Los circuitos de líneacorrespondientes son circuitoseléctricos compuestos por líneas de transmisión que tienen la misma longitud; comúnmente un octavo de una longitud de onda . Los circuitos de elementos agrupados se pueden convertir directamente a circuitos de elementos distribuidos de esta forma mediante el uso de la transformación de Richards . Esta transformación tiene un resultado particularmente simple; los inductoresse reemplazan con líneas de transmisión terminadas en cortocircuitos y los condensadores se reemplazan con líneas terminadas en circuitos abiertos. La teoría de línea proporcional es particularmente útil para diseñar filtros de elementos distribuidos para uso en microondasfrecuencias
Normalmente es necesario llevar a cabo una transformación adicional del circuito utilizando las identidades de Kuroda . Hay varias razones para aplicar una de las transformaciones de Kuroda; La razón principal es generalmente para eliminar los componentes conectados en serie. En algunas tecnologías, incluyendo el microstrip ampliamente utilizado , las conexiones en serie son difíciles o imposibles de implementar.
La respuesta de frecuencia de los circuitos de línea proporcionales, como todos los circuitos de elementos distribuidos, se repetirá periódicamente, limitando el rango de frecuencia en el que son efectivos. Los circuitos diseñados por los métodos de Richards y Kuroda no son los más compactos. Los refinamientos a los métodos de acoplamiento de elementos pueden producir diseños más compactos. Sin embargo, la teoría de la línea correspondiente sigue siendo la base de muchos de estos diseños de filtros más avanzados.
Líneas conmensuradas [ editar ]
Las líneas proporcionadas son líneas de transmisión que tienen todas la misma longitud eléctrica, pero no necesariamente la misma impedancia característica ( Z 0 ). Un circuito de línea proporcional es un circuito eléctrico compuesto solo de líneas proporcionadas terminadas con resistencias o circuitos cortos y abiertos. En 1948, Paul I. Richards publicó una teoría de circuitos de línea proporcional mediante la cual un circuito de elemento concentrado pasivo podría transformarse en un circuito de elemento distribuido con exactamente las mismas características en un cierto rango de frecuencia. [1]
Las longitudes de las líneas en los circuitos de elementos distribuidos , por lo general, se expresan generalmente en términos de la longitud de onda operativa nominal del circuito, λ. Las líneas de la longitud prescrita en un circuito de línea proporcional se denominan elementos unitarios (UE). Una relación particularmente simple pertenece si los UE son λ / 8. [2] Cada elemento del circuito concentrado se transforma en un UE correspondiente. Sin embargo, Z 0 de las líneas debe establecerse de acuerdo con el valor del componente en el circuito concentrado análogo y esto puede resultar en valores de Z 0 que no son prácticos de implementar. Esto es particularmente un problema con las tecnologías impresas, como microstrip, al implementar altas impedancias características. La alta impedancia requiere líneas estrechas y hay un tamaño mínimo que se puede imprimir. Las líneas muy anchas, por otro lado, permiten la posibilidad de que se formen modos resonantes transversalesindeseables . Se puede elegir una longitud diferente de UE, con un Z 0 diferente , para superar estos problemas. [3]
La longitud eléctrica también se puede expresar como el cambio de fase entre el inicio y el final de la línea. La fase se mide en unidades de ángulo . , el símbolo matemático para una variable de ángulo, se utiliza como símbolo de longitud eléctrica cuando se expresa como un ángulo. En esta convención λ representa 360 °, o 2π radianes . [4]
La ventaja de utilizar líneas proporcionales es que la teoría de líneas proporcionales permite sintetizar circuitos a partir de una función de frecuencia prescrita. Si bien se puede analizar cualquier circuito que use longitudes de línea de transmisión arbitrarias para determinar su función de frecuencia, ese circuito no necesariamente puede sintetizarse fácilmente a partir de la función de frecuencia. El problema fundamental es que usar más de una longitud generalmente requiere más de una variable de frecuencia. El uso de líneas acordes requiere solo una variable de frecuencia. Existe una teoría bien desarrollada para sintetizar circuitos de elementos agrupados a partir de una función de frecuencia dada. Cualquier circuito así sintetizado se puede convertir en un circuito de línea proporcional usando la transformación de Richards y una nueva variable de frecuencia. [5]
La transformación de Richards [ editar ]
- donde k es una constante arbitraria relacionada con la longitud del UE, θ, y una frecuencia de referencia elegida por el diseñador, ω c , por
- k tiene unidades de tiempo y es, de hecho, el retardo de fase insertado por un UE.
Comparando esta transformación con expresiones para la impedancia del punto de activación de los trozosterminados, respectivamente, con un cortocircuito y un circuito abierto,
se puede ver que (para θ <π / 2) un stub de corto circuito tiene la impedancia de una inductancia concentrada y un stub de circuito abierto tiene la impedancia de una capacitancia concentrada . La transformación de Richards sustituye los inductores con los UE cortocircuitados y los condensadores con los UE de circuito abierto. [6]
Cuando la longitud es λ / 8 (o θ = π / 4), esto se simplifica a,
Esto se escribe con frecuencia como,
L y C son convencionalmente los símbolos de inductancia y capacitancia, pero aquí representan respectivamente la impedancia característica de un stub inductivo y la admitancia característica de un stub capacitivo. Esta convención es utilizada por numerosos autores, y más adelante en este artículo. [7]
Dominio omega [ editar ]
La transformación de Richards se puede ver como la transformación de una representación de dominio s a un nuevo dominio llamado el dominio where donde,
y la longitud en unidades de distancia se convierte,
Cualquier circuito compuesto por componentes discretos, lineales y agrupados tendrá una función de transferencia H ( s ) que es una función racional en s . Un circuito compuesto por líneas de transmisión UE derivadas del circuito agrupado por la transformación de Richards tendrá una función de transferencia H ( j Ω) que es una función racional de la misma forma que H ( s ). Es decir, la forma de la respuesta de frecuencia del circuito concentrado contra la variable de frecuencia s será exactamente la misma que la forma de la respuesta de frecuencia del circuito de la línea de transmisión contra la jVariable variable de frecuencia y el circuito será funcionalmente el mismo. [8]
Sin embargo, el infinito en el dominio Ω se transforma a ω = π / 4 k en el dominio s . La respuesta de frecuencia completa se comprime a este intervalo finito. Por encima de esta frecuencia, la misma respuesta se repite en los mismos intervalos, alternativamente a la inversa. Esto es una consecuencia de la naturaleza periódica de la función tangente . Este resultado de banda de paso múltiple es una característica general de todos los circuitos de elementos distribuidos, no solo los que se obtienen a través de la transformación de Richards. [9]
Elemento en cascada [ editar ]
Un UE conectado en cascada es una red de dos puertos que no tiene un circuito exactamente correspondiente en elementos agrupados. Es funcionalmente un retraso fijo. Hay circuitos de elementos concentrados que pueden aproximarse a un retardo fijo como el filtro de Bessel , pero solo funcionan dentro de una banda de pasoprescrita , incluso con componentes ideales. Alternativamente, se pueden construir filtros de paso total deelementos concentrados que pasan todas las frecuencias (con componentes ideales), pero tienen un retardo constante solo dentro de una banda estrecha de frecuencias. Algunos ejemplos son el ecualizador de fase de celosía y el ecualizador de retardo T puenteado . [10]
Por consiguiente, no hay un circuito concentrado que la transformación de Richard pueda transformar en una línea conectada en cascada, y no hay transformación inversa para este elemento. La teoría de la línea proporcional introduce así un nuevo elemento de retraso o longitud . [1] Dos o más UE conectados en cascada con el mismo Z 0 son equivalentes a una sola línea de transmisión más larga. Por lo tanto, las líneas de longitud n θ para el entero n son permisibles en circuitos proporcionales. Algunos circuitos se pueden implementar completamente como una cascada de UE: las redes de adaptación de impedancia , por ejemplo, se pueden hacer de esta manera, al igual que la mayoría de los filtros. [1]
Las identidades de Kuroda [ editar ]
Las identidades de Kuroda son un conjunto de cuatro circuitos equivalentes que superan ciertas dificultades con la aplicación directa de las transformaciones de Richards. Las cuatro transformaciones básicas se muestran en la figura. Aquí, los símbolos para capacitores e inductores se utilizan para representar stubs de circuito abierto y cortocircuito. Del mismo modo, los símbolos C y L representan aquí respectivamente la susceptancia de un stub de circuito abierto y la reactancia de un stub de corto circuito, que, para θ = λ / 8, son respectivamente iguales a la admitanciacaracterística y la impedancia característica de la línea de stub. Las cajas con líneas gruesas representan longitudes de línea proporcionadas conectadas en cascada con la impedancia característica marcada.[11]
La primera dificultad resuelta es que todos los UE deben estar conectados entre sí en el mismo punto. Esto se debe a que el modelo de elementos agrupados supone que todos los elementos ocupan espacio cero (o ningún espacio significativo) y que no hay retraso en las señales entre los elementos. La aplicación de la transformación de Richards para convertir el circuito concentrado en un circuito distribuido permite que el elemento ocupe un espacio finito (su longitud), pero no elimina el requisito de una distancia cero entre las interconexiones. Aplicando repetidamente las dos primeras identidades de Kuroda, las longitudes de UE de las líneas que se alimentan en los puertos del circuito se pueden mover entre los componentes del circuito para separarlos físicamente. [12]
Una segunda dificultad que pueden superar las identidades de Kuroda es que las líneas conectadas en serie no siempre son prácticas. Si bien la conexión en serie de líneas se puede hacer fácilmente, por ejemplo, en tecnología coaxial , no es posible en la tecnología de microstrip ampliamente utilizada y otras tecnologías planas.Los circuitos de filtro con frecuencia utilizan una topología de escalera con series alternas y elementos de derivación. Dichos circuitos se pueden convertir a todos los componentes de derivación en el mismo paso que se utiliza para espaciar los componentes con las dos primeras identidades. [13]
Las identidades tercera y cuarta permiten que las impedancias características se reduzcan o aumenten respectivamente. Estos pueden ser útiles para transformar impedancias que no son prácticas de implementar. Sin embargo, tienen la desventaja de que requieren la adición de un transformador ideal con una relación de vueltas igual al factor de escala. [14]
Historia [ editar ]
En la década posterior a la publicación de Richards, los avances en la teoría de los circuitos distribuidos tuvieron lugar principalmente en Japón. K. Kuroda publicó estas identidades en 1955 en su tesis doctoral. [15] Sin embargo, no aparecieron en inglés hasta 1958 en un artículo de Ozaki e Ishii sobre filtros de línea de banda. [dieciséis]
Otras mejoras [ editar ]
Una de las aplicaciones principales de la teoría de línea correspondiente es diseñar filtros de elementos distribuidos . Tales filtros construidos directamente por el método de Richards y Kuroda no son muy compactos. Esto puede ser una consideración de diseño importante, especialmente en dispositivos móviles. Los talones sobresalen al lado de la línea principal y el espacio entre ellos no hace nada útil. Idealmente, los talones deberían proyectarse en lados alternativos [17] para evitar que se acoplen entre sí, ocupando más espacio, aunque esto no siempre se hace por razones de espacio. Más que eso, los elementos conectados en cascada que unen los apéndices no contribuyen en nada a la función de frecuencia, solo están allí para transformar los apéndices en la impedancia requerida. Poniéndolo de otra manera, elEl orden de la función de frecuencia se determina únicamente por el número de apéndices, no por el número total de UE (en general, cuanto mayor sea el orden, mejor será el filtro). Técnicas de síntesis más complejas pueden producir filtros en los que contribuyen todos los elementos. [dieciséis]
Las secciones λ / 8 conectadas en cascada de los circuitos de Kuroda son un ejemplo de transformadores de impedancia, el ejemplo arquetípico de tales circuitos es el transformador de impedancia λ / 4 . Si bien esto es el doble de la longitud de la línea λ / 8, tiene la propiedad útil de que se puede transformar de un filtro de paso bajoa un filtro de paso alto al reemplazar los talones de circuito abierto por trozos de cortocircuito. Los dos filtros coinciden exactamente con la misma frecuencia de corte y respuestas simétricas de espejo. Por lo tanto, es ideal para su uso en diplexores . [18] El transformador λ / 4 tiene esta propiedad de ser invariante en una transformación de paso bajo a paso alto porque no es solo un transformador de impedancia, sino un caso especial de transformador, un inversor de impedancia . Es decir, transforma cualquier red de impedancia en un puerto, a la impedancia inversa, o impedancia dual , en el otro puerto. Sin embargo, una única longitud de la línea de transmisión solo puede tener una longitud de λ / 4 precisamente en su frecuencia de resonancia y, por consiguiente, hay un límite para el ancho de banda en el que funcionará. Hay tipos más complejos de circuito inversor que invierten impedancias con mayor precisión. Hay dos clases de inversores, el inversor J , que transforma una admitancia en derivación en una impedancia en serie, y el K-inversor que realiza la transformación inversa. Los coeficientes J y K son, respectivamente, la admitancia de escala y la impedancia del convertidor. [19]
Los trozos pueden alargarse para pasar de un circuito abierto a un trozo de cortocircuito y viceversa. [20] Los filtros de paso bajo generalmente consisten en inductores en serie y condensadores de derivación. La aplicación de las identidades de Kuroda los convertirá a todos los condensadores de derivación, que son trozos de circuito abierto. Los trozos de circuito abierto son los preferidos en las tecnologías impresas porque son más fáciles de implementar, y esta es la tecnología que probablemente se encuentre en los productos de consumo. Sin embargo, este no es el caso en otras tecnologías como la línea coaxial o el cable de doble derivación.donde el cortocircuito puede ser útil para el soporte mecánico de la estructura. Los cortocircuitos también tienen una pequeña ventaja, ya que generalmente tienen una posición más precisa que los circuitos abiertos. Si el circuito se va a transformar aún más en el medio de la guía de onda , entonces los circuitos abiertos están fuera de discusión porque habría radiación fuera de la abertura así formada. Para un filtro de paso alto se aplica lo inverso, la aplicación de Kuroda resultará naturalmente en trozos de cortocircuito y puede ser deseable que un diseño impreso se convierta en circuitos abiertos. Como ejemplo, un trozo de circuito abierto λ / 8 se puede reemplazar con un trozo de cortocircuito 3λ / 8 de la misma impedancia característica sin cambiar el circuito funcionalmente. [21]
El acoplamiento de elementos junto con líneas de transformadores de impedancia no es el diseño más compacto. Se han desarrollado otros métodos de acoplamiento, especialmente para filtros de paso de banda que son mucho más compactos. Estos incluyen filtros paralelos líneas , filtros interdigitales , filtros de horquilla , y el diseño semi-agrupados filtros combline .
Un comparador es un componente electrónico que compara dos voltajes de entrada. Los comparadores están estrechamente relacionados con los amplificadores operacionales , pero un comparador está diseñado para funcionar con retroalimentación positiva y con su salida saturada en un riel eléctrico u otro. Un op-amp puede ser puesto en servicio como un comparador de bajo rendimiento si es necesario, pero su velocidad de respuesta se verá afectada.
Comparador [ editar ]
Salida biestable que indica cuál de las dos entradas tiene un voltaje más alto. Es decir,
dónde y son nominalmente los voltajes de alimentación positivos y negativos (que no se muestran en el diagrama).
Detector de umbral [ editar ]
El detector de umbral con histéresis consiste en un amplificador operacional y una serie de resistencias que proporcionan histéresis [1] : 5 [2] : 7 [3] . Al igual que otros detectores, este dispositivo funciona como un interruptor de voltaje , pero con una diferencia importante. El estado de la salida del detector no se ve afectado directamente por el voltaje de entrada, sino por la caída de voltaje en sus terminales de entrada (aquí, denominado Va). De acuerdo con la Ley de corriente de Kirchhoff , este valor depende tanto de Vin como del voltaje de salida del propio detector de umbral, ambos multiplicados por una relación de resistencia.
A diferencia del detector de cruce por cero, el detector con histéresis no cambia cuando Vin es cero, sino que la salida se convierte en Vsat + cuando Va se vuelve positivo y Vsat- cuando Va se vuelve negativo. Un examen más detallado de la ecuación de Va revela que Vin puede exceder de cero (positivo o negativo) en una cierta magnitud antes de que la salida del detector cambie. Al ajustar el valor de R1, se puede aumentar o disminuir la magnitud de Vin que causará que el detector se encienda. La histéresis es útil en varias aplicaciones. Tiene mejor inmunidad al ruido que el detector de nivel, por lo que se utiliza en circuitos de interfaz. Su retroalimentación positiva tiene una transición más rápida, por lo que se utiliza en aplicaciones de temporización como los contadores de frecuencia. También se utiliza en multivibradores astables que se encuentran en instrumentos como los generadores de funciones.
Zero detector de cruce [ editar ]
Un detector de cruce por cero es un comparador con el nivel de referencia establecido en cero. Se utiliza para detectar los cruces por cero de las señales de CA. Se puede hacer desde un amplificador operacional con un voltaje de entrada en su entrada positiva (vea el diagrama del circuito) [se necesita aclaración ] .
Cuando el voltaje de entrada es positivo, el voltaje de salida es un valor positivo, cuando el voltaje de entrada es negativo, el voltaje de salida es un valor negativo. La magnitud del voltaje de salida es una propiedad del amplificador operacional y su fuente de alimentación.
Las aplicaciones incluyen la conversión de una señal analógica a una forma adecuada para usar en mediciones de frecuencia, en bucles de bloqueo de fase , o para controlar circuitos de electrónica de potencia que deben conmutar con una relación definida a una forma de onda de corriente alterna.
Este detector explota la propiedad de que la frecuencia instantánea de una onda FM está dada aproximadamente por dónde es la diferencia de tiempo entre cruces cero adyacentes de onda FM
Schmitt disparador [ editar ]
En esta configuración, la tensión de entrada se aplica a través del divisor de tensión formado por y (que puede ser la fuente de resistencia interna) a la entrada no inversora y la entrada inversora está conectada a tierra o referenciada. La curva de histéresis no se invierte y los umbrales de conmutación son dónde Es la mayor magnitud de salida del amplificador operacional.
Alternativamente, la fuente de entrada y el suelo pueden intercambiarse. Ahora, el voltaje de entrada se aplica directamente a la entrada inversora y la entrada no inversora está conectada a tierra o está referenciada. La curva de histéresis se invierte y los umbrales de conmutación son. Dicha configuración se utiliza en el oscilador de relajación que se muestra a continuación.
Oscilador de relajación [ editar ]
Al utilizar una red RC para agregar retroalimentación negativa lenta al disparador Schmitt inversor , se forma un oscilador de relajación . La retroalimentación a través de la red RC hace que la salida del disparador Schmitt oscile en una onda cuadrada simétrica sin fin (es decir, el disparador Schmitt en esta configuración es un multivibrador astable ).
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