TRIGONOMETRÍA

notación de triángulos de Conway , llamada así por John Horton Conway , permite que las funciones trigonométricas de un triángulo se administren de forma algebraica. Dado un triángulo de referencia cuyos lados son un , b y c y cuya internas correspondientes ángulos son A , B , y C a continuación, la notación triángulo Conway es simplemente representados como sigue:

$${\ displaystyle S = bc \ sin A = ac \ sin B = ab \ sin C \,}

donde S = 2 × área del triángulo de referencia y

$${\ displaystyle S _ {\ varphi} = S \ cot \ varphi. \,}

en particular

$${\ displaystyle S_ {A} = S \ cot A = bc \ cos A = {\ frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2}} \,}

$${\ displaystyle S_ {B} = S \ cot B = ac \ cos B = {\ frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2}} \,}

$${\ displaystyle S_ {C} = S \ cot C = ab \ cos C = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2}} \,}

$${\ displaystyle S _ {\ omega} = S \ cot \ omega = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {2}} \,}      dónde $${\ displaystyle \ omega \,}Es el ángulo de Brocard . La ley de los cosenos se utiliza:$${\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos A}.

$${\ displaystyle S _ {\ frac {\ pi} {3}} = S \ cot {\ frac {\ pi} {3}} = S {\ frac {\ sqrt {3}} {3}} \,}

$${\ displaystyle S_ {2 \ varphi} = {\ frac {S _ {\ varphi} ^ {2} -S ^ {2}} {2S _ {\ varphi}}} \ quad \ quad S _ {\ frac {\ varphi} {2}} = S _ {\ varphi} + {\ sqrt {S _ {\ varphi} ^ {2} + S ^ {2}}} \,}    para valores de   $${\ displaystyle \ varphi}  dónde   {\ displaystyle 0 <\ varphi <\ pi \,}

$${\ displaystyle S _ {\ vartheta + \ varphi} = {\ frac {S _ {\ vartheta} S _ {\ varphi} -S ^ {2}} {S _ {\ vartheta} + S _ {\ varphi}}} \ quad \ quad S _ {\ vartheta - \ varphi} = {\ frac {S _ {\ vartheta} S _ {\ varphi} + S ^ {2}} {S _ {\ varphi} -S _ {\ vartheta}}} \ ,.

Además, la convención usa una notación abreviada para $${\ displaystyle S _ {\ vartheta} S _ {\ varphi} = S _ {\ vartheta \ varphi} \,} y $${\ displaystyle S _ {\ vartheta} S _ {\ varphi} S _ {\ psi} = S _ {\ vartheta \ varphi \ psi} \ ,.}

Por lo tanto:

$${\ displaystyle \ sin A = {\ frac {S} {bc}} = {\ frac {S} {\ sqrt {S_ {A} ^ {2} + S ^ {2}}}} \ quad \ quad \ cos A = {\ frac {S_ {A}} {bc}} = {\ frac {S_ {A}} {\ sqrt {S_ {A} ^ {2} + S ^ {2}}}} \ quad \ quad \ tan A = {\ frac {S} {S_ {A}}} \,}

$${\ displaystyle a ^ {2} = S_ {B} + S_ {C} \ quad \ quad b ^ {2} = S_ {A} + S_ {C} \ quad \ quad c ^ {2} = S_ {A } + S_ {B} \ ,.}

Algunas identidades importantes:

$${\ displaystyle \ sum _ {\ text {cyclic}} S_ {A} = S_ {A} + S_ {B} + S_ {C} = S _ {\ omega} \,}

$${\ displaystyle S ^ {2} = b ^ {2} c ^ {2} -S_ {A} ^ {2} = a ^ {2} c ^ {2} -S_ {B} ^ {2} = a ^ {2} b ^ {2} -S_ {C} ^ {2} \,}

$${\ displaystyle S_ {BC} = S_ {B} S_ {C} = S ^ {2} -a ^ {2} S_ {A} \ quad \ quad S_ {AC} = S_ {A} S_ {C} = S ^ {2} -b ^ {2} S_ {B} \ quad \ quad S_ {AB} = S_ {A} S_ {B} = S ^ {2} -c ^ {2} S_ {C} \, }

$${\ displaystyle S_ {ABC} = S_ {A} S_ {B} S_ {C} = S ^ {2} (S _ {\ omega} -4R ^ {2}) \ quad \ quad S _ {\ omega} = s ^ {2} -r ^ {2} -4rR \,}

donde R es el circunferencia y abc  = 2 SR y donde r es el incentivo ,   $${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c} {2}} \,}   y   $${\ displaystyle a + b + c = {\ frac {S} {r}} \ ,.}

Algunas conversiones trigonométricas útiles:

$${\ displaystyle \ sin A \ sin B \ sin C = {\ frac {S} {4R ^ {2}}} \ quad \ quad \ cos A \ cos B \ cos C = {\ frac {S _ {\ omega} -4R ^ {2}} {4R ^ {2}}}}

$${\ displaystyle \ sum _ {\ text {cyclic}} \ sin A = {\ frac {S} {2Rr}} = {\ frac {s} {R}} \ quad \ quad \ sum _ {\ text {cyclic }} \ cos A = {\ frac {r + R} {R}} \ quad \ quad \ sum _ {\ text {cyclic}} \ tan A = {\ frac {S} {S _ {\ omega} -4R ^ {2}}} = \ tan A \ tan B \ tan C \ ,.}

Algunas fórmulas útiles:

$${\ displaystyle \ sum _ {\ text {cyclic}} a ^ {2} S_ {A} = a ^ {2} S_ {A} + b ^ {2} S_ {B} + c ^ {2} S_ { C} = 2S ^ {2} \ quad \ quad \ sum _ {\ text {cyclic}} a ^ {4} = 2 (S _ {\ omega} ^ {2} -S ^ {2}) \,}

$${\ displaystyle \ sum _ {\ text {cyclic}} S_ {A} ^ {2} = S _ {\ omega} ^ {2} -2S ^ {2} \ quad \ quad \ sum _ {\ text {cyclic} } S_ {BC} = \ sum _ {\ text {cyclic}} S_ {B} S_ {C} = S ^ {2} \ quad \ quad \ sum _ {\ text {cyclic}} b ^ {2} c ^ {2} = S _ {\ omega} ^ {2} + S ^ {2} \ ,.}

Algunos ejemplos usando la notación de triángulos de Conway:

Sea D la distancia entre dos puntos P y Q cuyas coordenadas trilineales son p _a  : p _b  : p _c y q _a  : q _b  : q _c . Sea K _p = ap _a + bp _b + cp _c y sea K _q = aq _a + bq _b + cq _c . Entonces D viene dada por la fórmula:

$${\ displaystyle D ^ {2} = \ sum _ {\ text {cyclic}} a ^ {2} S_ {A} \ left ({\ frac {p_ {a}} {K_ {p}}} - {\ frac {q_ {a}} {K_ {q}}} \ right) ^ {2} \ ,.}

Usando esta fórmula es posible determinar OH, la distancia entre el circuncentro y el ortocentro de la siguiente manera:

Para el circuncentro p _a  =  aS _A y para el ortocentro q _a  =  S _B S _C / a

$${\ displaystyle K_ {p} = \ sum _ {\ text {cyclic}} a ^ {2} S_ {A} = 2S ^ {2} \ quad \ quad K_ {q} = \ sum _ {\ text {cyclic }} S_ {B} S_ {C} = S ^ {2} \ ,.}

Por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}D^{2}&{}=\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}\left({\frac {aS_{A}}{2S^{2}}}-{\frac {S_{B}S_{C}}{aS^{2}}}\right)^{2}\\&{}={\frac {1}{4S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{4}S_{A}^{3}-{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}+{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}S_{B}S_{C}\\&{}={\frac {1}{4S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}^{2}(S^{2}-S_{B}S_{C})-2(S_{\omega }-4R^{2})+(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {1}{4S^{2}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}^{2}-{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}-(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {1}{4S^{2}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}c^{2}-S^{2})-{\frac {1}{2}}(S_{\omega }-4R^{2})-(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {3a^{2}b^{2}c^{2}}{4S^{2}}}-{\frac {1}{4}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}-{\frac {3}{2}}(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}=3R^{2}-{\frac {1}{2}}S_{\omega }-{\frac {3}{2}}S_{\omega }+6R^{2}\\&{}=9R^{2}-2S_{\omega }.\end{aligned}}}$

Esto da:

$${\ displaystyle OH = {\ sqrt {9R ^ {2} -2S _ {\ omega} \,}}.}

 las funciones trigonométricas inversas (en ocasiones también llamadas funciones arcus , ^{[1] [2] [3] [4] [5]}funciones antitrigonométricas ^[6] o funciones ciclométricas ^{[7] [8] [9]} ) son las inversas Funciones de las funciones trigonométricas (con dominios adecuadamente restringidos ). Específicamente, son los inversos del seno , coseno , tangente , cotangente , secante y cosecante.funciones, y se utilizan para obtener un ángulo de cualquiera de las relaciones trigonométricas del ángulo. Las funciones trigonométricas inversas son ampliamente utilizadas en ingeniería , navegación , física y geometría .

Notación [ editar ]

Hay varias notaciones utilizadas para las funciones trigonométricas inversas.

La convención más común es nombrar funciones trigonométricas inversas usando un prefijo de arco : arcosina ( x ) , arccos ( x ) , arctan ( x ) , etc. ^[6] (esta convención se usa en este artículo). Esta notación proviene de las siguientes relaciones geométricas: ^{[ cita requerida ]} Cuando se mide en radianes, un ángulo de thetaradianes corresponderán a un arco cuya longitud es rθ , donde r es el radio del círculo. Así, en el círculo unitario , "el arco cuyo coseno es x"es lo mismo que" el ángulo cuyo coseno es x ", porque la longitud del arco del círculo en radios es la misma que la medida del ángulo en radianes. ^[10] En los lenguajes de programación de computadora las funciones trigonométricas inversas son usualmente llamado por las formas abreviadas asin, acos, atan. ^{[ citación necesitada ]}

Las notaciones sin ⁻¹ ( x ) , cos ⁻¹ ( x ) , tan ⁻¹ ( x ) , etc., tal como fueron introducidas por John Herschel en 1813, ^{[11] [12] a} menudo se usan también en el idioma inglés ^{[ 6]} fuentes, y esta convención cumple con la notación de una función inversa . Esto podría parecer que está en conflicto lógicamente con la semántica común para expresiones como sin ² ( x ), que se refieren al poder numérico en lugar de a la composición de la función y, por lo tanto, pueden generar confusión entre el inverso multiplicativo y el inverso compositivo . La confusión se ve aliviada de alguna manera por el hecho de que cada una de las funciones trigonométricas recíprocas tiene su propio nombre, por ejemplo, (cos ( x )) ⁻¹ = seg ( x ) . Sin embargo, algunos autores desaconsejan su uso por su ambigüedad. ^[6] [13] Otra convención utilizada por algunos autores es usar una primera letra mayúscula(mayúscula / mayúscula) junto con un superíndice −1: Sin ⁻¹ ( x ) ,Cos ⁻¹ ( x ) , Tan ⁻¹ ( x ) , etc. ^[14] Esto evita potencialmente la confusión con el inverso multiplicativo, que debe estar representado por sin ⁻¹ ( x ) , cos ⁻¹ ( x ) , etc.

Desde 2009, el estándar ISO 80000-2 ha especificado únicamente el prefijo "arco" para las funciones inversas.

Propiedades basicas [ editar ]

Valores principales [ editar ]

Como ninguna de las seis funciones trigonométricas es una a una , están restringidas para tener funciones inversas. Por lo tanto, los rangos de las funciones inversas son subconjuntos adecuados de los dominios de las funciones originales.

Por ejemplo, usando la función en el sentido de funciones multivalor , así como la función de raíz cuadrada y = √ x se puede definir a partir de y ² = x , la función y = arcsin ( x ) se define de manera que sin ( y ) = x . Para un número real dado x , con −1 ≤ x ≤ 1, hay números múltiples (de hecho, infinitamente innumerables) y tal que sin ( y ) = x ; por ejemplo, sin (0) = 0, pero también sin (π) = 0 , sin (2π) = 0 , etc. Cuando solo se desea un valor, la función puede estar restringida a su rama principal . Con esta restricción, para cada x en el dominio, la expresión arcsin ( x ) se evaluará solo a un valor único, llamado su valor principal . Estas propiedades se aplican a todas las funciones trigonométricas inversas.

Los principales inversos se enumeran en la siguiente tabla.

Nombre	Notación habitual	Definición	Dominio de x para resultado real	Rango de valor principal habitual  ( radianes )	Rango de valor principal habitual  ( grados )
arcoseno	y =arcsin ( x )	x =pecado ( y )	−1 ≤ x ≤ 1	- π/2 ≤ y ≤ π/2	−90 ° ≤ y ≤ 90 °
arccosina	y =arccos ( x )	x = cos ( y )	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0 ° ≤ y ≤ 180 °
arctangente	y =arctan ( x )	x = tan ( y )	todos los numeros reales	- π/2 < y < π/2	−90 ° < y <90 font="">
arccotangente	y =arccot ​​( x )	x =cuna ( y )	todos los numeros reales	0 < y < π	0 ° < y <180 font="">
arcosecante	y =arcsec ( x )	x = sec ( y )	x ≤ −1 o 1 ≤ x	0 ≤ y < π/2 o π/2 < y ≤ π	0 ° ≤ y <90 90="" font="" o="">y ≤ 180 °
arccosecante	y =arccsc ( x )	x = csc ( y )	x ≤ −1 o 1 ≤ x	- π/2 ≤ y <0 0="" font="" nbsp="" o="">y ≤ π/2	−90 ° ≤ y <0 0="" font="" o="">y ≤ 90 °

(Nota: algunos autores definen que el rango de arcosecante es (0 ≤ y < π/2 o π ≤ y < 3 π/2 ), porque la función tangente no es negativa en este dominio. Esto hace que algunos cálculos sean más consistentes. Por ejemplo utilizando este rango, tan (arcsec ( x )) = √ x ² - 1 , mientras que con el rango (0 ≤ y < π/2 o π/2 < y ≤ π ), tendríamos que escribir tan (arcsec (x )) = ± √ x ² - 1 , ya que la tangente no es negativa en 0 ≤ y <π/2 pero no positiva enπ/2 < y ≤ π . Por una razón similar, los mismos autores definen que el rango de arccosecante es - π < y≤ -π/2 o 0 < y ≤π/2. )

Si se permite que x sea ​​un número complejo , entonces el rango de y se aplica solo a su parte real.

Relaciones entre las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas [ editar ]

Las funciones trigonométricas de las funciones trigonométricas inversas se tabulan a continuación. Una forma rápida de derivarlos es considerando la geometría de un triángulo rectángulo, con un lado de longitud 1 y otro lado de longitud x (cualquier número real entre 0 y 1), luego aplicando el teorema de Pitágoras y las definiciones de ratios trigonométricos. Las derivaciones puramente algebraicas son más largas. ^{[ cita requerida ]}

$${\ displaystyle \ theta}	$${\ displaystyle \ sin (\ theta)}	$${\ displaystyle \ cos (\ theta)}	$${\ displaystyle \ tan (\ theta)}	Diagrama
$${\ displaystyle \ arcsin (x)}	$${\ displaystyle \ sin (\ arcsin (x)) = x}	$${\ displaystyle \ cos (\ arcsin (x)) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}	${\displaystyle \tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle \sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \cos(\arccos(x))=x}$	${\displaystyle \tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$
${\displaystyle \arctan(x)}$	${\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \tan(\arctan(x))=x}$
${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arccsc} (x))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec} (x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}}$	$${\ displaystyle \ tan (\ operatorname {arcsec} (x)) = {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}
$${\ displaystyle \ operatorname {arccot} (x)}	$${\ displaystyle \ sin (\ operatorname {arccot} (x)) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}	$${\ displaystyle \ cos (\ operatorname {arccot} (x)) = {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}	$${\ displaystyle \ tan (\ operatorname {arccot} (x)) = {\ frac {1} {x}}}

Relaciones entre las funciones trigonométricas inversas [ editar ]

Los valores principales habituales de las funciones arcsin ( x ) (rojo) y arccos ( x) (azul) se graficaron en el plano cartesiano.

Los valores principales habituales de las funciones arctan ( x ) y arccot ​​( x ) se graficaron en el plano cartesiano.

Valores principales de las funciones arcsec ( x ) y arccsc ( x ) graficadas en el plano cartesiano.

Ángulos complementarios:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ arccos (x) & = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arcsin (x) \\ [0.5em] \ operatorname {arccot} (x) & = { \ frac {\ pi} {2}} - \ arctan (x) \\ [0.5em] \ operatorname {arccsc} (x) & = {\ frac {\ pi} {2}} - \ operatorname {arcsec} ( x) \ end {alineado}}}

Argumentos negativos:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ arcsin (-x) & = - \ arcsin (x) \\\ arccos (-x) & = \ pi - \ arccos (x) \\\ arctan (-x) & = - \ arctan (x) \\\ operatorname {arccot} (- x) & = \ pi - \ operatorname {arccot} (x) \\\ operatorname {arcsec} (- x) & = \ pi - \ operatorname { arcsec} (x) \\\ operatorname {arccsc} (- x) & = - operatorname {arccsc} (x) \ end {alineado}}}

Argumentos recíprocos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)\\[0.3em]\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)-\pi \,,{\text{ if }}x<0 amp="" arccot="" arctan="" em="" frac="" if="" left="" operatorname="" pi="" right="" text="" x="">0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0 aligned="" amp="" annotation="" arccos="" arccsc="" arcsec="" arcsin="" em="" end="" frac="" left="" operatorname="" right="" x="">$

Identidades útiles si uno solo tiene un fragmento de una tabla seno:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ arccos (x) & = \ arcsin \ left ({\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right) \ ,, {\ text {if}} 0 \ leq x \ leq 1 \\\ arccos (x) & = {\ frac {1} {2}} \ arccos \ left (2x ^ {2} -1 \ right) \ ,, {\ text {if}} 0 \ leq x \ leq 1 \\\ arcsin (x) & = {\ frac {1} {2}} \ arccos \ left (1-2x ^ {2} \ right) \ ,, {\ text {if}} 0 \ leq x \ leq 1 \\\ arcsin (x) & = \ arctan \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \ right) \\\ arctan (x) & = \ arcsin \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}} \ right) \ end {alineado}}}

Cuando se usa aquí la raíz cuadrada de un número complejo, elegimos la raíz con la parte real positiva (o parte imaginaria positiva si el cuadrado era real negativo).

De la fórmula de medio ángulo ,$${\ displaystyle \ tan \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) = {\ tfrac {\ sin (\ theta)} {1+ \ cos (\ theta)}}}, obtenemos:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ arcsin (x) & = 2 \ arctan \ left ({\ frac {x} {1 + {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}} \ right) \ \ [0.5em] \ arccos (x) & = 2 \ arctan \ left ({\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {1 + x}} \ right) \ ,, {\ text { if}} - 1

Fórmula de adición de Arctangent [ editar ]

$${\ displaystyle \ arctan (u) \ pm \ arctan (v) = \ arctan \ left ({\ frac {u \ pm v} {1 \ mp uv}} \ right) {\ pmod {\ pi}} \, , \ quad uv \ neq 1 \ ,.}

Esto se deriva de la fórmula de adición de tangente

$${\ displaystyle \ tan (\ alpha \ pm \ beta) = {\ frac {\ tan (\ alpha) \ pm \ tan (\ beta)} {1 \ mp \ tan (\ alpha) \ tan (\ beta)} } \ ,,}

Dejando

$${\ displaystyle \ alpha = \ arctan (u) \ ,, \ quad \ beta = \ arctan (v) \ ,.}

En cálculo [ editar ]

Derivados de funciones trigonométricas inversas [ editar ]

Artículo principal: Diferenciación de funciones trigonométricas.

Los derivados para los valores complejos de z son los siguientes:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d} {dz}} \ arcsin (z) & {} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} \; ; & z & {} \ neq -1, + 1 \\ {\ frac {d} {dz}} \ arccos (z) & {} = - {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ {2} }}} \ ;; & z & {} \ neq -1, + 1 \\ {\ frac {d} {dz}} \ arctan (z) & {} = {\ frac {1} {1 + z ^ {2 }}} \ ;; & z & {} \ neq -i, + i \\ {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {arccot} (z) & {} = - {\ frac {1} {1+ z ^ {2}}} \ ;; & z & {} \ neq -i, + i \\ {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {arcsec} (z) & {} = {\ frac {1} {z ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}}}} ;; & z & {} \ neq -1,0, + 1 \\ {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {arccsc} (z) & {} = - {\ frac {1} {z ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2} }}}}}} \ ;; & z & {} \ neq -1,0, + 1 \ end {alineado}}}

Solo para valores reales de x :

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arcsec} (x) & {} = {\ frac {1} {| x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}} \ ;; & | x |> 1 \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arccsc} (x) & {} = - {\ frac {1} {| x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}} \ ;; & | x |> 1 \ end {alineado}}}

Para una derivación de la muestra: si $${\ displaystyle \ theta = \ arcsin (x)}, obtenemos:

$${\ displaystyle {\ frac {d \ arcsin (x)} {dx}} = {\ frac {d \ theta} {d \ sin (\ theta)}} = {\ frac {d \ theta} {\ cos ( \ theta) d \ theta}} = {\ frac {1} {\ cos (\ theta)}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} (\ theta)}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}

Expresión como integrales definidas [ editar ]

Integrar la derivada y fijar el valor en un punto da una expresión para la función trigonométrica inversa como una integral definida:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ arcsin (x) & {} = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} \, dz \;, & | x | & {} \ leq 1 \\\ arccos (x) & {} = \ int _ {x} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ { 2}}}} \, dz \;, & | x | & {} \ leq 1 \\\ arctan (x) & {} = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {z ^ {2} +1}} \, dz \;, \\\ operatorname {arccot} (x) & {} = \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {1} {z ^ {2 } +1}} \, dz \;, \\\ operatorname {arcsec} (x) & {} = \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ { 2} -1}}}} \, dz = \ pi + \ int _ {x} ^ {- 1} {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}} \ , dz \;, & x & {} \ geq 1 \\\ operatorname {arccsc} (x) & {} = \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}} \, dz = \ int _ {- \ infty} ^ {x} {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}} \, dz \;, & x & {} \ geq 1 \\\ end {alineado}}}

Cuando x es igual a 1, las integrales con dominios limitados son integrales impropias , pero aún bien definidas.

Series infinitas [ editar ]

Al igual que las funciones seno y coseno, las funciones trigonométricas inversas pueden calcularse utilizando series de potencias , de la siguiente manera. Para arcsine, la serie se puede derivar expandiendo su derivado,$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}}}, como una serie binomial , e integrando término por término (usando la definición integral como se indica arriba). La serie para arctangent se puede derivar de manera similar expandiendo su derivado$${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + z ^ {2}}}}en una serie geométrica y aplicando la definición integral anterior (ver series de Leibniz ).

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ arcsin (z) & = z + \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) {\ frac {z ^ {3}} {3}} + \ left ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ right) {\ frac {z ^ {5}} {5}} + \ left ({\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ right) {\ frac {z ^ {7}} {7}} + \ cdots \\ [5pt] & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} \ cdot {\ frac {z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \\ [5pt] & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ binom {2n} {n}} z ^ {2n + 1}} {4 ^ {n} (2n + 1)}} \,; \ qquad | z | \ leq 1 \ end {alineado}}}

$${\ displaystyle \ arctan (z) = z - {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ {5}} {5}} - {\ frac {z ^ {7} } {7}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \, ; \ qquad | z | \ leq 1 \ qquad z \ neq i, -i}

Las series para las otras funciones trigonométricas inversas se pueden dar en términos de éstas de acuerdo con las relaciones dadas anteriormente. Por ejemplo,$${\ displaystyle \ arccos (x) = \ pi / 2- \ arcsin (x)}, $${\ displaystyle \ operatorname {arccsc} (x) = \ arcsin (1 / x)}, y así. Otra serie está dada por: ^[15]

$${\ displaystyle 2 \ left (\ arcsin \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ right) ^ {2} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac { x ^ {2n}} {n ^ {2} {\ binom {2n} {n}}}}}

Leonhard Euler encontró una serie para el arctangente que converge más rápidamente que su serie de Taylor :

$${\ displaystyle \ arctan (z) = {\ frac {z} {1 + z ^ {2}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2kz ^ {2}} {(2k + 1) (1 + z ^ {2})}}.}^[dieciséis]

(El término en la suma para n = 0 es el producto vacío , por lo que es 1.)

Alternativamente, esto se puede expresar como

$${\ displaystyle \ arctan (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} (n!) ^ {2}} {(2n + 1)!}} \ ; {\ frac {z ^ {2n + 1}} {(1 + z ^ {2}) ^ {n + 1}}}.

Fracciones continuas para arctangent [ editar ]

Dos alternativas a las series de potencias para arctangent son estas fracciones continuas generalizadas :

$${\ displaystyle \ arctan (z) = {\ frac {z} {1 + {\ cfrac {(1z) ^ {2}} {3-1z ^ {2} + {\ cfrac {(3z) ^ {2} } {5-3z ^ {2} + {\ cfrac {(5z) ^ {2}} {7-5z ^ {2} + {\ cfrac {(7z) ^ {2}} {9-7z ^ {2 } + \ ddots}}}}}}}}}} = {\ frac {z} {1 + {\ cfrac {(1z) ^ {2}} {3 + {\ cfrac {(2z) ^ {2} } {5 + {\ cfrac {(3z) ^ {2}} {7 + {\ cfrac {(4z) ^ {2}} {9+ \ ddots}}}}}}}}}}

El segundo de estos es válido en el plano complejo de corte. Hay dos cortes, desde - i hasta el punto en el infinito, yendo hacia el eje imaginario, y desde i hasta el punto en el infinito, subiendo hacia el mismo eje. Funciona mejor para los números reales que van desde −1 a 1. Los denominadores parciales son los números naturales impares, y los numeradores parciales (después del primero) son solo ( nz ) ² , con cada cuadrado perfecto que aparece una vez. El primero fue desarrollado por Leonhard Euler ; el segundo por Carl Friedrich Gauss utilizando la serie hipergeométrica gaussiana .

Integrales indefinidas de funciones trigonométricas inversas [ editar ]

Para valores reales y complejos de z :

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ int \ arcsin (z) \, dz & {} = z \, \ arcsin (z) + {\ sqrt {1-z ^ {2}}} + C \\\ int \ arccos (z) \, dz & {} = z \, \ arccos (z) - {\ sqrt {1-z ^ {2}}} + C \\\ int \ arctan (z) \, dz & {} = z \, \ arctan (z) - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + z ^ {2} \ right) + C \\\ int \ operatorname {arccot} (z) \, dz & {} = z \, \ operatorname {arccot} (z) + {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + z ^ {2} \ right) + C \\\ int \ operatorname { arcsec} (z) \, dz & {} = z \, \ operatorname {arcsec} (z) - \ ln \ left [z \ left (1 + {\ sqrt {\ frac {z ^ {2} -1} { z ^ {2}}}} \ right) \ right] + C \\\ int \ operatorname {arccsc} (z) \, dz & {} = z \, \ operatorname {arccsc} (z) + \ ln \ left [z \ left (1 + {\ sqrt {\ frac {z ^ {2} -1} {z ^ {2}}}} \ right) \ right] + C \ end {alineado}}}

Para real x ≥ 1:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ int \ operatorname {arcsec} (x) \, dx & {} = x \, \ operatorname {arcsec} (x) - \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ { 2} -1}} \ derecha) + C \\ int \ operatorname {arccsc} (x) \, dx & {} = x \, \ operatorname {arccsc} (x) + \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ derecha) + C \ end {alineado}}}

Para todo x real no entre -1 y 1:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ int \ operatorname {arcsec} (x) \, dx & {} = x \, \ operatorname {arcsec} (x) - \ operatorname {sgn} (x) \ ln \ left ( \ left | x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right | \ right) + C \\\ int \ operatorname {arccsc} (x) \, dx & {} = x \, \ operatorname {arccsc } (x) + \ operatorname {sgn} (x) \ ln \ left (\ left | x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right | \ right) + C \ end {alineado}}}

El valor absoluto es necesario para compensar los valores negativos y positivos de las funciones de arcosecante y arccosecante. La función signum también es necesaria debido a los valores absolutos en las derivadas de las dos funciones, que crean dos soluciones diferentes para los valores positivos y negativos de x. Estos pueden simplificarse aún más utilizando las definiciones logarítmicas de las funciones hiperbólicas inversas :

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ int \ operatorname {arcsec} (x) \, dx & {} = x \, \ operatorname {arcsec} (x) - \ operatorname {arcosh} (| x |) + C \ \\ int \ operatorname {arccsc} (x) \, dx & {} = x \, \ operatorname {arccsc} (x) + \ operatorname {arcosh} (| x |) + C \\\ end {alineado}}}

El valor absoluto en el argumento de la función arcosh crea una mitad negativa de su gráfica, haciéndolo idéntico a la función logarítmica signum que se muestra arriba.

Todas estas antiderivadas pueden derivarse utilizando la integración por partes y las formas derivadas simples que se muestran arriba.

Ejemplo [ editar ]

Utilizando $${\ displaystyle \ int u \, dv = uv- \ int v \, du}(es decir, integración por partes ), conjunto

{\ displaystyle {\ begin {alineado} u & = \ arcsin (x) & dv & = dx \\ du & = {\ frac {dx} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} & v & = x \ end {alineado }}}

Entonces

$${\ displaystyle \ int \ arcsin (x) \, dx = x \ arcsin (x) - \ int {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \, dx,}

que por una simple sustitución produce el resultado final:

$${\ displaystyle \ int \ arcsin (x) \, dx = x \ arcsin (x) + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}

Extensión a plano complejo [ editar ]

Una superficie de Riemann para el argumento de la función Tan [z] = x en el plano complejo de x. La hoja naranja en el medio es la hoja principal que representa ArcTan (x). La hoja azul arriba y la hoja verde abajo están desplazadas por 2 π y -2 π respectivamente.

Como las funciones trigonométricas inversas son funciones analíticas , pueden extenderse desde la línea real hasta el plano complejo. Esto da como resultado funciones con múltiples hojas y puntos de ramificación . Una posible forma de definir la extensión es:

$${\ displaystyle \ arctan (z) = \ int _ {0} ^ {z} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} \ quad z \ neq -i, + i}

donde la parte del eje imaginario que no se encuentra estrictamente entre los puntos de ramificación (−i y + i) es el corte de ramificación entre la hoja principal y otras hojas. La trayectoria de la integral no debe cruzar un corte de rama. Para z no en un corte de rama, una ruta de línea recta de 0 a z es tal ruta. Para z en un corte de rama, la ruta debe aproximarse desde Re [x]> 0 para el corte de rama superior y desde Re [x] <0 corte="" de="" el="" font="" inferior.="" para="" rama="">

La función de arco se puede definir como:

$${\ displaystyle \ arcsin (z) = \ arctan \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} \ right) \ quad z \ neq -1, + 1}

donde (la función de raíz cuadrada tiene su corte a lo largo del eje real negativo) y la parte del eje real que no se encuentra estrictamente entre −1 y +1 es el corte de rama entre la hoja principal de arcsin y otras hojas;

$${\ displaystyle \ arccos (z) = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arcsin (z) \ quad z \ neq -1, + 1}

que tiene el mismo corte que la arcosina;

$${\ displaystyle \ operatorname {arccot} (z) = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan (z) \ quad z \ neq -i, i}

que tiene el mismo corte que el arctan;

$${\ displaystyle \ operatorname {arcsec} (z) = \ arccos \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \ quad z \ neq -1,0, + 1}

donde la parte del eje real entre −1 y +1 inclusive es el corte entre la hoja principal de arcsec y otras hojas;

$${\ displaystyle \ operatorname {arccsc} (z) = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \ quad z \ neq -1,0, + 1}

Que tiene el mismo corte que el arcsec .

Formas logarítmicas [ editar ]

Estas funciones también pueden expresarse utilizando logaritmos complejos . Esto extiende sus dominios al plano complejo de una manera natural.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right)={\frac {i}{2}}\left[\ln(1-iz)-\ln(1+iz)\right]&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z-i}{z+i}}\right)={\frac {i}{2}}\left[\ln(z-i)-\ln(z+i)\right]&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}+{\frac {1}{z}}\right)=i\,\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)+{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}$

Las pruebas elementales de estas relaciones proceden a través de la expansión a formas exponenciales de las funciones trigonométricas.

Ejemplo de prueba [ editar ]

$${\ displaystyle \ sin (\ phi) = z}

$${\ displaystyle \ phi = \ arcsin (z)}

Usando la definición exponencial de seno , se obtiene

$${\ displaystyle z = {\ frac {e ^ {\ phi i} -e ^ {- \ phi i}} {2i}}}

Dejar

$${\ displaystyle \ xi = e ^ {\ phi i}}

Resolviendo para $${\ displaystyle \ phi}

$${\ displaystyle z = {\ frac {\ xi - {\ frac {1} {\ xi}}} {2i}}}

$${\ displaystyle 2iz = {\ xi - {\ frac {1} {\ xi}}}}

$${\ displaystyle {\ xi -2iz - {\ frac {1} {\ xi}}} = 0}

$${\ displaystyle \ xi ^ {2} -2i \ xi z-1 \, = \, 0}

$${\ displaystyle \ xi = iz \ pm {\ sqrt {1-z ^ {2}}} = e ^ {\ phi i}}

$${\ displaystyle \ phi i = \ ln \ left (iz \ pm {\ sqrt {1-z ^ {2}}} \ right)}

$${\ displaystyle \ phi = -i \ ln \ left (iz \ pm {\ sqrt {1-z ^ {2}}} \ right)}

(Se elige la rama positiva)

$${\ displaystyle \ phi = \ arcsin (z) = - i \ ln \ left (iz + {\ sqrt {1-z ^ {2}}} \ right)}

Gráficos de la rueda de colores de las funciones trigonométricas inversas en el plano complejo.

$${\ displaystyle \ arcsin (z)}	$${\ displaystyle \ arccos (z)}	$${\ displaystyle \ arctan (z)}	$${\ displaystyle \ operatorname {arccot} (z)}	$${\ displaystyle \ operatorname {arcsec} (z)}	$${\ displaystyle \ operatorname {arccsc} (z)}

Aplicaciones [ editar ]

Soluciones generales [ editar ]

Cada una de las funciones trigonométricas es periódica en la parte real de su argumento, ejecutando todos sus valores dos veces en cada intervalo de 2 π . Sine y cosecant comienzan su período en 2 π k - π/2 (donde k es un número entero), finalícelo en 2 π k + π/2 , y luego se invierten sobre 2 π k + π/2 a 2 π k + 3 π/2 . El coseno y la secante comienzan su período en 2 π k , terminan en 2 πk + π , y luego se invierten sobre 2 π k + π a 2 π k + 2 π . La tangente comienza su período en 2 π k - π/2 , lo termina en 2 π k + π/2 , y luego lo repite (adelante) sobre 2 π k + π/2 a 2 π k + 3 π/2 . Cotangent comienza su período en 2 π k , lo termina en 2 πk + π , y luego lo repite (hacia adelante) sobre 2 π k + π a 2 π k + 2 π .

Esta periodicidad se refleja en los inversos generales donde k es algún número entero:

$${\ displaystyle \ sin (y) = x \; \ Leftrightarrow \; y = \ arcsin (x) +2 \ pi k \; {\ text {or}} \; y = \ pi - \ arcsin (x) + 2 \ pi k

que, escrito en una ecuación, es: $${\ displaystyle \ sin (y) = x \; \ Leftrightarrow \; y = (- 1) ^ {k} \ arcsin (x) + \ pi k.}

$${\ displaystyle \ cos (y) = x \; \ Leftrightarrow \; y = \ arccos (x) +2 \ pi k \; {\ text {o}} \; y = 2 \ pi - \ arccos (x) +2 p pi}

que, escrito en una ecuación, es: $${\ displaystyle \ cos (y) = x \; \ Leftrightarrow \; y = \ pm \ arccos (x) +2 \ pi k.}

$${\ displaystyle \ tan (y) = x \; \ Leftrightarrow \; y = \ arctan (x) + \ pi k}

$${\ displaystyle \ cot (y) = x \; \ Leftrightarrow \; y = \ operatorname {arccot} (x) + \ pi k}

$${\ displaystyle \ sec (y) = x \; \ Leftrightarrow \; y = \ operatorname {arcsec} (x) +2 \ pi k {\ text {or}} y = 2 \ pi - \ operatorname {arcsec} ( x) +2 \ pi k}

$${\ displaystyle \ csc (y) = x \; \ Leftrightarrow \; y = \ operatorname {arccsc} (x) +2 \ pi k {\ text {o}} y = \ pi - \ operatorname {arccsc} (x ) +2 \ pi k}

Aplicación: encontrar el ángulo de un triángulo rectángulo [ editar ]

Un triángulo rectángulo.

Las funciones trigonométricas inversas son útiles cuando se intenta determinar los dos ángulos restantes de un triángulo rectángulo cuando se conocen las longitudes de los lados del triángulo. Recordando las definiciones de triángulo rectángulo de seno y coseno, se deduce que

$${\ displaystyle \ theta = \ arcsin \ left ({\ frac {\ text {opuesto}} {\ text {hypotenuse}}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {\ text {adyacente}} {\ texto {hipotenusa}}} \ derecha).}

A menudo, la hipotenusa es desconocida y debería calcularse antes de usar arcsine o arccosine utilizando el teorema de Pitágoras :$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = h ^ {2}} dónde $${\ displaystyle h}Es la longitud de la hipotenusa. Arctangent es útil en esta situación, ya que no se necesita la duración de la hipotenusa.

$${\ displaystyle \ theta = \ arctan \ left ({\ frac {\ text {opuesto}} {\ text {adyacente}}} \ derecha) \ ,.}

Por ejemplo, supongamos que un techo cae 8 pies cuando se agota 20 pies. El techo forma un ángulo θ con la horizontal, donde θ se puede calcular de la siguiente manera:

$${\ displaystyle \ theta = \ arctan \ left ({\ frac {\ text {opuesto}} {\ text {adyacente}}} \ right) = \ arctan \ left ({\ frac {\ text {rise}} {\ text {run}}} \ right) = \ arctan \ left ({\ frac {8} {20}} \ right) \ approx 21.8 ^ {\ circ} \ ,.}

En ciencias de la computación y la ingeniería [ editar ]

Variante de dos argumentos de arctangent [ editar ]

Artículo principal: atan2

Los dos-argumento atan2 función calcula el arcotangente de y / x dado y y x , pero con una gama de (- π ,  π .] En otras palabras, atan2 ( y ,  x ) es el ángulo entre el positivo x eje x de un plano y el punto ( x ,  y ) en él, con signo positivo para ángulos en sentido contrario a las agujas del reloj (semiplano superior, y  > 0), y signo negativo para ángulos en el sentido de las agujas del reloj (semiplano inferior, y <0 font="" nbsp="">Se introdujo por primera vez en muchos lenguajes de programación informática, pero ahora también es común en otros campos de la ciencia y la ingeniería.

En términos de la función arctan estándar , es decir, con rango de (- π/2 , π/2 ), se puede expresar de la siguiente manera:

{\ displaystyle \ operatorname {atan2} (y, x) = {\ begin {cases} \ arctan ({\ frac {y} {x}}) & \ quad x> 0 \\\ arctan ({\ frac {y } {x}}) + \ pi & \ quad y \ geq 0 \;, \; x <0 -="" amp="" arctan="" frac="" pi="" quad="" x="" y=""> 0 \;, \; x = 0 \\ - {\ frac {\ pi} {2}} & \ quad y <0 amp="" cases="" end="" font="" quad="" text="" undefined="" x="0" y="0">

También es igual al valor principal del argumento del número complejo x  +  i y .

Esta función también se puede definir utilizando las fórmulas de semiángulo tangente de la siguiente manera:

$${\ displaystyle \ operatorname {atan2} (y, x) = 2 \ arctan \ left ({\ frac {y} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} + x}} \ right )}

siempre que x  > 0 o y  ≠ 0. Sin embargo, esto falla si se le da x ≤ 0 e y = 0, por lo que la expresión no es adecuada para uso computacional.

El orden de argumento anterior ( y , x ) parece ser el más común, y en particular se usa en estándares ISO como el lenguaje de programación C , pero algunos autores pueden usar la convención opuesta ( x , y ), por lo que es necesario tener precaución. . Estas variaciones se detallan en atan2 .

Función arctangente con parámetro de ubicación [ editar ]

En muchas aplicaciones ^{[ cuales? ]} la solución$${\ displaystyle y} de la ecuación $${\ displaystyle x = \ tan (y)} es acercarse lo más posible a un valor dado {\ displaystyle - \ infty <\ eta <\ infty}. La solución adecuada es producida por el parámetro modificado función arctangent

$${\ displaystyle y = \ arctan _ {\ eta} (x): = \ arctan (x) + \ pi \ cdot \ operatorname {rni} \ left ({\ frac {\ eta - \ arctan (x)} {\ pi}} \ derecha) \ ,.}

La función $${\ displaystyle \ operatorname {rni}} redondea al entero más cercano.

Precisión numérica [ editar ]

Para ángulos cercanos a 0 y π , la arccosina está mal acondicionada y, por lo tanto, calculará el ángulo con una precisión reducida en una implementación de computadora (debido al número limitado de dígitos). ^[17] Del mismo modo, arcsine es inexacto para ángulos cercanos a π / 2 y π / 2.