GEOMETRÍA DINÁMICA

Buena parametrización inversa

Las buenas parametrizaciones generalizan la idea de la proyección estereográfica y establecen una bijección entre los puntos de una línea proyectiva y los de una cónica. Sus inversos son de la forma x ₁ = P ₁(s, t), x ₂ = P ₂ (s, t), x ₃ = P ₃ (s, t), donde las funciones P _i son polinomios cuadráticos. Esto se ve más fácilmente considerando un sistema de coordenadas (proyectivo) {A, B, C, D} en el que la ecuación de la cónica obtiene la forma x ₁ ² = x ₂ x ₃ (vea ProjectiveCoordinates.html). En tal sistema, B, C, D están en la cónica y A es el punto de intersección de las tangentes en B y C.

Considere la buena parametrización, que a cada punto E en la cónica asocia el punto E 'en BC, siendo E' la intersección de BC con DE. Si E 'tiene las coordenadas E' = sB + tC, entonces E = D + kE '= D + k (sB + tC). Dado que D = A + B + C, esto implica que E = (A + B + C) + k (sB + tC) = A + (1 + ks) B + (1 + kt) C. Como E está en la cónica, sus coordenadas deben ser x ₁ ² = x ₂ x ₃ , es decir 1 = (1 + ks) (1 + kt) ==> ks + kt + k ² ts = 0 ==> k = - (s + t) / ts. 
La sustitución en la ecuación para E, da E = D - (s + t) ((1 / t) B + (1 / s) C) = A - (s / t) B - (t / s) C. De manera equivalente, al multiplicar con st ==> E = stA - s ² B - t ² C.
Esto muestra que la inversa de la buena parametrización considerada es la indicada (x ₁ = st, x ₂ = s ² , x ₃ = t ² ). 

La prueba para el caso general de una buena parametrización (s ', t') resulta del hecho de que dos de estas parametrizaciones están relacionadas a través de una relación lineal (s '= as + bt, t' = cs + dt). Esto, a su vez, sigue también por un argumento similar al anterior, al observar primero dos buenas parametrizaciones para la misma cónica, definidas como anteriormente. Si los parámetros (s, t) y (s ', t') representan el mismo punto E en los dos sistemas, entonces sB + tC = s'B '+ t'C'. Escribiendo B '= uA + vB + wC, C' = u'A + v'B + c'C y igualando obtenemos la relación deseada.

Si la buena parametrización usa otra línea e diferente de AB, entonces la correspondencia E '<--> E' 'se describe también a través de una relación lineal entre las coordenadas proyectivas de las dos líneas (vea RectHypeRelation.html , donde la relación es equivalente derivado de los valores s / t, s '/ t' de las coordenadas proyectivas).

Solución gráfica de la ecuación cuadrática.

Solución gráfica de la ecuación cuadrática a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0. 
1) Dibuje un segmento horizontal orientado AB de longitud a ₂ . 
2) Al final de un _2, dibuje ortogonalmente un segmento orientado BC de longitud a ₁ . 
3) Al final de un _1, dibuje ortogonalmente un segmento orientado CD de longitud a ₀ . 
Se supone que el giro en ángulo recto al final de cada segmento es positivo, de modo que las magnitudes positivas se dirigen a la izquierda del segmento anterior. 
4) Las raíces de la ecuación a ₂ x ² + a ₁ x + a₀ = 0 resulta de las intersecciones {X ₁ , X ₂ } de BC con el círculo c que tiene el diámetro AD. 
5) Cada una de estas intersecciones X ₁ , X ₂ define un AX _i D de ángulo recto y define un ángulo fi propagado de A a X _i . La raíz correspondiente de la ecuación está dada por. 
                                               x _i = -tan (fi).

La prueba sigue observando eso. 
a ₂ * x ² + a ₁ x + a ₀ = (a ₂ * x + a ₁ ) * x + a ₀ (esquema de Horner). 
Por lo tanto, al establecer x = -tan (fi) obtenemos. 
(a ₂ * (- tan (fi)) + a ₁ ) * (- tan (fi)) + a ₀ = (a ₁ -BX ₁ ) * (- tan (fi)) + a ₀ = -X ₁ C * tan (fi) + a ₀ = 0. 
Comentario Sigue que la ecuación tiene dos, uno o ninguno real La solución depende del círculo c que se interseca respectivamente, siendo tangente o no intersectando el segmento BC.

 2. Generalización para raíces reales de ecuaciones de grado arbitrario.

El procedimiento anterior se puede generalizar a la determinación gráfica de raíces reales de cualquier polinomio real . 
              a _n x ² + a _n-1 x ^n-1 + ... + a ₁ x + a ₀ = 0. 
El método consiste en una construcción de un polígono P ₀ con n + 1 lados y ángulos rectos positivos, comenzando con un segmento de longitud a _n y termina con uno de longitud a ₀ . 
Las raíces resultan inscribiendo en P ₀ otro polígono P ₁ con n lados y ángulos rectos positivos y que satisface las condiciones. 
1) P₁ comienza y termina en los mismos puntos con P ₀ . 
2) P ₁ está inscrito en el polígono P ₀ . 
Si tal construcción de P ₁ es posible, se obtiene un ángulo fi análogo al anterior que se propaga a lo largo de cada lado de P ₁ . La raíz correspondiente es dada entonces por x = -tan (fi). 
Un ejemplo y una discusión adicional se lleva a cabo en GraphicalSolutionCubic.html que maneja el caso de las ecuaciones cúbicas.

Solución gráfica de la ecuación cúbica.

Solución gráfica de la ecuación cúbica a ₃ x ³ + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0. 
El procedimiento de definición del polígono p ₀ = ABCDE con cuatro lados, cada uno pi / 2 girado con respecto al El anterior, se describe en GraphicalSolution.html . Aquí, el proceso se repite para el caso de la ecuación cúbica que comienza con un segmento AB de longitud orientada a ₃ , procediendo a un ortogonal a él BC de longitud a ₂ y así sucesivamente. La solución gráfica se logra al encontrar otro polígono p ₁ construido de manera análoga y satisfaciendo las dos condiciones. 
1) p₁ comienza en A y termina en E. 
2) p ₁ está inscrito en p ₀ . 
La solución correspondiente a p ₁ está dada por. 
                                                                x _i = -tan (fi). 
La prueba se asegura de nuevo verificando el esquema de Horner. 
((a ₃ (-tan (fi)) + a ₂ ) * (-tan (fi)) + a ₁ )) * (- tan (fi)) + a ₀   = 0.

La figura muestra el polígono auxiliar p ₂ = AB'C'FE que se reduce a p ₁ cuando E y F coinciden. 
p ₂ se construye de la siguiente manera. 
1) B 'es arbitrario en BC (segundo lado de p ₀ ). 
2) C 'es la intersección de CD (3er lado de p ₀ ) con el B'C' ortogonal a AB '. 
3) C'F es ortogonal a B'C 'en C' y F es la proyección de E en C'F. 
La curva c es el lugar geométrico de F, ya que B 'varía en BC. Pasa tantas veces a través de E como es el número de soluciones reales de la ecuación.
² + a ₁ x + a ₀ = 0. 
Dependiendo de los coeficientes {a _i } hay dos o tres lugares para B 'en BC para los cuales E y F coinciden. Para cada uno de estos lugares obtenemos una solución correspondiente de la cubic a través de x = -tan (fi).

 2. Preguntas relacionadas

Algunas preguntas relacionadas con este tema. 
1) Dado el polígono p ₀ = ABCDE, determine el polígono p ₁ . Esto equivale en este caso a encontrar una dirección e, de modo que los puntos de proyección {A, E} paralelos a e en B 'en BC y en C' en la línea de CC B'C 'sean ortogonales a e. 
2) El polígono p ₁ se puede usar de la misma manera para encontrar más raíces reales del polinom original. 
    De hecho, se demuestra fácilmente que p ₁ representa el polinomio resultante al dividir el original a ₃ x ³ + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀    por el factor xx ₀ , donde x₀ es la raíz (x ₀ = -tan (fi)) correspondiente a p ₁ . Esto es válido para cualquier grado polinomial. 
3) Encuentre la ecuación del lugar descrito por el punto F. Haga lo mismo para el polígono más general p _{2 que}     resulta de los polígonos de cualquier grado n. 
4) Un problema de locus relacionado con esta discusión se estudia en MaclaurinDual.html . 
5) La construcción correspondiente para el quartic se describe en GraphicalSolutionQuartic.html .

 Solución gráfica de la ecuación quártica.

Solución gráfica de la ecuación quártica a ₄ x ⁴ + a ₃ x ³ + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0. 
El procedimiento de definición del polígono p ₀ = ABCDEF con cuatro lados, cada pi / 2- girado con respecto al anterior, se describe en GraphicalSolution.html . Aquí, el proceso se repite para el caso de la ecuación cuártica que comienza con un segmento AB de longitud orientada a ₄ , procediendo a una ortogonal a ella BC de longitud a ₃ y así sucesivamente. La solución gráfica se logra al encontrar otro polígono p ₁Construido de forma análoga y satisfaciendo las dos condiciones. 
1) p ₁ comienza en A y termina en F. 
2) p ₁ está inscrito en p ₀ . 
La solución correspondiente a p ₁ está dada por x _i = -tan (fi).

La figura muestra el polígono auxiliar p ₂ = AB'C'D'GF que se reduce a p ₁ cuando G y F coinciden. 
p ₂ se construye de la siguiente manera. 
1) B 'es arbitrario en BC (segundo lado de p ₀ ). 
2) C 'es la intersección de CD (3er lado de p ₀ ) con el B'C' ortogonal a AB '. 
3) C'D 'es ortogonal a B'C' en C '. 
4) D'G es ortogonal a C'D 'en D' y G es la proyección en D'G del punto F. La 
curva c es el locus geométrico de G, ya que B 'varía en BC.³ + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0. 
La figura aquí es una extensión de la estudiada en GraphicalSolutionCubic.html . 
El polígono p ₂ resulta por una deformación continua de la p ₀ original = ABCDEF.