homografía y el punto de intersección C de las líneas a y b como polo de (c).

Siguiendo el patrón general para homografías de cónicas, utilizamos el eje de homografía (c) de H y el conocimiento de un par en particular (X ₁ , Z ₁ = H (X ₁ )). Para encontrar la imagen H (X ₂ ) de un punto general X ₂ , encuentre el punto de intersección D de la línea [X ₂ Z ₁ ] y (c) y dibuje la línea [DX ₁ ]. Su segundo punto de intersección con la cónica (que no sea X ₁ ) es Z ₂ . 
Aunque esto funciona para las homografías generales aquí, el método directo de encontrar el intermedio Y ₂ = F (X ₂ ) y luego Z ₂ = G (Y ₂) implica el mismo número de cálculos pero más simple en el sentido de que no involucra intersecciones con las intersecciones cónicas sino solo líneas (de [AX ₂ ] con ay [Y ₂ B] con b). Usando estas intersecciones, Y ₂ y Z ₂ se encuentran mediante los correspondientes cálculos de puntos conjugados armónicos. 

Fregier polar

La involución de Fregier se produce al girar un ángulo recto alrededor de un punto P que se encuentra en una cónica. Los puntos X, Y, intersectados en la cónica por los lados del ángulo recto están relacionados por una relación homográfica involutiva y, por consiguiente, las líneas XY pasan a través de un punto fijo F _P , el punto Fregier de la involución localizado en la normal a la cónica en P (ver Fregier.html ). 
Aquí estudiamos la línea polar (e) de F _P , que es el lugar de los puntos P 'de la intersección de tangentes en X e Y. 
[1] Sea Q el punto de intersección de XY con la tangente (t) en P y S sea el punto de intersección de PP 'con XY. Los puntos Q, S son conjugados armónicos con X, Y. 
[2] ángulo (QPX) = ángulo (XPP ').
[3] La polar (e) de F _P es paralela a la tangente t ', simétrica de t con respecto a un eje de la cónica y pasa por el punto R, definido por la intersección de la normal en P y la tangente en X ₀ , tal que el ángulo (QPX ₀ ) = 45 grados.

[1] De hecho, Q está contenido en el XY polar de P ', por lo tanto (por la dualidad de polaridad) P' también está contenido en el polar de Q. Dado que P también está contenido en el polar de Q, más adelante coincide con la línea PÁGINAS'. 
[2] Como Q, S son conjugados armónicos con X, Y y el ángulo (XPY) es correcto, esto se desprende de las propiedades de los conjuntos de líneas armónicas (vea Harmonic_Bundle.html ). 
[3] Cuando P 'está en el infinito, las tangentes en X, Y son paralelas y PP' es paralela a ellas también. Luego, por [2], ángulo (P''PX) = ángulo (XPP ') y debido a la paralelismo de las líneas PP' y P''X, más adelante es igual al ángulo (P''XP). Esto muestra que t 'es paralelo a (e). La otra declaración sigue directamente de [2].
Las observaciones aquí se aplican a la homografía de "rotación" sobre P por un omega de ángulo fijo manejado en el archivo RotationOnConics.html .

 Hexágonos simétricos

Este es un tema en el que participan tres teoremas básicos de geometría proyectiva. Los teoremas de Pascal, Brianchon y Desargues (trío francés). Considere una cónica (c) y cuatro puntos A, B, C, D en ella. Luego defina E intersectando (c) con el paralelo a AB desde D y finalmente señale F intersecando (c) con el paralelo a BC desde E. Por el teorema de Pascal, FA será paralelo a CD, ya que el hexágono así creado ABCDEF está inscrito en (c) y dos de los tres pares de lados opuestos se intersecan en la línea en el infinito. 
Dibuja ahora la cónica (c ') tangente a los primeros cinco lados del hexágono: {AB, BC, CD, DE, EF}. La cónica (c ') también es tangente al sexto lado FA exactamente cuando las líneas que conectan los vértices opuestos se encuentran en un punto. Esto es de nuevo una consecuencia del teorema de Brianchon.
Ahora, si los lados opuestos son paralelos y las líneas que unen los vértices opuestos pasan por un punto O, entonces O es el centro de simetría del hexágono. Para ver esto, aplique el teorema de Desarque en dos triángulos opuestos , como por ejemplo BCD y EFA. Los triángulos son punto-perspectiva (las líneas que unen los vértices correspondientes pasan por el mismo punto = centro de perspectividad), también son líneas-perspectiva (las intersecciones de los lados opuestos correspondientes están en una línea). Pero los dos pares de lados opuestos {BC, EF} y {CD, FA} se intersecan en la línea en el infinito. Por lo tanto, el tercer par {BD, EA} también se cruza allí, es decir, las líneas son paralelas. Por lo tanto, ABDE es un paralelogramo y sus diagonales están biseccionadas en su intersección.

Sin tener en cuenta las cónicas intermedias, nos encontramos con el resultado de que un hexágono con lados paralelos es simétrico exactamente cuando las líneas que unen vértices opuestos pasan a través de un punto, que es entonces el centro de simetría.

El archivo HexagonsSymmetricRepeat.html muestra una figura y algunas preguntas relacionadas con una secuencia infinita de hexágonos, uno inscrito en el otro, iniciado por un hexágono simétrico arbitrario.










http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Fundamental.pdf

Teorema de Gauss Bodenmiller

Los círculos c ₁ , c ₂ , c _{3 que} tienen diámetros las diagonales BF, CE, AD de un cuadrilátero ACDE completo son coaxales (es decir, pertenecen al mismo haz de círculos, es decir, tienen por pares el mismo eje radical e).

De hecho, los tres círculos pasan desde los puntos finales de las altitudes del triángulo ABC. Lo mismo es cierto para las altitudes del triángulo EBD. Por lo tanto (ver Orthocenter2.html ), los ortocentros G, H de estos dos triángulos pertenecen al eje radical de cualquiera de los dos círculos de los tres. Esto prueba el teorema. El argumento utiliza el hecho de que los ortocentros de los cuatro triángulos ABC, EBD, FCD, FAE no pueden ser todos idénticos. También implica que estos cuatro ortocentros están en la línea e, el eje radical común del haz definido por los tres círculos. 
El teorema tiene como consecuencia el teorema de Newton (ver Newton.html ). También se puede formular de otra manera:
Dado un triángulo ABC y una línea DEF que intersectan sus lados. Los tres círculos que tienen diámetros, los vértices del triángulo y los puntos de intersección opuestos BF, AD, CE son coaxiales.