GEOMETRÍA DINÁMICA

 Matrices elementales como proyectividades.

Como las proyectividades están representadas por matrices, es razonable examinar algunos ejemplos provenientes de matrices particulares. A continuación se presenta una serie de dichas matrices junto con la descripción de su acción. 
A continuación, examino el efecto de las matrices simétricas elementales en una base proyectiva y encuentro el tipo de mapa proyectivo que define.

Todos los puntos de la línea x = 0 (yB + zC) permanecen fijos. También el punto A se fija bajo el mapa F, que es una homología con el centro en A, eje de la línea x = 0 y coeficiente de homología 1 / k. 
Interpretación análoga en el caso k toma el lugar de otra entrada diagonal.

Todos los puntos de la línea z = 0 permanecen fijos. Todas las líneas a través del punto O = aA + bB permanecen invariantes. 
De ahí que el mapa sea en este caso una euforia . Para ver la invariancia de las líneas a través de O, escriba dicha línea en forma paramétrica. 
P _t = aA + bB + t (uA + vB + wC) = (a + tu) A + (b + tv) B + (twC) y aplica a esto la transformación que da la línea Q _t = (a + tu + atw) A + (b + tv + btw) B + twC = a (1 + tw) A + b (1 + tw) B + t (uA + vB + wC) = (aA + bB) + [t / (1 + tw )] (uA + vB + wC). Más adelante, ya que los puntos no cambian al multiplicarse con una constante (no cero).

Todos los puntos de la línea y = 0 permanecen fijos. Todas las líneas a través del punto C permanecen invariantes. De ahí que el mapa sea en este caso también una euforia .

Una proyectividad del periodo 2, de ahí una homología armónica . Fijando el punto C y los puntos D (1,1,1) y E (1,1,0), todos en la línea xy = 0, que es el eje de la homología. El centro es O (1, -1,0).

De forma análoga a la anterior, las otras permutaciones de las filas dan homologías armónicas . Los ejes son correspondientemente yz = 0, xz = 0. Los centros son correspondientemente O '(0,1, -1) y O' '(1,0, -1).

 2. Descomposición de las proyectividades.

Los ejemplos anteriores muestran que todas las matrices elementales de 3x3 representan perspectivas. Como cada matriz invertible es un producto de tales matrices, se deduce que cada proyectividad es un producto (composición) de perspectividades. Un aspecto más geométrico de este tema se encuentra en el archivo ProjectivityResolutionPerspectivities.html . 
En el archivo Elation.html discuto la descomposición de una euforia en un producto de dos homologías armónicas.

 Cónica de once puntos

Dados cuatro puntos {A, B, C, D} en posición general y una línea (d) también en posición general en relación con los puntos (que no pasan por ninguno de ellos) hay una cónica (c) que contiene once puntos notables, definidos a través de los datos dados. Estos son: 
- Los tres puntos diagonales P, Q, R de ABCD. 
- Los seis conjugados U ₁ ', ..., U ₆ ' de los puntos de intersección U ₁ , ..., U ₆ de (d) con los lados de ABCD. 
- Los dos (si existen) puntos fijos X ₁ , X ₂ de la [Desargue involución] en la línea (d), definidos a través de la familia de cónicas generadas por los pares de líneas: (AB, CD) y (BC, DA) .

c es la imagen de la línea (d) a través de la transformación cuadrática F, definida por el paquete de cónicas generado por los dos pares de líneas que se cruzan (AB, CD) y (BC, DA). Como es habitual en esta transformación, las imágenes de las líneas son cónicas que pasan por los puntos singulares del haz, que son P, Q, R. Para ver que U ₁ ', ..., U ₆ ' debe estar en esa cónica, considere La definición de la transformación cuadrática correspondiente. Por ello, la imagen de un punto como, digamos P = U ₃ , es el punto común de todos los polares de P wr a todas las cónicas de la familia. Pero como todas estas cónicas pasan por {A, B, C, D}, el punto de intersección de todos los polares de P debe coincidir con U ₃ ', que es un conjugado armónico de U ₃ wr a A, D.
Ese c debería pasar a través de X ₁ , X _{2 se} sigue del hecho de que F los intercambia. Para ver esto, considere un miembro típico de la familia c '(Y) que pasa por el punto Y de la línea d. Luego construya el polar (e (Y)) del punto X ₁ wr a c '(Y). Cuando Y = X ₁ , el polar es idéntico a la línea d. Cuando Y = X ₂ , el polar de X ₁ wr a c '(Y) pasa a través de los puntos de contacto de c' con las tangentes de X ₁ , una de ellas d, por lo tanto, el polar de X ₁ wr a c '( X ₂ ) pasa también desde X ₂ . 
Tenga en cuenta que {A, B, C, D} son los puntos fijos de la transformación cuadrática F.

 Once puntos cónicos.

Dados dos ángulos CAD, EBF en los puntos A y B y una línea (e). Hay una notable cónica que pasa por once puntos relacionados con estas líneas. La cónica se crea como el lugar de los puntos de intersección W de las líneas AW, BW que se definen como los polares de un punto variable V en (e) con respecto a los ángulos CAD y EBF, respectivamente.

El lugar geométrico de los puntos W contiene obviamente los siguientes 5 puntos. {A, B, Q, P, R}. El punto Q es la intersección de las líneas IG y HJ y {P, R} son respectivamente los conjugados armónicos de M wr a {I, G} y U wr a {H, J}. Como se ve en la figura, GHIJ es el cuadrilátero formado por los dos ángulos. 
El hecho de que este locus sea cónico se sigue fácilmente mediante un simple cálculo en coordenadas proyectivas, por ejemplo en la base {A, B, Q, R}. 
Incluso no es necesario llevar a cabo los cálculos. Basta con notar que las coordenadas de W satisfacen una ecuación cuadrática, por lo tanto, W se encuentra en una cónica. Esta cónica es la que pasa por los cinco puntos anteriores. 
También se ve fácilmente que los conjugados armónicos T = E (H, I), S = D (I, J), N = F (G, J), O = C (H, G) están en esta cónica.
Finalmente, los conjugados comunes {K, L} a {E, F} y {C, D} también están en la cónica.

 2. Familia de cónicas relacionadas.

A la configuración anterior se relaciona la familia de cónicas (d) que pasa a través de los cuatro puntos de intersección {G, H, I, J} de los lados de los dos ángulos. 
Es fácil ver que los polos de la línea (e) con respecto a todas estas cónicas satisfacen la condición de definición de cónica (c), por lo que son puntos de esta cónica. 
Otro punto de vista, relacionado con el hecho de que (c) es una circunferencia del trianlge ABQ, se discute en ElevenPointConic.html .

 3. Nueve puntos cónicos.

La imagen anterior ofrece un caso particular interesante, cuando la línea (e) coincide con la línea en el infinito. Luego, el punto V define paralelos desde los puntos A, B y W es el punto de intersección de los conjugados AW, BW a estos paralelos con respecto a los dos ángulos. 
En este caso, los puntos {N, O, T, S, P, R} son los medios de los lados respectivos {GJ, GH, HI, IJ, IG, HJ}. 
En este caso, también los polos de la línea (e) con respecto a las cónicas a través de {G, H, I, J} son los centros de estas cónicas. Así (c) se convierte en el lugar de los centros de las cónicas que pasan por estos cuatro puntos. 
De particular interés son los puntos dobles K, L en este caso. Si existen implican que (c) es una hipérbola y determinan las direcciones asintóticas de esta cónica. Este punto de vista también se trata en NinePointsConic.html .

 4. Desargue la involución.

Los puntos K, L también son los puntos fijos de la involución de Desargues definidos por los cuatro puntos {G, H, I, J} en la línea (e). Determinan los puntos de contacto de las cónicas que pasan por estos cuatro puntos y tangentes a la línea (e). Este tema se trata en DesarguesInvolution2.html y también en FourPtsAndTangent.html .