Polígonos

ángulo exterior o ángulo externo a un polígono es el ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación del lado adyacente.

En cada vértice de un polígono es posible identificar dos ángulos exteriores, que poseen la misma amplitud. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior que comparte el mismo vértice, por tanto solo tiene sentido cuando el ángulo interior es menor a ${\displaystyle 180^{\circ }}$.

Dado un ángulo interior, ${\displaystyle \alpha }$, el valor del ángulo exterior adyacente será:

${\displaystyle \beta =180^{\circ }-\alpha }$

Los ángulos β, β', δ y δ' son ángulos exteriores de este hexágono irregular. Los ángulos α y β son suplementarios. Como β = β', también son suplementarios α y β'.

Suma de los ángulos exteriores de un polígono simple convexo[editar]

La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360 grados o ${\displaystyle 2\pi }$ radianes cuando se considera solamente un ángulo exterior por cada vértice del polígono, sin importar el número de lados de éste. Cuando se consideran los dos ángulos externos posibles de cada vértice, la suma de todos ellos es igual a ${\displaystyle 720^{\circ }}$ o ${\displaystyle 4\pi }$ rad.

[ocultar]Demostración

Considerando un ángulo exterior por cada vértice de un polígono simple de n lados: Sean ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}:n>2}$ los ángulos interiores del polígono, luego cada ${\displaystyle (180^{\circ }-\alpha _{i})}$ serán los ángulos exteriores correspondientes. Suma de los ángulos interiores: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=(n-2)\times 180^{\circ }}$ Suma de los ángulos exteriores: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{(180^{\circ }-\alpha _{i})}=\sum _{i=1}^{n}{180^{\circ }}-\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=n\times 180^{\circ }-(n-2)\times 180^{\circ }=n\times 180^{\circ }-n\times 180^{\circ }+2\times 180^{\circ }=360^{\circ }}$

Cálculo del ángulo exterior de un polígono regular[editar]

Con base en la regla anterior, se puede calcular el valor en grados de un ángulo externo de un polígono regular dividiendo ${\displaystyle 360^{\circ }}$ entre el número de lados n del polígono.

${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{n}}}$

Así por ejemplo, para un octágono, dividiendo ${\displaystyle 360^{\circ }}$ entre ocho se obtiene que cada ángulo exterior medirá ${\displaystyle 45^{\circ }}$:

${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{8}}=45^{\circ }}$

Ángulo exterior de un Polígono

El ángulo exterior de un polígono está formado por un lado cualquiera y la prolongación del que está a continuación:

En la figura ves un triángulo equilátero cuyo ángulo interior (azul) vale 60º y el exterior (naranja) 120º. La suma de ambos nos da 180º.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180º y la suma de los ángulos exteriores 360º

Puedes comprobar en la figura anterior que al ser un triángulo equilátero, sus ángulos interiores son iguales a 60º.
Los ángulos exteriores serán iguales y si cada uno vale 120º los tres ángulos valdrán

¿CUÁNTO VALE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES DE UN POLÍGONO REGULAR?

Si observas el pentágono que tienes a continuación comprobarás que, además de fijar los valores de los ángulos interiores en color azul, hemos dibujado los valores de los ángulos exteriores en verde:

Puedes comprobar que la suma de un ángulo interior de un polígono con su exterior vale un ÁNGULO LLANO lo que es lo mismo que 180º. Podemos decir también, que  el valor de un ángulo interior de un polígono con el valor de su correspondiente ángulo exterior forman ÁNGULOS ADYACENTES.

La suma de todos los ángulos exteriores  de un polígono es de 360º. En el ejemplo de la figura última 

15.63 Si el ángulo exterior de un polígono vale 70º14’30’’
¿Cuánto vale su correspondiente ángulo interior?

Respuesta: 109º45’30’’

15.64 Si te dicen que el ángulo exterior de un polígono regular vale 36º ¿cuántos lados tiene dicho polígono?

Respuesta: 10 lados

Solución:
Si te dicen que cada ángulo vale 36º y todos valen 360º basta que dividas:

Gráficamente tienes la solución:

Se trata de un decágono regular.15.65 La suma de los ángulos interiores de un polígono regular asciende a 1620º ¿cuántos lados tiene este polígono?Respuesta: 11 lados, endecágono regular Solución:La suma de los ángulos interiores de un polígono regular se obtiene restando dos al número de lados y a esa diferencia la multiplicamos por 180º.
Lo que acabas de leer podemos escribir:

La suma de los áng. int. de un polígono regular = 

ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un vértice común, está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene sólo un ángulo interno por cada vértice.

En el plano euclídeo, si todos los ángulos interiores de un polígono no superan los 180 grados sexagesimales o ${\displaystyle \pi }$radianes, se clasifican como polígonos convexos. Si existe por lo menos un ángulo interior superior a 180 grados o ${\displaystyle \pi }$radianes, se trata de un polígono cóncavo.

Si todos los ángulos interiores de un polígono simple y convexo son iguales y todos sus lados tienen la misma longitud, se trata de un polígono regular. En caso contrario, se trata de un polígono irregular.

Suma de los ángulos interiores de un polígono[editar]

En un polígono simple de n lados, o n ángulos interiores ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$:

Suma de ángulos interiores ${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=180^{\circ }\cdot (n-2)}$

En un polígono regular, todos los ángulos interiores son idénticos por lo que, la medida en grados de un ángulo interno es:

Ángulo interior ${\displaystyle =\alpha _{i}=\dots =\alpha _{n}={\frac {180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}}}$

Los ángulos interiores de un polígono son los ángulos que forman dos lados contiguos y que quedan dentro del polígono. Los ángulos complementarios que quedarían fuera del polígono se llaman ángulos exteriores.

En todos los polígonos convexos, la suma (Θ) de los ángulos interiores (α) viene determinada por el número de lados (N) que tiene éste.

La fórmula que determina dicha suma (en grados sexagesimales) es:

Por lo tanto, cada ángulo interior (α) de un polígono regular será:

Ejercicio 1

ANUNCIOS

¿Qué polígono tiene sus ángulos interiores que suman 540°?

Por lo tanto, tenemos que averiguar el número de lados (N) del polígono sabiendo que la suma de los ángulos interiores es Θ = 540°.

El polígono tendrá 5 lados, por lo tanto es un pentágono.

Ejercicio 2

¿Cuanto mide cada ángulo interior de un octógono regular?

Aplicamos la fórmula para calcular el ángulo interior de polígonos regulares:

Y obtenemos que los ocho ángulos interiores que tiene un octógono regular son de 135°.

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