GEOMETRÍA DINÁMICA

 Tangente en un punto de una función-gráfica

Ejemplo de uso de ejes activos (consulte Axes.html ) y la herramienta de ampliación (Zoom) [Zoom to Rect _ _]. Los dos gráficos mostrados se definen a través del script [Step_function.txt]. El movimiento libre en el eje x es [x]. La tangente en el punto s (x) = (x, f (x)) se dibuja, y se realiza un zoom de 100 veces con enfoque en ó (x). El rectángulo D, que se amplía, es 100 veces más pequeño que el rojo y tiene su centro en el punto s (x). Pero es tan pequeño que el disco pequeño, que denota el punto s (x), lo cubre completamente. El rectángulo rojo es 100 veces más grande que este pequeño rectángulo D. Muestra todo lo que contiene, al ampliarlo 100 veces.

Ejemplo de uso de la herramienta [Largo-calibre]

En este ejemplo, construimos la gráfica de la función y = 4 / (1 + x ^ 2), usando la herramienta de [Geometric-Locus] (cuarto botón desde abajo). 

1) Construir la primera línea a. 
2) Pon un punto D en esta línea. 
3) Seleccione la herramienta [Measures \ Length-Gauge _ _] y a) haga clic en la línea BC, b) haga clic en el punto D. Esto crea la etiqueta [x = ...] que muestra la relación BD / CD. 
4) Haga doble clic en la etiqueta [x = ...] presionando simultáneamente la tecla Ctrl. Esto define el punto Z en el eje x, que representa el valor de la etiqueta [x = ...]. 
5) En algún lugar del espacio en blanco, escriba el texto: fórmula y = 4 / (1 + x ^ 2) 
6) Mientras este cuadro de texto está seleccionado, presione la tecla Intro. Esto crea el objeto de fórmula correspondiente (que con el cuadro azul).

7) Haga clic derecho en el objeto de fórmula y seleccione el elemento de menú [Activar]. 
8) Luego haga clic en la etiqueta [x = ...]. Esto produce la etiqueta [y = ...]. 
9) Haga doble clic en la etiqueta [y = ...] presionando la tecla F2. Esto define el punto H en el eje y, que representa el valor de la etiqueta [y = ...]. 
10) Seleccione la herramienta [Cuadrángulos \ Pantalla-Rectángulo]. Haga clic en H ... arrastre ... suelte en Z. Esto define el rectángulo con HZ diagonal. 
11) Seleccione la herramienta de [Geometric-Locus] (cuarto botón desde abajo). Haga clic en D y luego haga clic en E. Esto produce el gráfico de la función. 

 Puntos conjugados armónicos.

Decimos que los puntos H, G son conjugados armónicos con respecto a los puntos A, B, cuando los 
cuatro están en la misma línea y las relaciones orientadas : 
                                             (HA / HB) = - (GA / GB), 
es decir, G, H se dividen internamente y externamente el segmento AB en la misma proporción. 

A menudo escribimos: 
                                             (HA / HB) :( GA / GB) = - 1 
y decimos que la relación cruzada (ver CrossRatio0.html ): 
                                                     (A, B, H, G) = -1. 

El ejemplo básico de los puntos conjugados armónicos se muestra en la siguiente figura. 
Los resultados de la primera ecuación aplicando Menelao (verMenelaus.html ) al triángulo ABC y su secante (GEF). 
La segunda ecuación resulta al aplicar Ceva (ver Ceva.html ) al mismo triángulo y punto D.

Menelao para el triángulo ABC y secante GEF: (GA / GB) (FC / FB) (EA / EC) = 1,   
Ceva para el triángulo ABC y el punto D (ver Ceva.html ): (AH / HB) (BF / FC) (EC / EA) = - 1. 
Multiplicando las dos ecuaciones: 
(GA / GB) (AH / HB) = - 1, es decir, G, H son conjugados armónicos con respecto a A, B. 

Esto implica que para H y D fijos que se mueven en la línea CH todas las líneas correspondientes GEF pase 
por el punto fijo G, conjugado armónicamente con H, con respecto a A, B. 

Observe que G, K también se conjugan armónicamente con E, F. De hecho, los mismos argumentos se 
aplican al triángulo CEF, Menelaus secant GAB y Ceva point D. 
Así también (E, F, G, K) = -1.

Sin embargo, también hay otra razón por la que G, K se conjugan armónicamente con E, F y 
esto se debe a que están cortados en la línea GF por un paquete armónico de cuatro líneas 
(CA, CB, CG, CH), vea Harmonic_Bundle.html .

 2. Relaciones características de la división armónica.

1) denota por {a, b, h, g} las coordenadas de línea de los cuatro puntos {A, B, H, G} en su línea de apoyo. 
    Entonces la relación: 
                                         HA / HB = - GA / GB => HA * GB + GA * HB = 0 => 
                                (ah) (bg) + (ag) (bh) = 0 => 2 (ab + gh) = ( a + b) (g + h). 
2) Tomando A como el origen de las coordenadas: 
                                     (a = 0) => 2gh = b (g + h), es decir 2 / AB = (1 / AG) + (1 / AH), 
    es decir , AB es la armónica media de AG y AH. 
3) Tomando el I / J medio de AB / GH como origen de coordenadas (a + b = 0, resp. G + h = 0) obtenemos 
     las relaciones de Newton:                
                                       IA² = IB² = IG * IH, JH² = JG² = JA * JB.   
4) La relación (2) implica   
                                      2AH * AG = AB (AH + AG) = AB * (2AJ) => AH * AG = AB * AJ. 

5) Las relaciones (3) implican:   
                JA / JH = JH / JB = (JH-JA) / (JB-JH) = AH / BH, y JA / JG = JG / JB = (JA-JG) / (JG- JB) = GA / GB. 
    Por lo tanto,   
                                                      JA / JB = (JA / JH) * (JH / JB) = (GA / GB) ². 

    es decir, si G y H se dividen armónicamente AB en relación k, entonces la J central de GH divide AB en relación 
    k². Consulte Apollonian_Circles.html y ApollonianBundle.html .