GEOMETRÍA DINÁMICA

 Curva de engranajes

Ecuación paramétrica de la curva de engranajes : (x (t), y (t)) = r (t) * (cos (t), sin (t)), donde 
r (t) = a + tanh (b * sin (n *) tuberculosis.

Geometric series

			Punto de Gergone La propiedad universal del punto G de Gergone de un triángulo ABC.  Este es el punto que es común a todas las uniones AA ', BB', CC ', de los vértices con el punto de contacto opuesto con el incircle. La propiedad universal es la siguiente. Considere la homografía F, fijando los vértices [F (A) = A, F (B) = B, F (C) = C '] y mapeando G a otro punto G'. Luego tome la imagen c '= F (c) del incircle bajo esta homografía. c 'es una tangente cónica al triángulo y G' es el punto de intersección de las uniones AA '', BB '', CC '' de los vértices a los puntos de contacto opuestos. Es AA '' = F (AA ​​'), etc. Cada tangente cónica al triángulo proviene de una homografía similar. Cambie a [selección-herramienta] (CTRL + 1). Atrapar y modificar A, B, C, G '. Convenientes coordenadas triangulares Aquí sigo de cerca el libro de Andreescu y Andrica, [Andreescu] que contiene una serie de materiales que manejan las  coordenadas baricéntricas como pesos para combinar números complejos. Sin embargo, aquí prefiero evitar los números complejos y  hacer los cálculos utilizando la estructura de espacio vectorial del plano y usar el producto interno habitual < A , A > = a 1 b 1 + a 2 b 2 de dos  puntos (o vectores) A (a 1 , a 2 ), B (b 1 , b 2 ). Los cálculos se reducen esencialmente seleccionando el centro de coordenadas en la Circuncentro O del triángulo de referencia ABC. Como de costumbre, {a, b, c} denota las longitudes laterales {BC, CA, AB} y A (negrita)  denota el punto A (a 1 , a 2 ) o el vector de R 2 , mientras que A denota el ángulo en este vértice del triángulo. Las coordenadas baricéntricas absolutas (ver BarycentricCoordinates.html ) que representan un punto Q son tres números  (x a , x b , x c ) con x a + x b + x c = 1 y satisfacen la ecuación vectorial:  (1)                                                   Q = x una a + x b B + x c C .  Las coordenadas (x a , x b , x c ) determinan las razones                                                                                                    BA '/ A'C = x c / x b ,                                                                         (*) CB' / B'A = x a / x c ,                                                                                                     AC '/ C'B = x b / x a .  Al seleccionar el origen de las coordenadas cartesianas en O tenemos las fórmulas:                                                                           < A , A > = | Un | 2 = R 2, (Y cíclico ...)                                                                           < A , B > = R 2 -c 2 /2, (cíclico ...)  Aquí R denota la circunferencia circunscrita, y (cíclico) significa que las fórmulas son válidas si permutamos las letras { a, b, c}  cíclicamente. La última ecuación resulta del teorema del coseno aplicado al triángulo OAB.  De manera más general, se puede asociar a cada triple de números (x a , x b , x c ) (no necesariamente satisfaciendo x a + x b + x c = 1) un punto Q mediante ecuaciones (1). El problema con tal "sistema" es que la asociación no es de uno a uno y dos  tripples (x a , x b , x c ) y (x a ', x b ', x c ') pueden definir el mismo punto Q .  de todos modos, para puntos representados de esta manera la norma del vector correspondiente se puede expresar por los elementos del  triángulo de referencia.                                                                          El siguiente lema aborda una sutileza al usar las coordenadas baricéntricas absolutas definidas de forma única (x a , x b , x c ) para  expresar el punto Q que representan a través de una ecuación vectorial.  Lema Asuma que el origen está en el circuncentro O del triángulo ABC y escriba un punto arbitrario Q en términos de sus  coordenadas baricéntricas absolutas como en (1) Luego las coordenadas baricéntricas absolutas (x a ', x b ', x c ') del punto Q '= kQ (significa  el múltiplo escalar del vector) viene dado por la ecuación Para probar esto utilizar las dos ecuaciones vectoriales                                                       Q' = kx un A + kx b B + kx c C .                                                        Q ' = x un ' A + x b ' B + x c ' C .   =>                                         (x a '-kx a ) A + (x b ' -kx b ) B + (x c '-kx c ) C = 0 .    La última ecuación implica que                     ((x a '-kx a ), (x b -kx b '), (x c '-kx c )) = q ((B 1 C 2 -B 2 C 1 ), (C 1 A 2 -C 2 A 1 ), (A 1 B 2 -A 2 B 1 )),  donde q es un número real y A = (A 1 , A 2 ), etc. Según nuestras suposiciones sobre el sistema de coordenadas utilizado (B 1 C 2 -B 2 C1 ) = R 2 sin (2A), etc. La normalización de las coordenadas implica la suma de los componentes                                                1 = k + q R 2 (sin (2A) + sin (2B) + sin (2C)),  el factor de q es visto para ser ([Fursenko, p.21]) Reemplazando esto en la ecuación anterior para q obtenemos la fórmula reivindicada.  Observación El vector multiplicado por (1-k) en la fórmula anterior representa las coordenadas baricéntricas absolutas del  circuncentro O del triángulo ABC obtenidas para el valor k = 0. La fórmula en sí se ve simplemente como la  expresión de las coordenadas baricéntricas de un punto en la línea XO escrita como una combinación kX + (1-k) O y, por  consiguiente, como la combinación análoga de las coordenadas baricéntricas de {X, O} .  2. G, I, O Además de las coordenadas baricéntricas del circuncentro obtenidas anteriormente (ver Observación), podemos calcular fácilmente las  coordenadas baricéntricas absolutas del centroide G y el incentivo I usando las relaciones cruciales (*).  De hecho, el centroide hace que todos estos cocientes sean iguales a uno, lo que da las coordenadas (1,1,1) y se normaliza:                                                                         G = (1/3: 1/3: 1/3).  Análogamente, las razones para el incentivo son x C / X B = c / b, etc. y denotando el medio perímetro por s: 2s = a + b + c,  y normalizando obtenemos                                                                        I = (a / (2s), b / (2s), c / (2s). Como ejemplo de aplicación de las fórmulas anteriores calculo | IG | 2 usando la expresión anterior para la norma. Las sumas cíclicas (en a, b, c) en esta fórmula dependen de las siguientes ecuaciones (vea Fundamental_Invariants.html ): Aquí r denota el radio del incircle. Usando esto obtenemos para varioius las siguientes expresiones: Introduciendo esto en la suma original y simplificando (mejor hacerlo con Maxima para evitar errores) encontramos: De la relación de Euler (ver EulerRelation.html ) entre circumradius e inradius sabemos:                                                                                | OI | 2 = R (R-2r).  Finalmente calculando la norma | G | Con la fórmula de la sección 1 encontramos la distancia:  3. La construcción del triángulo GIO. Euler resolvió el problema de construir un triángulo a partir de los puntos {I, H, O} (H: el ortocentro), que es equivalente al problema de  construir el triángulo a partir de {G, I, O} (ya que cada triple determina el otro ). El método se puede describir a continuación.  1) Resuelva las tres ecuaciones anteriores con respecto a {s, r, R}, llamadas Invariantes fundamentales del triángulo (consulte Fundamental_Invariants.html ).  2) Considera la ecuación cúbica cuyas raíces son las longitudes laterales {a, b, c} del triángulo.  3) Resuelve el cúbico para encontrar estas longitudes y construye el triángulo.  Aquí resuelvo las ecuaciones con respecto a {s, r, R} y en el siguiente párrafo derivo la ecuación cúbica satisfecha por {a, b, c}. Resolver el segundo con respecto a 2rR y reemplazar a las otras dos ecuaciones lleva a: Al eliminar s 2 de las dos ecuaciones y usar nuevamente la segunda de las ecuaciones en la sección 2 para expresar el radio r:                                                                           r = (R 2 - OI 2 ) / (2R), (*)  obtenemos (después de algunos cálculos fáciles) : La condición que se debe cumplir es que R 2 > OI 2 , que introduce la expresión anterior, la fórmula de Stewart para calcular IJ y la simplificación lleva a: La última desigualdad expresa la condición mencionada anteriormente, es decir, que el incentivo I tiene que estar dentro del círculo ortocentroidal con diámetro GH  y centro J. Suponiendo que esto es cierto, obtenemos el radio de r de la fórmula 2rR = R 2 -OI 2 de Euler y de aquí a la mitad -perímetro s por resolver, por  ejemplo. La primera de las tres ecuaciones con las que comenzamos.  Los cálculos han demostrado que la ubicación de I dentro del círculo ortocentroidal es una condición necesaria para la solución del problema.  Guinand [Guinand] ha demostrado que esta condición también es suficiente. Aunque tengo que ser diferente de la N media de OH, que es el centro de la Círculo de Euler ([Stern], [YiuEuler]). Para el círculo ortocentroidal y temas relacionados, consulte OrthicAxis.html .  4. La ecuación cúbica satisfecha por {a, b, c} El siguiente argumento [Andreescu, p.105] conduce a la ecuación cúbica cuyas raíces son las longitudes laterales del triángulo.  Los coeficientes de la cubic son expresiones que involucran los invariantes fundamentales {s, r, R} del triángulo. Esta ecuación cúbica tiene {a, b, c} como raíces (vea CubicSymmetry.html para la simetría de un cúbico sobre su  punto de inflexión ) y el problema para construir el triángulo desde sus puntos {G, I, O} se resuelve determinando las tres raíces,  que en general llevan a un problema que no pueden resolverse con las herramientas clásicas de regla y compás.