TRIGONOMETRÍA

argumento es una función multivalor que opera en los números complejos distintos de cero . Con número complejo zvisualizado como un punto en el plano complejo , el argumento de z es el ángulo entre el positivo verdadero eje y la línea que une el punto al origen, que se muestra como φ en la figura 1 y denotada arg z . Para definir una función de un solo valor, se usa el valor principal del argumento (a veces denotado Arg z ). Se elige para que sea el valor único del argumento que se encuentra dentro del intervalo (–π, π].

Figura 1. Este diagrama de Argandrepresenta los números complejos que se encuentran en un plano . Para cada punto del plano, arg es la función que devuelve el ángulo φ .

Definición [ editar ]

Figura 2. Dos opciones para el argumento φ

Un argumento del número complejo z = x + iy , denotado arg ( z ) , se define de dos maneras equivalentes:

1. Geométricamente, en el plano complejo , como el ángulo φ desde el eje real positivo al vector que representa z . El valor numérico viene dado por el ángulo en radianes y es positivo si se mide en sentido contrario a las agujas del reloj.
2. Algebraicamente, como cualquier cantidad real φ tal que

$${\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi) = re ^ {i \ varphi}}

para alguna r real positiva (ver fórmula de Euler ). La cantidad r es el módulo de z , denotado | z |:

$${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Los nombres de magnitud , para el módulo, y fase , ^[1] para el argumento, a veces se usan de manera equivalente.

Bajo ambas definiciones, se puede ver que el argumento de cualquier número complejo distinto de cero tiene muchos valores posibles: en primer lugar, como un ángulo geométrico, está claro que las rotaciones del círculo completo no cambian el punto, por lo que los ángulos se diferencian por un múltiplo entero de 2π radianes (un círculo completo) son iguales, como se refleja en la figura 2 a la derecha. De manera similar, a partir de la periodicidad de pecado y cos , la segunda definición también tiene esta propiedad. El argumento de cero por lo general queda sin definir.

Valor principal [ editar ]

Figura 3. El valor principal Arg del punto azul en 1 + i es π / 4 . La línea roja aquí es el corte de rama y corresponde a las dos líneas rojas en la figura 4 que se ven verticalmente una sobre la otra.

Debido a que una rotación completa alrededor del origen deja un número complejo sin cambios, hay muchas opciones que podrían hacerse para φ rodeando el origen cualquier número de veces. Esto se muestra en la figura 2, una representación de la función multivalor ( valor establecido)$${\ displaystyle f (x, y) = \ arg (x + iy)}, donde una línea vertical (no mostrada en la figura) corta la superficie a alturas que representan todas las opciones posibles de ángulo para ese punto.

Cuando se requiere una función bien definida , la opción habitual, conocida como valor principal , es el valor en el intervalo abierto-cerrado (−π rad, π rad) , que es de −π a πradianes , excluyendo −π rad en sí (equivalente a −180 a +180 grados , excluyendo a −180 °). Esto representa un ángulo de hasta la mitad de un círculo completo desde el eje real positivo en cualquier dirección.

Algunos autores definen el rango del valor principal como en el intervalo cerrado-abierto [0, 2π) .

Notación [ editar ]

El valor principal a veces tiene la letra inicial en mayúscula como en Arg z , especialmente cuando también se está considerando una versión general del argumento. Tenga en cuenta que la notación varía, por lo que arg y Arg pueden intercambiarse en diferentes textos.

El conjunto de todos los valores posibles del argumento se puede escribir en términos de Arg como:

$${\ displaystyle \ arg (z) = \ {\ operatorname {Arg} (z) +2 \ pi n \; | \; n \ in \ mathbb {Z} \}.}

Igualmente

{\ displaystyle \ operatorname {Arg} (z) = \ {\ arg (z) -2 \ pi n \; | \; n \ in \ mathbb {Z} \ \ land - \ pi <\ operatorname {Arg} ( z) \ leq \ pi \}.}

Computación desde la parte real e imaginaria [ editar ]

Artículo principal: atan2

Si se conoce un número complejo en términos de sus partes reales e imaginarias, entonces la función que calcula el valor principal Arg se denomina función arcotangente de dos argumentos atan2 :

$${\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x + iy) = \ operatorname {atan2} (y, \, x)}.

La función atan2 (también llamada arctan2 u otros sinónimos) está disponible en las bibliotecas matemáticas de muchos lenguajes de programación, y generalmente devuelve un valor en el rango (−π, π) .

Muchos textos dicen que el valor viene dado por arctan ( y / x ) , ya que y / x es pendiente, y arctan convierte pendiente en ángulo. Esto es correcto solamente cuando x > 0 , por lo que se define el cociente y el ángulo se encuentra entre - π / 2 y π / 2 , pero que se extiende esta definición para los casos en que x no es positiva es relativamente involucrados. Específicamente, uno puede definir el valor principal del argumento por separado en los dos semiplanos x > 0 y x <0 font="">(separados en dos cuadrantes si se desea cortar una rama en el eje x negativo ), y > 0 , y <0 font=""> , y luego parchear juntos.

{\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x + iy) = \ operatorname {atan2} (y, \, x) = {\ begin {cases} \ arctan ({\ frac {y} {x}}) & {\ text {if}} x> 0, \\\ arctan ({\ frac {y} {x}}) + \ pi & {\ text {if}} x <0 -="" 0="" amp="" and="" arctan="" frac="" geq="" if="" pi="" text="" x="0" y=""> 0, \\ - {\ frac {\ pi} {2}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {y}} y <0 amp="" and="" cases="" end="" font="" if="" text="" undefined="" x="0" y="0.">

Una expresión compacta con 4 semiplanos superpuestos es

{\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x + iy) = \ operatorname {atan2} (y, \, x) = {\ begin {cases} \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right ) & {\ text {if}} x> 0, \\ {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) & {\ text { if}} y> 0, \\ - {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) & {\ text {if}} y < 0, \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) \ pm \ pi & {\ text {if}} x <0 amp="" and="" cases="" end="" font="" if="" text="" undefined="" x="0" y="0.">

Para la variante en la que Arg se define para estar en el intervalo [0, 2π) , el valor se puede encontrar agregando 2π al valor anterior cuando es negativo.

Alternativamente, el valor principal se puede calcular de manera uniforme utilizando la fórmula de ángulo medio tangente , definiéndose la función sobre el plano complejo pero excluyendo el origen:

{\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x + iy) = {\ begin {cases} 2 \ arctan \ left ({\ frac {y} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} + x}} \ derecha) & {\ text {if}} x> 0 {\ text {o}} y \ neq 0, \\\ pi & {\ text {if}} x <0 amp="" cases="" end="" font="" if="" indefinido="" text="" x="0" y="0.">

Esto se basa en una parametrización del círculo (a excepción del eje x negativo ) mediante funciones racionales. Esta versión de Arg no es lo suficientemente estable para el uso computacional de punto flotante (puede desbordarse cerca de la región x <0 font="" nbsp="">y = 0 ) pero se puede usar en el cálculo simbólico.

Una variante de la última fórmula que evita el desbordamiento se usa a veces en el cálculo de alta precisión:

{\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x + iy) = {\ begin {cases} 2 \ arctan \ left ({\ frac {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - x} {y}} \ right) & {\ text {if}} y \ neq 0, \\ 0 & {\ text {if}} x> 0 {\ text {and}} y = 0, \\\ pi & { \ text {if}} x <0 .="" amp="" and="" cases="" end="" font="" if="" text="" undefined="" x="0" y="0">

Identidades [ editar ]

Una de las principales motivaciones para definir el valor principal Arg es poder escribir números complejos en forma de módulo-argumento. Por lo tanto, para cualquier número complejo z ,

$${\ displaystyle z = \ left | z \ right | e ^ {i \ operatorname {Arg} z}.}

Esto solo es realmente válido si z no es cero, pero puede considerarse válido también para z = 0 si Arg (0) se considera como una forma indeterminada en lugar de como no definido.

Algunas identidades adicionales siguen. Si z ₁ y z ₂ son dos números complejos distintos de cero, entonces

$${\ displaystyle \ operatorname {Arg} (z_ {1} z_ {2}) \ equiv \ operatorname {Arg} (z_ {1}) + \ operatorname {Arg} (z_ {2}) {\ pmod {(- \ pi, \ pi]}},}

$${\ displaystyle \ operatorname {Arg} {\ biggl (} {\ frac {z_ {1}} {z_ {2}}} {\ biggr)} \ equiv \ operatorname {Arg} (z_ {1}) - \ operatorname {Arg} (z_ {2}) {\ pmod {(- \ pi, \ pi]}}.

Si z ≠ 0 y n es cualquier número entero, entonces

$${\ displaystyle \ operatorname {Arg} \ left (z ^ {n} \ right) \ equiv n \ operatorname {Arg} (z) {\ pmod {(- \ pi, \ pi]}}.}

Ejemplo [ editar ]

$${\ Displaystyle \ operatorname {Arg} {\ biggl (} {\ frac {-1-i} {i}} {\ biggr)} = \ operatorname {Arg} (-1-i) - \ operatorname {Arg} ( i) = - {\ frac {3 \ pi} {4}} - {\ frac {\ pi} {2}} = - {\ frac {5 \ pi} {4}}}

Usando el logaritmo complejo [ editar ]

Ya que $${\ displaystyle z = | z | e ^ {\ imath \ theta}} fácilmente se sigue que $${\ displaystyle \ operatorname {Arg} (z) = - \ imath \ ln \ left ({\ frac {z} {| z |}} \ right)}. Esto es útil cuando uno tiene el logaritmo complejo disponible.

La desigualdad de Aristarco (después del astrónomo y matemático griego Aristarco de Samos ; c. 310 - c. 230 BCE) es una ley de trigonometría que establece que si α y β son ángulos agudos (es decir, entre 0 y un ángulo recto) y β  <  α entonces

{\ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ beta}} <{\ frac {\ alpha} {\ beta}} <{\ frac {\ tan \ alpha} {\ tan \ beta}}. }

Ptolomeo utilizó la primera de estas desigualdades mientras construía su tabla de acordes . 

Prueba [ editar ]

La prueba es consecuencia de las desigualdades más conocidas. {\ displaystyle 0 <\ sin (\ alpha) <\ alpha <\ tan (\ alpha)}, {\ displaystyle 0 <\ sin (\ beta) <\ sin (\ alpha) <1 font=""> y {\ displaystyle 1> \ cos (\ beta)> \ cos (\ alpha)> 0}.

Prueba de la primera desigualdad [ editar ]

Usando estas desigualdades podemos primero probar que

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ alpha)} {\ sin (\ beta)}} <{\ frac {\ alpha} {\ beta}}.

Primero notamos que la desigualdad es equivalente a {\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ alpha)} {\ alpha}} <{\ frac {\ sin (\ beta)} {\ beta}}} el cual puede reescribirse como {\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ alpha) - \ sin (\ beta)} {\ alpha - \ beta}} <{\ frac {\ sin (\ beta)} {\ beta}}.

Ahora queremos mostrar que

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ alpha) - \ sin (\ beta)} {\ alpha - \ beta}} <\ cos (\ beta) <{\ frac {\ sin (\ beta)} {\ beta}}.}

La segunda desigualdad es simplemente {\ displaystyle \ beta <\ tan \ beta}. El primero es cierto porque

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ alpha) - \ sin (\ beta)} {\ alpha - \ beta}} = {\ frac {2 \ cdot \ sin \ left ({\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ derecha) \ cos \ izquierda ({\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ derecha)} {\ alpha - \ beta}} <{\ frac {2 \ cdot \ left ({\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ right) \ cdot \ cos (\ beta)} {\ alpha - \ beta}} = \ cos (\ beta).}

Prueba de la segunda desigualdad [ editar ]

Ahora queremos mostrar la segunda desigualdad, es decir, que:

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} <{\ frac {\ tan (\ alpha)} {\ tan (\ beta)}}.}

Primero notamos que debido a las desigualdades iniciales tenemos que:

{\ displaystyle \ beta <\ tan (\ beta) = {\ frac {\ sin (\ beta)} {\ cos (\ beta)}} <{\ frac {\ sin (\ beta)} {\ cos (\ alfa)}}}

En consecuencia, utilizando ese {\ displaystyle 0 <\ alpha - \ beta <\ alpha} en la ecuación anterior (reemplazando $${\ displaystyle \ beta} por {\ displaystyle \ alpha - \ beta <\ alpha}) obtenemos:

{\ displaystyle {\ alpha - \ beta} <{\ frac {\ sin (\ alpha - \ beta)} {\ cos (\ alpha)}} = \ tan (\ alpha) \ cos (\ beta) - \ sin (\ beta).}

Concluimos que

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = {\ frac {\ alpha - \ beta} {\ beta}} + 1 <{\ frac {\ tan (\ alpha) \ cos (\ beta) - \ sin (\ beta)} {\ sin (\ beta)}} + 1 = {\ frac {\ tan (\ alpha)} {\ tan (\ beta)}}.}