GEOMETRÍA DINÁMICA

 Círculo de ocho puntos

Considere un cuadrángulo convexo [ortodiagonal]. Esto se caracteriza por tener sus diagonales ortogonales. Luego, los 4 medianos laterales E, F, G, H y los 4 pies K, L, J, I de los perpendiculares de estos a los lados opuestos están en un círculo.

La prueba es una consecuencia del hecho de que el paralelogramo p = EFGH, con vértices en el centro de los lados es un rectángulo. Luego, los pies, como en el ejemplo L, ven una [FH] diagonal de p bajo un ángulo recto, etc. 
Observe que estas perpendiculares se intersecan mutuamente en las diagonales del cuadrilátero inicial. Esto se ve, por ejemplo en P, por el hecho de que ángulo (PAK) = ángulo (PIK) = ángulo (DGH), persiguiendo los cuadriláteros cíclicos AKPI y KGHI. Por lo tanto, por paralelismo, AP es perpendicular a FG y debe pasar por M. Consulte el archivo Orthodiagonal.html para una discusión más detalladadel tema.

 Parabológrafo eindvardts link-gear

Un mecanismo de enlace para trazar una parábola. Utiliza un deslizador C que se mueve a lo largo de una línea, representando la directriz de la parábola. Un enlace rombo con el lado d conecta el punto C con el foco A de la parábola. El deslizador D se mueve a lo largo de la línea vertical CD conectada por un par de giro a la diagonal del rombo. La línea diagonal del rombo es simultáneamente la tangente de la parábola en D. 
Tomado de Atobolevsky vol. II, p. 156

		Definición de euforia Estas son proyectividades caracterizadas por la existencia de una línea (a) que consiste completamente en puntos fijos, no existe otro punto fijo fuera de esta línea, y un punto especial A en esta línea , demodo que todas las líneas a través de A permanecen invariantes bajo el mapa. La línea (a) se llama eje y el punto A es el centro de la euforia.  Se puede demostrar fácilmente que el requisito de tener un punto A tal que todas las líneas a través de él permanezcan invariantes es redundante. Está implícito en la propiedad del eje incluir todos los puntos fijos del mapa y no tener otros puntos fijos afuera. De hecho, considere dos puntos {D, E} y sus imágenes {D '= F (D), E' = F (E)} bajo la euforia. Las líneas {DD ', EE'} son invariantes bajo F y deben intersecarse en un punto A en el eje (a) de la euforia. Si este no fuera el caso y A fuera (a), entonces A, siendo el punto de intersección de dos líneas invariantes, sería fijo y fuera (a) contradeciría la suposición sobre F.  2. Composición de homologías armónicas. [1] El producto F C = F B F A (composición de transformaciones) de dos perspectivas armónicas F A , F B con el mismo eje (e) y diferentes centros A, B es una elación (F C ) con eje (e ) y centre el punto de intersección C de (e) y la línea AB.  [2] El producto F'= F A F B de los perspectivities armónico de la perspectivities anteriores F A , F B en el orden inverso es la inversa de F C . También es una euforia con el mismo centro C y eje (e) pero diferente de F C. Para cada punto X, las imágenes Z = F C (X), Z * = F '(X) son conjugados armónicos con respecto a {X, C}.  [3] El mapa Z -> Z * es el conmutador F '(F C ) -1 = (F A F B ) 2 = F' 2 , que es también una elación con el mismo centro y eje como F C . Tome Y = F A (X), Z = F B (Y) para un punto arbitrario X. Los puntos {X, Z, C} son colineales ya que (X, Y, A, X ') = (Y, Z, B , Y ') = - 1. Esto prueba [1]. El punto X * = F B (X) está en la línea CY debido a la relación armónica. La línea X * Z se interseca (e) en W, que es la intersección de las líneas {AX, e} debido al paquete armónico en C. Por el mismo motivo (X *, Z, W, W ') = - 1, por proyectando desde X => (B, C, A, W ') = - 1 y proyectando esto desde X * => (C, X, Z, Z *) = - 1. [3] se desprende de lo anterior.  3. composición de la euforia [1] El producto G de una elación F E , con el centro de E, y una perspectivity armónico F C , con el centro C, los dos mapas que comparten el mismo eje (a), es un perspectivity armónico F D . El centro D de F D está en la línea EC.  [2] Cada euforia F E es el producto de dos perspectivas armónicas F C * F D , las dos perspectividades comparten con F E el mismo eje. Esta descomposición se puede hacer de infinitas maneras seleccionando un punto C arbitrariamente, fuera del eje (a) de la euforia.  [3] El producto de tres perspectivas armónicas que comparten el mismo eje (a) y que tienen sus centros alineados {A, B, C} es una perspectiva armónica.  Line CE es invariante bajo la composición G = F C F E . El punto E es un punto fijo de G. Por lo tanto, G restringido en CE está representado por una transformación de Moebius (ax) / (cx + d), tomando x = 0 para representar E. Entonces el otro punto fijo satisfará cx + (da) = 0, y desde (da) 2es el determinante de la transformación de Moebius en este caso, habrá un segundo punto fijo en x = (ad) / c. Por lo tanto, la composición G fijará la línea (a) y el punto D en CE correspondiente a este valor para x. Así, G será una homología. Entonces se ve fácilmente que el coeficiente de homología será -1 considerando la relación cruzada (C, Z ', Z, V) = - 1, que según la definición de perspectividad armónica en C, implica a través de la proyección radial desde E que ( V ', D, X, V) = - 1. Por lo tanto el mapa es una perspectiva armónica. Esto prueba [1]. [2,3] son ​​consecuencias de [1].  4. Observaciones Observación-1 La figura anterior muestra la representación de la euforia como un producto de dos perspectivas armónicas {F A , F B } con eje común. Y = F A (X), Z = F B (X), V = F C (X).  Observación-2 La siguiente figura muestra la aplicación F (C) = D definida por una línea (a) y dos puntos {A, B} que no están en ella. Se obtiene al construir la primera F como intersección de (a) y BC y luego tomar la intersección D de las líneas {EC, AF}. Este mapa es idéntico a la euforia con el eje (a), el centro E y el mapeo B a A. Sin embargo, esta euforia no es una de {F B F A , F A F B }. Nota-3 Una euforia con el eje (a) y el centro E, como anteriormente, no puede tener un segundo punto fijo E 'diferente de E a lo largo de AB. Esto contradeciría su definición. En consecuencia, la línea-proyectividad (f) inducida en las líneas invariantes que pasan por E no puede ser una involución. Esto implicaría la existencia de un segundo punto fijo en la línea AB.  Observación-4 Seleccionando una base proyectiva en la línea AB podemos representar (f) de la observación anterior a través de una transformación de Moebius. Esto, de acuerdo con la observación 3, tendrá solo un punto fijo (E) en la línea BC, por lo que es una transformada de Moebius parabólica .