FÍSICA - CANTIDADES FÍSICAS

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Momento angular
Este giroscopio permanece en posición vertical mientras gira, debido a la conservación de su momento angular.
Simbolos comunes	L
En unidades base SI	kg m 2 s −1 rad -1
Conservado ?	sí
Derivaciones de  otras cantidades.	L = I ω = r × p
Dimensión	M L 2 T −1

Parte de una serie de artículos sobre
Mecanica clasica
$${\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ vec {a}}} Segunda ley del movimiento
Historia Línea de tiempo
Sucursales[mostrar]
Fundamentos[ocultar] Aceleración Momento angular Pareja Principio de D'Alembert Energía  cinético potencial Fuerza Marco de referencia Marco de referencia inercial Impulso Inercia  / Momento de inercia Masa Potencia mecánica Trabajo mecánico Momento Impulso Espacio Velocidad Hora Esfuerzo de torsión Velocidad Trabajo virtual
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v t mi

En física , el momento angular (raramente, momento de momento o momento de rotación ) es el equivalente de rotación del momento lineal . Es una cantidad importante en física porque es una cantidad conservada: el momento angular total de un sistema cerrado permanece constante.

En tres dimensiones , el momento angular para una partícula puntual es un pseudovector r × p , el producto cruzado del vector de posición r de la partícula (en relación con algún origen) y su vector p = m v . Esta definición se puede aplicar a cada punto en continuo como sólidos o fluidos, o campos físicos . A diferencia del momento, el momento angular depende de dónde se elige el origen, ya que la posición de la partícula se mide a partir de él.

Al igual que para la velocidad angular , hay dos tipos especiales de momento angular: el momento angular de giro y el momento angular orbital. El momento angular de giro de un objeto se define como el momento angular alrededor de su centro de coordenadas de masa . El momento angular orbital de un objeto sobre un origen elegido se define como el momento angular del centro de masa sobre el origen. El momento angular total de un objeto es la suma del espín y el momento angular orbital. El vector de momento angular orbital de una partícula es siempre paralelo y directamente proporcional al vector de velocidad angular orbital ωde la partícula, donde la constante de proporcionalidad depende tanto de la masa de la partícula como de su distancia desde el origen. Sin embargo, el momento angular de giro del objeto es proporcional pero no siempre paralelo a la velocidad angular de giro Ω , lo que hace que la constante de proporcionalidad sea un tensor de segundo rango en lugar de un escalar.

El momento angular es aditivo; el momento angular total de cualquier sistema compuesto es la suma (pseudo) vectorial de los momentos angulares de sus partes constituyentes. Para un cuerpo rígido continuo, el momento angular total es la integral de volumen de la densidad del momento angular (es decir, el momento angular por unidad de volumen en el límite a medida que el volumen se reduce a cero) sobre todo el cuerpo.

El par se puede definir como la velocidad de cambio del momento angular, análoga a la fuerza . El par externo neto en cualquier sistema siempre es igual al par total en el sistema; en otras palabras, la suma de todos los pares internos de cualquier sistema siempre es 0 (este es el análogo rotacional de la Tercera Ley de Newton ). Por lo tanto, para un sistema cerrado (donde no hay un par externo neto), el par total en el sistema debe ser 0, lo que significa que el momento angular total del sistema es constante. La conservación del momento angular ayuda a explicar muchos fenómenos observados, por ejemplo, el aumento de la velocidad de rotación de un patinador de figuras en movimiento.a medida que se contraen los brazos del patinador, las altas tasas de rotación de las estrellas de neutrones , el efecto Coriolis y la precesión de los giroscopios . En general, la conservación limita el posible movimiento de un sistema, pero no determina de manera única cuál es el movimiento exacto.

En mecánica cuántica , el momento angular es un operador con valores propios cuantificados. El impulso angular está sujeto al principio de incertidumbre de Heisenberg , lo que significa que en cualquier momento, solo se puede medir un componente con una precisión definida; los otros dos no pueden Debido a esto, resulta que la noción de una partícula elemental (es decir, la excitación de un campo cuántico ) literalmente "girando" sobre un eje no existe. Sin embargo, por razones técnicas, las partículas elementales todavía poseen un momento angular de giro, pero este momento angular no se corresponde con el movimiento de giro en el sentido ordinario.

En mecánica clásica [ editar ]

Definición [ editar ]

Artículos principales: escalar (física) y vector euclidiano.

Momento angular orbital en dos dimensiones [ editar ]

La velocidad de la partícula m con respecto al origen O se puede resolver en componentes paralelos a ( v _∥ ) y perpendiculares a ( v _⊥ ) el vector radio r . El momento angular de m es proporcional a la componente perpendicular v _⊥ de la velocidad, o equivalentemente, a la distancia perpendicular r _⊥ desde el origen.

El momento angular es una cantidad vectorial (más precisamente, un pseudovector ) que representa el producto de la inercia rotacional de un cuerpo y la velocidad de rotación de un eje en particular. Sin embargo, si la trayectoria de la partícula se encuentra en un solo plano , es suficiente descartar la naturaleza vectorial del momento angular y tratarlo como un escalar (más precisamente, un pseudoscalar ). ^{[2] El} momento angular puede considerarse un análogo rotacional del momento lineal . Por lo tanto, donde el momento lineal $${\ displaystyle p}es proporcional a la masa $${\ displaystyle m}y velocidad lineal $${\ displaystyle v},

$${\ displaystyle p = mv,}

momento angular $${\ displaystyle L}Es proporcional al momento de inercia. $${\ displaystyle I}y velocidad angular $${\ displaystyle \ omega}, ^[3]

$${\ displaystyle L = I \ omega.}

A diferencia de la masa, que depende solo de la cantidad de materia, el momento de inercia también depende de la posición del eje de rotación y la forma de la materia. A diferencia de la velocidad lineal, que no depende de la elección del origen, la velocidad angular siempre se mide con respecto a un origen fijo. Por lo tanto, estrictamente hablando,$${\ displaystyle L}debe ser referido como el momento angular relativo a ese centro . ^[4]

Porque $${\ displaystyle I = r ^ {2} m} para una sola partícula y $${\ displaystyle \ omega = {\ frac {v} {r}}} Para movimientos circulares, se puede expandir el momento angular, $${\ displaystyle L = r ^ {2} m \ cdot {\ frac {v} {r}},} y reducido a,

$${\ displaystyle L = rmv,}

El producto del radio de rotación.$${\ displaystyle r}y el momento lineal de la partícula.$${\ displaystyle p = mv}, dónde $${\ displaystyle v}en este caso es la velocidad lineal equivalente (tangencial) en el radio ($${\ displaystyle = r \ omega}).

Este análisis simple también se puede aplicar al movimiento no circular si solo se considera la componente del movimiento que es perpendicular al vector del radio . En ese caso,

$${\ displaystyle L = rmv _ {\ perp},}

dónde $${\ displaystyle v _ {\ perp} = v \ sin (\ theta)}Es el componente perpendicular del movimiento. En expansión,$${\ displaystyle L = rmv \ sin (\ theta),}reorganizar, $${\ displaystyle L = r \ sin (\ theta) mv,} y reduciendo, el momento angular también se puede expresar,

$${\ displaystyle L = r _ {\ perp} mv,}

dónde $${\ displaystyle r _ {\ perp} = r \ sin (\ theta)}es la longitud del brazo del momento , una línea que cae perpendicularmente desde el origen hasta la trayectoria de la partícula. Es esta definición, (longitud del brazo del momento) × (momento lineal) a la que se refiere el término momento del momento . ^[5]

Escalar: momento angular de la mecánica lagrangiana [ editar ]

Otro enfoque es definir el momento angular como el momento conjugado (también llamado momento canónico ) de la coordenada angular$${\ displaystyle \ phi}Expresado en el lagrangiano del sistema mecánico. Considera un sistema mecánico con una masa.$${\ displaystyle m} Limitado a moverse en un circulo de radio. $${\ displaystyle a}en ausencia de cualquier campo de fuerza externo. La energía cinética del sistema es.

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} ma ^ {2} \ omega ^ {2} = {\ frac {1} {2}} ma ^ {2} {\ dot {\ phi}} ^ {2}.}

Y la energía potencial es

$${\ displaystyle U = 0.}

Entonces el lagrangiano es

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ phi, {\ dot {\ phi}} \ right) = TU = {\ frac {1} {2}} ma ^ {2} {\ dot {\ phi}} ^ {2}.}

El momento generalizado "conjugado canónicamente a" la coordenada$${\ displaystyle \ phi} es definido por

$${\ displaystyle p _ {\ phi} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ phi}}}} = ma ^ {2} {\ dot {\ phi}} = I \ omega = L.}

Momento angular orbital en tres dimensiones [ editar ]

Relación entre los vectores de fuerza ( F ), par ( τ ), momento ( p ) y momento angular ( L ) en un sistema giratorio. res el vector de posición .

Para definir completamente el momento angular orbital en tres dimensiones , es necesario conocer la velocidad a la que el vector de posición barre el ángulo, la dirección perpendicular al plano instantáneo de desplazamiento angular y la masa involucrada, así como la distribución de esta masa. en el espacio ^[6] Al conservar esta naturaleza vectorial del momento angular, la naturaleza general de las ecuaciones también se conserva, y puede describir cualquier tipo de movimientotridimensional sobre el centro de rotación: circular , lineal o de otro tipo. En notación vectorial , el momento angular orbital de una partícula puntual En movimiento sobre el origen se define como:

$${\ displaystyle \ mathbf {L} = I {\ boldsymbol {\ omega}},}

dónde

$${\ displaystyle I = r ^ {2} m}Es el momento de inercia para una masa puntual .

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}}}es la velocidad angular orbital de la partícula sobre el origen,

$${\ displaystyle \ mathbf {r}}es el vector de posición de la partícula en relación con el origen,$${\ displaystyle r = \ left \ vert \ mathbf {r} \ right \ vert},

$${\ displaystyle \ mathbf {v}}es la velocidad lineal de la partícula en relación con el origen, y

$${\ displaystyle m}Es la masa de la partícula.

Esto se puede ampliar, reducir y, según las reglas del álgebra vectorial , reorganizar:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {L} & = \ left (r ^ {2} m \ right) \ left ({\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}} \ right) \\ & = m \ left (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} \ right) \\ & = \ mathbf {r} \ times m \ mathbf {v} \ \ & = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}, \ end {alineado}}}

que es el producto cruzado del vector de posición$${\ displaystyle \ mathbf {r}} y el momento lineal $${\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}}de la partícula. Por la definición del producto cruzado, el$${\ displaystyle \ mathbf {L}}vector es perpendicular a ambos$${\ displaystyle \ mathbf {r}} y $${\ displaystyle \ mathbf {p}}. Se dirige de forma perpendicular al plano de desplazamiento angular, como lo indica la regla de la mano derecha , de modo que la velocidad angular se ve en sentido contrario a las agujas del reloj desde la cabeza del vector. A la inversa, la$${\ displaystyle \ mathbf {L}}vector define el plano en el cual$${\ displaystyle \ mathbf {r}} y $${\ displaystyle \ mathbf {p}} mentira.

Al definir un vector unitario $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {u}}}perpendicular al plano de desplazamiento angular, una velocidad angular escalar $${\ displaystyle \ omega}resultados, donde

$${\ displaystyle \ omega \ mathbf {\ hat {u}} = {\ boldsymbol {\ omega}},} y

$${\ displaystyle \ omega = {\ frac {v _ {\ perp}} {r}},} dónde $${\ displaystyle v _ {\ perp}} Es el componente perpendicular del movimiento, como se muestra arriba.

Por lo tanto, las ecuaciones escalares bidimensionales de la sección anterior pueden recibir dirección:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {L} & = I {\ boldsymbol {\ omega}} \\ & = I \ omega \ mathbf {\ hat {u}} \\ & = \ left (r ^ {2} m \ correcto) \ omega \ mathbf {\ hat {u}} \\ & = rmv _ {\ perp} \ mathbf {\ hat {u}} \\ & = r _ {\ perp} mv \ mathbf {\ hat {u}}, \ end {alineado}}}

y $${\ displaystyle \ mathbf {L} = rmv \ mathbf {\ hat {u}}} para movimiento circular, donde todo el movimiento es perpendicular al radio $${\ displaystyle r}.

Discusión [ editar ]

El momento angular se puede describir como el análogo rotacional del momento lineal . Al igual que el impulso lineal, involucra elementos de masa y desplazamiento . A diferencia del momento lineal, también involucra elementos de posición y forma .

Muchos problemas de la física involucran la materia en movimiento sobre un cierto punto en el espacio, ya sea en una rotación real sobre él, o simplemente moviéndose más allá de él, donde se desea saber qué efecto tiene la materia en movimiento en ese punto, ¿puede ejercer energía sobre él? ¿O realizar un trabajo al respecto? La energía , la capacidad de hacer un trabajo , se puede almacenar en la materia al ponerla en movimiento, una combinación de su inercia y su desplazamiento. La inercia se mide por su masa y el desplazamiento por su velocidad . Su producto,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} ({\ text {cantidad de inercia}}) \ times ({\ text {cantidad de desplazamiento}}) & = {\ text {cantidad de (inercia · desplazamiento)}} \\ {\ text {mass}} \ times {\ text {speed}} & = {\ text {momentum}} \\ m \ times v & = p \\\ end {alineado}}}

Es el impulso de la materia . ^{[7] La} referencia de este impulso a un punto central introduce una complicación: el impulso no se aplica directamente al punto. Por ejemplo, una partícula de materia en el borde exterior de una rueda está, en efecto, al final de una palanca de la misma longitud que el radio de la rueda, su impulso hace girar la palanca alrededor del punto central. Esta palanca imaginaria se conoce como el brazo del momento . Tiene el efecto de multiplicar el esfuerzo del impulso en proporción a su duración, un efecto conocido como un momento . Por lo tanto, el impulso de la partícula se refiere a un punto particular,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} ({\ text {moment arm}}) \ times ({\ text {cantidad de inercia}}) \ times ({\ text {cantidad de desplazamiento}}) & = {\ text {momento de (inercia · desplazamiento)}} \\ {\ text {longitud}} \ veces {\ text {masa}} \ veces {\ text {velocidad}} & = {\ text {momento de impulso}} \\ r \ times m \ times v & = L \\\ end {alineado}}}

es el momento angular , a veces llamado, como aquí, el momento de momento de la partícula frente a ese punto central en particular. La ecuacion$${\ displaystyle L = rmv} combina un momento (una misa $${\ displaystyle m} momento de giro del brazo $${\ displaystyle r}) con una velocidad lineal (equivalente en línea recta) $${\ displaystyle v}. La velocidad lineal referida al punto central es simplemente el producto de la distancia.$${\ displaystyle r} y la velocidad angular $${\ displaystyle \ omega} versus el punto: $${\ displaystyle v = r \ omega,}otro momento Por lo tanto, el momento angular contiene un doble momento:$${\ displaystyle L = rmr \ omega.} Simplificando un poco, $${\ displaystyle L = r ^ {2} m \ omega,} la cantidad $${\ displaystyle r ^ {2} m}Es el momento de inercia de la partícula , a veces llamado segundo momento de masa. Es una medida de inercia rotacional. ^[8]

El momento de inercia (mostrado aquí), y por lo tanto el momento angular, es diferente para cada configuración posible de masa y eje de rotación .

Debido a que el momento de inercia es una parte crucial del momento angular de giro, este último incluye necesariamente todas las complicaciones del primero, que se calcula multiplicando los bits elementales de la masa por los cuadrados de sus distancias desde el centro de rotación. ^[9] Por lo tanto, el momento total de inercia, y el momento angular, es una función compleja de la configuración de la materia sobre el centro de rotación y la orientación de la rotación para los distintos bits.

Para un cuerpo rígido , por ejemplo una rueda o un asteroide, la orientación de rotación es simplemente la posición del eje de rotaciónfrente a la materia del cuerpo. Puede o no pasar a través del centro de masa , o puede estar completamente fuera del cuerpo. Para el mismo cuerpo, el momento angular puede tomar un valor diferente para cada eje posible sobre el que pueda tener lugar la rotación. ^[10] Alcanza un mínimo cuando el eje pasa por el centro de masa. ^[11]

Para una colección de objetos que giran alrededor de un centro, por ejemplo, todos los cuerpos del Sistema Solar , las orientaciones pueden ser algo organizadas, como lo es el Sistema Solar, con la mayoría de los ejes de los cuerpos cerca del eje del sistema. Sus orientaciones también pueden ser completamente aleatorias.

En resumen, cuanto más masa y más lejos esté del centro de rotación (cuanto más largo sea el brazo del momento ), mayor será el momento de inercia y, por lo tanto, mayor será el momento angular para una velocidad angular dada . En muchos casos, el momento de inercia , y por lo tanto el momento angular, se puede simplificar mediante, ^[12]

$${\ displaystyle I = k ^ {2} m,}

dónde $${\ displaystyle k}es el radio de giro , la distancia desde el eje en el que toda la masa$${\ displaystyle m} Puede ser considerado como concentrado.

Del mismo modo, para una masa puntual. $${\ displaystyle m}El momento de inercia se define como,

$${\ displaystyle I = r ^ {2} m}

dónde $${\ displaystyle r}es el radio de la masa puntual desde el centro de rotación,

y para cualquier colección de partículas. $${\ displaystyle m_ {i}} como la suma,

$${\ displaystyle \ sum _ {i} I_ {i} = \ sum _ {i} r_ {i} ^ {2} m_ {i}}

La dependencia del momento angular de la posición y la forma se refleja en sus unidades frente al momento lineal: kg · m ² / (rad · s), N · m · s / rad, o J · s / rad para el momento angular versus kg · m / s o N · s para el momento lineal. Las unidades de momento angular pueden interpretarse como torsión · tiempo o energía · tiempo por ángulo. Un objeto con momento angular de L N · m · s puede reducirse a rotación cero (toda la energía de rotación puede transferirse fuera de él) por un impulso angular de L N · m · s ^[13] o, de manera equivalente, por par o trabajo de L N · m por un segundo, o energía de LJ por un segundo. ^[14]

El plano perpendicular al eje del momento angular y que pasa por el centro de masa ^{[15] a} veces se denomina plano invariable , porque la dirección del eje permanece fija si solo las interacciones de los cuerpos dentro del sistema, libres de influencias externas, son considerados. ^[16] Uno de estos planos es el plano invariable del Sistema Solar .

Momento angular y par [ editar ]

Ver también: Torque § Definición y relación con el momento angular.

La segunda ley del movimiento de Newton se puede expresar matemáticamente,

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a},}

o fuerza = masa × aceleración . El equivalente rotacional para partículas puntuales se puede derivar de la siguiente manera:

$${\ displaystyle \ mathbf {L} = I {\ boldsymbol {\ omega}}}

lo que significa que el par (es decir, la derivada del tiempo del momento angular) es

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = {\ frac {dI} {dt}} {\ boldsymbol {\ omega}} + I {\ frac {d {\ boldsymbol {\ omega}}} {dt}} .}

Porque el momento de inercia es $${\ displaystyle mr ^ {2}}, resulta que $${\ displaystyle {\ frac {dI} {dt}} = 2mr {\ frac {dr} {dt}} = 2rp_ {||}}y $${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} = I {\ frac {d {\ boldsymbol {\ omega}}} {dt}} + 2rp_ {||} {\ boldsymbol {\ omega }},} el cual, se reduce a

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = I {\ boldsymbol {\ alpha}} + 2rp_ {||} {\ boldsymbol {\ omega}}.}

Este es el análogo rotacional de la Segunda Ley de Newton. Tenga en cuenta que el par de torsión no es necesariamente proporcional o paralelo a la aceleración angular (como se podría esperar). La razón de esto es que el momento de inercia de una partícula puede cambiar con el tiempo, algo que no puede ocurrir para la masa ordinaria.

Conservación del momento angular [ editar ]

Una patinadora de figuras conserva el momento angular: su velocidad de rotación aumenta a medida que su momento de inercia disminuye al dibujar en sus brazos y piernas.

Un análogo rotacional de la tercera ley de movimiento de Newton podría escribirse: "En un sistema cerrado , no se puede ejercer un par de torsión sobre ninguna materia sin el esfuerzo sobre otra materia de un par igual y opuesto". ^[17] Por lo tanto, el momento angular se puede intercambiar entre objetos en un sistema cerrado, pero el momento angular total antes y después de un intercambio permanece constante (se conserva). ^[18]

Visto de otra manera, podría escribirse un análogo rotacional de la primera ley del movimiento de Newton : "Un cuerpo rígido continúa en un estado de rotación uniforme a menos que sea actuado por una influencia externa". ^[17] Por lo tanto, sin influencia externa para actuar sobre él, el momento angular original del sistema permanece constante . ^[19]

La conservación del momento angular se utiliza para analizar el movimiento de la fuerza central . Si la fuerza neta en algún cuerpo se dirige siempre hacia algún punto, el centro , entonces no hay par en el cuerpo con respecto al centro, ya que toda la fuerza se dirige a lo largo del vector del radio , y ninguna es perpendicular al radio . Matemáticamente, el par$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {0},} porque en este caso $${\ displaystyle \ mathbf {r}} y $${\ displaystyle \ mathbf {F}}Son vectores paralelos. Por lo tanto, el momento angular del cuerpo alrededor del centro es constante. Este es el caso de la atracción gravitatoria en las órbitas de los planetas y satélites , donde la fuerza gravitacional siempre se dirige hacia el cuerpo primario y los cuerpos en órbita conservan el momento angular al intercambiar la distancia y la velocidad a medida que se mueven alrededor del primario. El movimiento de fuerza central también se usa en el análisis del modelo de Bohr del átomo .

Para un planeta, el momento angular se distribuye entre el giro del planeta y su revolución en su órbita, y estos a menudo se intercambian mediante diversos mecanismos. La conservación del momento angular en el sistema Tierra-Luna resulta en la transferencia del momento angular de la Tierra a la Luna, debido al par tidal que la Luna ejerce sobre la Tierra. Esto, a su vez, resulta en la desaceleración de la velocidad de rotación de la Tierra, en aproximadamente 65.7 nanosegundos por día, ^[20] y en un aumento gradual del radio de la órbita de la Luna, en aproximadamente 3.82 centímetros por año. ^[21]

El par causado por las dos fuerzas opuestas F _g y - F _g causa un cambio en el momento angular L en la dirección de ese par (ya que el par es la derivada del tiempo del momento angular). Esto hace que la parte superior de precesión .

La conservación del momento angular explica la aceleración angular de una patinadora sobre hielo cuando acerca sus brazos y piernas al eje vertical de rotación. Al acercar parte de la masa de su cuerpo al eje, disminuye el momento de inercia de su cuerpo. Debido a que el momento angular es el producto del momento de inercia y la velocidad angular , si el momento angular permanece constante (se conserva), entonces la velocidad angular (velocidad de rotación) del patinador debe aumentar.

El mismo fenómeno produce un giro extremadamente rápido de las estrellas compactas (como enanas blancas , estrellas de neutronesy agujeros negros ) cuando se forman a partir de estrellas giratorias mucho más grandes y más lentas. La disminución en el tamaño de un objeto n veces resulta en un aumento de su velocidad angular por el factor de n ² .

La conservación no siempre es una explicación completa de la dinámica de un sistema, pero es una restricción clave. Por ejemplo, una parte superior giratoria está sujeta a un par gravitatorio que lo hace inclinarse y cambiar el momento angular sobre el eje de nutación , pero descuidando la fricción en el punto de contacto giratorio, tiene un momento angular conservado alrededor de su eje giratorio y otro sobre su eje giratorio. eje de precesión . Además, en cualquier sistema planetario , los planetas, estrellas (s), cometas y asteroides pueden moverse de muchas maneras complicadas, pero solo de modo que se conserve el momento angular del sistema.

El teorema de Noether establece que cada ley de conservación está asociada con una simetría (invariante) de la física subyacente. La simetría asociada con la conservación del momento angular es la invariancia rotacional . El hecho de que la física de un sistema no se modifique si se gira por cualquier ángulo alrededor de un eje implica que se conserva el momento angular. ^[22]

El momento angular en mecánica orbital [ editar ]

Artículo principal: Momento angular relativo específico.

En astrodinámica y mecánica celeste , se define un momento angular sin masa (o por unidad de masa ) ^[23]

$${\ displaystyle \ mathbf {h} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v},}

llamado momento angular específico . Tenga en cuenta que$${\ displaystyle \ mathbf {L} = m \ mathbf {h}.} La masa a menudo no es importante en los cálculos de la mecánica orbital, porque el movimiento está definido por la gravedad . El cuerpo primario del sistema a menudo es mucho más grande que cualquier otro cuerpo en movimiento que los cuerpos más pequeños tienen un efecto gravitatorio despreciable en él; es, en efecto, estacionario. Aparentemente, todos los cuerpos son atraídos por su gravedad de la misma manera, independientemente de la masa, y por lo tanto, todos se mueven aproximadamente de la misma manera en las mismas condiciones.

Cuerpos sólidos [ editar ]

Para una distribución de masa continua con función de densidad ρ ( r ), un elemento de volumen diferencial dVcon el vector de posición r dentro de la masa tiene un elemento de masa dm = ρ ( r ) dV . Por lo tanto, el momento angular infinitesimal de este elemento es:

$${\ displaystyle d \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times dm \ mathbf {v} = \ mathbf {r} \ times \ rho (\ mathbf {r}) dV \ mathbf {v} = dV \ mathbf {r} \ times \ rho (\ mathbf {r}) \ mathbf {v}}

e integrar este diferencial sobre el volumen de toda la masa da su momento angular total:

$${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ int _ {V} dV \ mathbf {r} \ times \ rho (\ mathbf {r}) \ mathbf {v}}

En la derivación que sigue, las integrales similares a esta pueden reemplazar las sumas para el caso de masa continua.

Colección de partículas [ editar ]

Centro de masas [ editar ]

El momento angular de las partículas i es la suma de los productos cruzados R × M V + Σ r _i × m _i v _i .

Para una colección de partículas en movimiento sobre un origen arbitrario, es informativo desarrollar la ecuación del momento angular al resolver su movimiento en componentes sobre su propio centro de masa y sobre el origen. Dado,

$${\ displaystyle m_ {i}} es la masa de particula $${\ displaystyle i},

$${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {i}} es el vector de posicion de particula $${\ displaystyle i} vs el origen,

$${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i}} es la velocidad de la partícula $${\ displaystyle i} vs el origen,

$${\ displaystyle \ mathbf {R}} es el vector de posición del centro de masa vs el origen,

$${\ displaystyle \ mathbf {V}} es la velocidad del centro de masa frente al origen,

$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}} es el vector de posicion de particula $${\ displaystyle i} vs el centro de masa,

$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i}} es la velocidad de la partícula $${\ displaystyle i} vs el centro de masa,

La masa total de las partículas es simplemente su suma,

$${\ displaystyle M = \ sum _ {i} m_ {i}.}

El vector de posición del centro de masa está definido por, ^[24]

$${\ displaystyle M \ mathbf {R} = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {R} _ {i}.

Mediante inspección,

$${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {i} = \ mathbf {R} + \ mathbf {r} _ {i}} y $${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + \ mathbf {v} _ {i}.}

El momento angular total de la colección de partículas es la suma del momento angular de cada partícula,

$${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i} \ left (\ mathbf {R} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {V} _ {i} \ right)}     ( 1 )

En expansión $${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {i}},

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {L} & = \ sum _ {i} \ left [\ left (\ mathbf {R} + \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ times m_ { i} \ mathbf {V} _ {i} \ right] \\ & = \ sum _ {i} \ left [\ mathbf {R} \ times m_ {i} \ mathbf {V} _ {i} + \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {V} _ {i} \ right] \ end {alineado}}}

En expansión $${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i}},

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {L} & = \ sum _ {i} \ left [\ mathbf {R} \ times m_ {i} \ left (\ mathbf {V} + \ mathbf {v} _ {i} \ right) + \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} (\ mathbf {V} + \ mathbf {v} _ {i}) \ right] \\ & = \ sum _ {i} \ left [\ mathbf {R} \ times m_ {i} \ mathbf {V} + \ mathbf {R} \ times m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {V} + \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ right] \\ & = \ sum _ { i} \ mathbf {R} \ times m_ {i} \ mathbf {V} + \ sum _ {i} \ mathbf {R} \ times m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} + \ sum _ { i} \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {V} + \ sum _ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ end {alineado}}}

Se puede mostrar que (ver barra lateral),

Pruebalo $${\ displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {0}} {\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {r} _ {i} & = \ mathbf {R} _ {i} - \ mathbf {R} \\ m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} & = m_ {i} \ left (\ mathbf {R} _ {i} - \ mathbf {R} \ right) \\\ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} & = \ sum _ {i} m_ {i} \ left (\ mathbf {R} _ {i} - \ mathbf {R} \ right) \\ & = \ sum _ {i} (m_ {i} \ mathbf {R } _ {i} -m_ {i} \ mathbf {R}) \\ & = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {R} _ {i} - \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {R} \\ & = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {R} _ {i} - \ left (\ sum _ {i} m_ {i} \ right) \ mathbf {R} \\ & = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {R} _ {i} -M \ mathbf {R} \ end {alineado}}} que, por la definición del centro de masa, es $${\ displaystyle \ mathbf {0},} y de manera similar para $${\ displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i}.}

$${\ displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {0}} y $${\ displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = \ mathbf {0},}

por lo tanto, los términos segundo y tercero desaparecen,

$${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i} \ mathbf {R} \ times m_ {i} \ mathbf {V} + \ sum _ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v} _ {i}.}

El primer término puede ser reorganizado,

$${\ displaystyle \ sum _ {i} \ mathbf {R} \ times m_ {i} \ mathbf {V} = \ mathbf {R} \ times \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {V} = \ mathbf {R} \ veces M \ mathbf {V},}

y el momento angular total para la colección de partículas es finalmente, ^[25]

$${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {R} \ times M \ mathbf {V} + \ sum _ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v} _ {yo}}     ( 2 )

El primer término es el momento angular del centro de masa en relación con el origen. Similar a una sola partícula , a continuación, es el momento angular de una partícula de masa M en el centro de masa se mueve con velocidad V . El segundo término es el momento angular de las partículas que se mueven en relación con el centro de masa, similar al centro de masa fijo , a continuación. El resultado es general: el movimiento de las partículas no se limita a la rotación o revolución sobre el origen o centro de masa. Las partículas no necesitan ser masas individuales, sino que pueden ser elementos de una distribución continua, como un cuerpo sólido.

Reorganizando la ecuación ( 2 ) por identidades de vectores, multiplicando ambos términos por "uno", y agrupando apropiadamente,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {L} & = M (\ mathbf {R} \ times \ mathbf {V}) + \ sum _ {i} \ left [m_ {i} \ left (\ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {v} _ {i} \ right) \ right], \\ & = {\ frac {R ^ {2}} {R ^ {2}}} M \ left (\ mathbf {R} \ times \ mathbf {V} \ right) + \ sum _ {i} \ left [{\ frac {r_ {i} ^ {2}} {r_ {i} ^ {2}}} m_ {i} \ left (\ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {v} _ {i} \ right) \ right], \\ & = R ^ {2} M \ left ({\ frac {\ mathbf {R} \ times \ mathbf {V}} {R ^ {2}}} \ right) + \ sum _ {i} \ left [r_ {i} ^ {2} m_ {i} \ left ( {\ frac {\ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {v} _ {i}} {r_ {i} ^ {2}}} \ right) \ right], \\\ end {alineado} }}

Da el momento angular total del sistema de partículas en términos de momento de inercia. $${\ displaystyle I}y velocidad angular $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}},

$${\ displaystyle \ mathbf {L} = I_ {R} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {R} + \ sum _ {i} I_ {i} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {i}.}     ( 3 )

Simplificaciones [ editar ]

Partícula única [ editar ]

En el caso de una sola partícula moviéndose sobre el origen arbitrario,

$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {v} _ {i} = \ mathbf {0},}

$${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {R},}

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {V},}

$${\ displaystyle m = M,}

$${\ displaystyle \ sum _ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = \ mathbf {0},}

$${\ displaystyle \ sum _ {i} I_ {i} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {i} = \ mathbf {0},}y las ecuaciones ( 2 ) y ( 3 ) para el momento angular total se reducen a,

$${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {R} \ times m \ mathbf {V} = I_ {R} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {R}.}

Centro de masa fijo [ editar ]

Para el caso del centro de masa fijado en el espacio con respecto al origen,

$${\ displaystyle \ mathbf {V} = \ mathbf {0},}

$${\ displaystyle \ mathbf {R} \ times M \ mathbf {V} = \ mathbf {0},}

$${\ displaystyle I_ {R} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {R} = \ mathbf {0},}y las ecuaciones ( 2 ) y ( 3 ) para el momento angular total se reducen a,

$${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = \ sum _ {i} I_ {i} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {i}.}

Momento angular (definición moderna) [ editar ]

El momento 3-angular como un bivector(elemento plano) y un vector axial , de una partícula de masa m con 3 posiciones instantáneas x y 3 momentos p .

En la física teórica moderna (siglo XX), el momento angular (sin incluir ningún momento angular intrínseco, ver más abajo ) se describe utilizando un formalismo diferente, en lugar de un pseudovector clásico . En este formalismo, el momento angular es la carga Noether de 2 formas asociada con la invariancia rotacional. Como resultado, el momento angular no se conserva para tiempos espaciales curvos generales , a menos que resulte asintóticamente invariante rotacionalmente. ^{[ cita requerida ]}

En la mecánica clásica, el momento angular de una partícula se puede reinterpretar como un elemento plano:

$${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {p} \ ,,}

en el que el producto exterior ∧ reemplaza al producto cruzado × (estos productos tienen características similares pero no son equivalentes). Esto tiene la ventaja de una interpretación geométrica más clara como un elemento plano, definido a partir de los vectores x y p , y la expresión es verdadera en cualquier número de dimensiones (dos o más). En coordenadas cartesianas:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {L} & = \ left (xp_ {y} -yp_ {x} \ right) \ mathbf {e} _ {x} \ wedge \ mathbf {e} _ {y } + \ left (yp_ {z} -zp_ {y} \ right) \ mathbf {e} _ {y} \ wedge \ mathbf {e} _ {z} + \ left (zp_ {x} -xp_ {z} \ right) \ mathbf {e} _ {z} \ wedge \ mathbf {e} _ {x} \\ & = L_ {xy} \ mathbf {e} _ {x} \ wedge \ mathbf {e} _ {y } + L_ {yz} \ mathbf {e} _ {y} \ wedge \ mathbf {e} _ {z} + L_ {zx} \ mathbf {e} _ {z} \ wedge \ mathbf {e} _ {x } \ ,, \ end {alineado}}}

o más compacto en notación de índice:

$${\ displaystyle L_ {ij} = x_ {i} p_ {j} -x_ {j} p_ {i} \ ,.}

La velocidad angular también se puede definir como un tensor antisimétrico de segundo orden, con componentes ω _ij . La relación entre los dos tensores antisimétricos viene dada por el momento de inercia, que ahora debe ser un tensor de cuarto orden: ^[26]

$${\ displaystyle L_ {ij} = I_ {ijk \ ell} \ omega _ {k \ ell} \ ,.}

De nuevo, esta ecuación en L y ω como tensores es verdadera en cualquier número de dimensiones. Esta ecuación también aparece en el formalismo de álgebra geométrica , en la que L y ω son bivectores, y el momento de inercia es un mapeo entre ellos.

En la mecánica relativista , el momento angular relativista de una partícula se expresa como un tensor antisimétrico de segundo orden:

$${\ displaystyle M _ {\ alpha \ beta} = X _ {\ alpha} P _ {\ beta} -X _ {\ beta} P _ {\ alpha}}

en el lenguaje de los cuatro vectores , es decir, las cuatro posiciones X y los cuatro momentos P , y absorbe la Lanterior junto con el movimiento del centro de masa de la partícula.

En cada uno de los casos anteriores, para un sistema de partículas, el momento angular total es solo la suma de las partículas angulares individuales y el centro de masa es para el sistema.

En la mecánica cuántica [ editar ]

Artículo principal: Operador de momento angular

El momento angular en la mecánica cuántica difiere en muchos aspectos profundos del momento angular en la mecánica clásica . En la mecánica cuántica relativista , difiere aún más, en la que la definición relativista anterior se convierte en un operador tensorial.

Vuelta, orbital y momento angular total [ editar ]

Artículo principal: Spin (física)

Momenta angular de un objeto clásico .

• Izquierda: el momento angular "de giro" S es realmente el momento angular orbital del objeto en cada punto.
• Derecha: momento angular orbital extrínseco L sobre un eje.
• Arriba: el momento de inercia del tensor I y la velocidad angular ω ( L no siempre es paralelo a ω ). ^[27]
• Parte inferior: momento p y su posición radial r desde el eje. El momento angular total (giro más orbital) es J . Para una partícula cuántica las interpretaciones son diferentes; giro de partículas no no tiene la interpretación anterior.

La definición clásica de momento angular como $${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}puede trasladarse a la mecánica cuántica, reinterpretando r como el operador de posición cuántica y p como el operador de momentocuántico . L es entonces un operador , específicamente llamado operador de momento angular orbital . Los componentes del operador de momento angular satisfacen las relaciones de conmutación del álgebra de Lie (3). De hecho, estos operadores son precisamente la acción infinitesimal del grupo de rotación en el espacio cuántico de Hilbert. ^[28] (Véase también la discusión a continuación de los operadores de momento angular como los generadores de rotaciones).

Sin embargo, en la física cuántica, hay otro tipo de momento angular, llamada momento angular de espín , representada por el operador de espín S . Casi todas las partículas elementales tienen espín. El giro se representa a menudo como una partícula que gira literalmente alrededor de un eje, pero es una imagen engañosa e inexacta: el giro es una propiedad intrínseca de una partícula, no relacionada con ningún tipo de movimiento en el espacio y fundamentalmente diferente del momento angular orbital. Todas las partículas elementales tienen un giro característico, por ejemplo, los electrones tienen "giro 1/2" (esto en realidad significa "giro ħ / 2"), mientras que los fotones tienen "giro 1" (esto en realidad significa "giro ħ").

Finalmente, hay un momento angular total J , que combina el giro y el momento angular orbital de todas las partículas y campos. (Para una partícula, J = L + S ). La conservación del momento angular se aplica a J , pero no a L o S ; por ejemplo, la interacción giro-órbita permite que el momento angular se transfiera entre L y S , con el total restante constante. Los electrones y los fotones no necesitan tener valores basados ​​en números enteros para el momento angular total, pero también pueden tener valores fraccionarios. ^[29]

Cuantización [ editar ]

En mecánica cuántica , el momento angular se cuantifica , es decir, no puede variar continuamente, sino solo en " saltos cuánticos " entre ciertos valores permitidos. Para cualquier sistema, se aplican las siguientes restricciones a los resultados de medición, donde$${\ displaystyle \ hbar}es la constante de Planck reducida y$${\ displaystyle {\ hat {n}}}es cualquier vector euclídeo como x, y o z:

Si mides ...	El resultado puede ser ...
$${\ displaystyle L _ {\ hat {n}}}	$${\ displaystyle \ ldots, -2 \ hbar, - \ hbar, 0, \ hbar, 2 \ hbar, \ ldots}
$${\ displaystyle S _ {\ hat {n}}} o $${\ displaystyle J _ {\ hat {n}}}	$${\ displaystyle \ ldots, - {\ frac {3} {2}} \ hbar, - \ hbar, - {\ frac {1} {2}} \ hbar, 0, {\ frac {1} {2}} \ hbar, \ hbar, {\ frac {3} {2}} \ hbar, \ ldots}
{\ displaystyle {\ begin {alineado} & L ^ {2} \\ = {} & L_ {x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2} \ end {alineado} }}	$${\ displaystyle \ left [\ hbar ^ {2} n (n + 1) \ right]}, dónde $${\ displaystyle n = 0,1,2, \ ldots}
$${\ displaystyle S ^ {2}} o $${\ displaystyle J ^ {2}}	$${\ displaystyle \ left [\ hbar ^ {2} n (n + 1) \ right]}, dónde $${\ displaystyle n = 0, {\ frac {1} {2}}, 1, {\ frac {3} {2}}, \ ldots}

En esta onda estacionaria en una cuerda circular, el círculo se divide en exactamente 8 longitudes de onda . Una onda estacionaria como esta puede tener 0,1,2, o cualquier número entero de longitudes de onda alrededor del círculo, pero no puede tener un número no entero de longitudes de onda como 8.3. En mecánica cuántica, el momento angular se cuantifica por una razón similar.

(También hay restricciones adicionales, ver operador de momento angular para más detalles).

La constante de Planck reducida. $${\ displaystyle \ hbar}es pequeño según los estándares diarios, aproximadamente 10 ⁻³⁴ J s , y por lo tanto esta cuantización no afecta notablemente el momento angular de los objetos macroscópicos. Sin embargo, es muy importante en el mundo microscópico. Por ejemplo, la estructura de las capas y subcasas de electrones en la química se ve afectada significativamente por la cuantización del momento angular.

La cuantización del momento angular fue postulada por primera vez por Niels Bohr en su modelo de Bohr del átomo y luego fue predicha por Erwin Schrödinger en su ecuación de Schrödinger .

Incertidumbre [ editar ]

En la definicion $${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}, seis operadores están involucrados: los operadores de posición $${\ displaystyle r_ {x}}, $${\ displaystyle r_ {y}}, $${\ displaystyle r_ {z}}, y los operadores de impulso $${\ displaystyle p_ {x}}, $${\ displaystyle p_ {y}}, $${\ displaystyle p_ {z}}. Sin embargo, el principio de incertidumbre de Heisenberg nos dice que no es posible que estas seis cantidades se conozcan simultáneamente con precisión arbitraria. Por lo tanto, hay límites a lo que se puede conocer o medir sobre el momento angular de una partícula. Resulta que lo mejor que se puede hacer es medir simultáneamente la magnitud del vector de momento angular y su componente a lo largo de un eje.

La incertidumbre está estrechamente relacionada con el hecho de que los diferentes componentes de un operador de momento angular no se conmutan , por ejemplo$${\ displaystyle L_ {x} L_ {y} \ neq L_ {y} L_ {x}}. (Para las relaciones de conmutación precisas , ver operador de momento angular .)

Momento angular total como generador de rotaciones [ editar ]

Como se mencionó anteriormente, el momento angular orbital L se define como en la mecánica clásica:$${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}, pero el momento angular total J se define de una manera diferente, más básica: J se define como el "generador de rotaciones". ^[30] Más específicamente, J se define para que el operador

$${\ displaystyle R ({\ hat {n}}, \ phi) \ equiv \ exp \ left (- {\ frac {i} {\ hbar}} \ phi \, \ mathbf {J} \ cdot {\ hat { \ mathbf {n}}} \ right)}

Es el operador de rotación que toma cualquier sistema y lo gira por ángulo.$${\ displaystyle \ phi} sobre el eje $${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}. (La "exp" en la fórmula se refiere al operador exponencial ) Para poner esto al revés, sea cual sea nuestro espacio cuántico de Hilbert, esperamos que el grupo de rotación SO (3) actúe sobre él. Entonces hay una acción asociada del álgebra de Lie así que (3) de SO (3); los operadores que describen la acción de so (3) en nuestro espacio de Hilbert son los operadores de momento angular (total).

La relación entre el operador de momento angular y los operadores de rotación es la misma que la relación entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie en matemáticas. La estrecha relación entre el momento angular y las rotaciones se refleja en el teorema de Noether que demuestra que el momento angular se conserva siempre que las leyes de la física son invariantes en el giro.

En electrodinámica [ editar ]

Ver también: Momentum (Partícula en campo)

Cuando se describe el movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético , el momento canónico P (derivado del Lagrangiano para este sistema) no es invariante del indicador . Como consecuencia, el momento angular canónico L = r × P tampoco es invariante de calibre. En cambio, el impulso que es físico, el llamado impulso cinético (usado en este artículo), es (en unidades SI )

$${\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v} = \ mathbf {P} -e \ mathbf {A}}

donde e es la carga eléctrica de la partícula y A el potencial magnético vectorial del campo electromagnético. El momento angular invariante del indicador , que es el momento angular cinético , está dado por

$${\ displaystyle \ mathbf {K} = \ mathbf {r} \ times (\ mathbf {P} -e \ mathbf {A})}

La interacción con la mecánica cuántica se discute más a fondo en el artículo sobre relaciones de conmutación canónicas .

En óptica [ editar ]

En la electrodinámica de Maxwell clásica, el vector Poynting es una densidad de momento lineal del campo electromagnético. ^[31]

$${\ displaystyle \ mathbf {S} (\ mathbf {r}, t) = \ epsilon _ {0} c ^ {2} \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) \ times \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t).}

El vector de densidad de momento angular $${\ displaystyle \ mathbf {L} (\ mathbf {r}, t)}viene dado por un producto vectorial como en la mecánica clásica: ^[32]

$${\ displaystyle \ mathbf {L} (\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {S} (\ mathbf {r}, t).}

Las identidades anteriores son válidas localmente , es decir, en cada punto del espacio$${\ displaystyle \ mathbf {r}} en un momento dado $${\ displaystyle t}.

Historia [ editar ]

Newton , en los Principia , insinuó un momento angular en sus ejemplos de la Primera Ley del Movimiento ,

Una parte superior, cuyas partes por su cohesión son constantemente alejadas de los movimientos rectilíneos, no cesa su rotación, a no ser que sea retardada por el aire. Los cuerpos más grandes de los planetas y cometas, que se encuentran con menos resistencia en más espacios libres, conservan sus movimientos tanto progresivos como circulares durante mucho más tiempo. ^[33]

No investigó más el momento angular directamente en los Principia ,

De este tipo de reflexiones también surgen a veces los movimientos circulares de los cuerpos sobre sus propios centros. Pero estos son casos que no considero a continuación; y sería demasiado tedioso demostrar cada particular que se relaciona con este tema. ^[34]

Sin embargo, su prueba geométrica de la ley de áreas es un ejemplo sobresaliente del genio de Newton, y demuestra indirectamente la conservación del momento angular en el caso de una fuerza central .

La Ley de Áreas [ editar ]

Artículos principales: Problema clásico de la fuerza central y Velocidad de área.

Derivación de Newton [ editar ]

Derivación de Newton de la ley de área usando medios geométricos.

Cuando un planeta orbita alrededor del Sol , la línea entre el Sol y el planeta arrastra áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. Esto se sabía desde que Kepler expuso su segunda ley del movimiento planetario . Newton obtuvo una prueba geométrica única, y demostró que la fuerza atractiva de la gravedad del Sol era la causa de todas las leyes de Kepler.

Durante el primer intervalo de tiempo, un objeto está en movimiento desde el punto A al punto B . Sin ser molestado, continuaría apuntando c durante el segundo intervalo. Cuando el objeto llega a B , que recibe un impulso dirigido hacia el punto S . El impulso le da una pequeña velocidad agregada hacia S , de modo que si esta fuera su única velocidad, se movería de B a Vdurante el segundo intervalo. Por las reglas de composición de la velocidad , estas dos velocidades se suman, y el punto C se encuentra mediante la construcción del paralelogramo BcCV. De este modo, la trayectoria del objeto se desvía por el impulso de modo que llegue al punto C al final del segundo intervalo. Debido a que los triángulos SBc y SBC tienen la misma base SB y la misma altura Bc o VC , tienen la misma área. Por simetría, el triángulo SBc también tiene la misma área que el triángulo SAB , por lo tanto, el objeto ha barrido áreas iguales SAB y SBC en tiempos iguales.

En el punto C , el objeto recibe otro impulso hacia S , otra vez desviando su trayectoria durante el tercer intervalo de d a D . Por lo tanto, continúa hacia E y más allá, los triángulos SAB , SBc , SBC , SCd , SCD , SDe , SDEtienen la misma área. Al permitir que los intervalos de tiempo se vuelvan cada vez más pequeños, la ruta ABCDE se acerca indefinidamente a una curva continua.

Tenga en cuenta que debido a que esta derivación es geométrica y no se aplica una fuerza específica, esto prueba una ley más general que la segunda ley de movimiento planetario de Kepler. Muestra que la Ley de Áreas se aplica a cualquier fuerza central, atractiva o repulsiva, continua o no continua, o cero.

Conservación del momento angular en la Ley de Áreas [ editar ]

La proporcionalidad del momento angular con respecto al área barrida por un objeto en movimiento puede entenderse al darse cuenta de que las bases de los triángulos, es decir, las líneas desde S hasta el objeto, son equivalentes al radio r , y que las alturas de los triángulos son proporcionales a la componente perpendicular de la velocidad v _⊥ . Por lo tanto, si el área barrida por unidad de tiempo es constante, entonces por la fórmula triangular área de 1/2 (base) (altura) , el producto (base) (altura) y por lo tanto el producto rv _⊥ son constantes: si r y la base la longitud disminuye, v _⊥y la altura debe aumentar proporcionalmente. La masa es constante, por lo tanto, el momento angular rmv _⊥ se conserva mediante este intercambio de distancia y velocidad.

En el caso de triángulo SBC , el área es igual a 1/2 ( SB ) ( VC ). Dondequiera que C se encuentre finalmente debido al impulso aplicado en B , el producto ( SB ) ( VC ) y, por lo tanto, rmv _⊥ permanecen constantes. Del mismo modo para cada uno de los triángulos.

Después de Newton [ editar ]

Leonhard Euler , Daniel Bernoulli y Patrick d'Arcy entendieron el momento angular en términos de conservación de la velocidad de área , como resultado de su análisis de la segunda ley de movimiento planetario de Kepler. Es improbable que se dieran cuenta de las implicaciones para la materia en rotación ordinaria. ^[35]

En 1736, Euler, al igual que Newton, tocó algunas de las ecuaciones del momento angular en su Mechanica sin desarrollarlas más. ^[36]

Bernoulli escribió en una carta de 1744 de un "momento de movimiento de rotación", posiblemente la primera concepción del momento angular como lo entendemos ahora. ^[37]

En 1799, Pierre-Simon Laplace se dio cuenta por primera vez de que un plano fijo estaba asociado con la rotación: su plano invariable .

Louis Poinsot en 1803 comenzó a representar las rotaciones como un segmento de línea perpendicular a la rotación, y elaboró ​​sobre la "conservación de los momentos".

En 1852, Léon Foucault utilizó un giroscopio en un experimento para mostrar la rotación de la Tierra.

El Manual de 1858 de Mecánica Aplicada de William JM Rankine definió el momento angular en el sentido moderno por primera vez:

... una línea cuya longitud es proporcional a la magnitud del momento angular, y cuya dirección es perpendicular al plano de movimiento del cuerpo y del punto fijo, y tal, que cuando el movimiento del cuerpo se ve desde el Extremo de la línea, el radio-vector del cuerpo parece tener rotación hacia la derecha.