GEOMETRÍA DINÁMICA

Reflexiones de planeo.

Las reflexiones de planeo Y = G (X) son transformaciones del plano (isometrías o congruencias) que son composiciones de una reflexión R _e , con respecto a alguna línea e (llamada el eje de la transformación) y una traducción T _v , con respecto a un vector v paralelo a la línea e. Se ve fácilmente que el orden por el cual aplicamos estas dos transformaciones no juega ningún papel, es decir, G = T _v * R _e = R _e * T _v .

 2. Representación de la reflexión de planeo mediante reflexiones.

Dado que cada traducción T _v por el vector v es una composición T _v = R ₂ * R ₁ de dos reflexiones en dos líneas paralelas {e ₁ , e ₂ } en distancia mutua | v | / 2 y dirección ortogonal a v, el planeo -reflexión tiene una representación canónica como una composición de tres reflexiones G = R ₂ * R ₁ * R _e . Las dos líneas e ₁ , e ₂ son ortogonales de e y están a una distancia | v | / 2.

 3. Representación de la reflexión de planeo mediante reflexiones II.

Incluso en el caso de una transformación G = R ₂ * R ₁ * R _e , que es la composición de tres reflexiones en tres líneas {e, e ₁ , e ₂ } las dos últimas son paralelas, se puede demostrar que se reduce a Una transformación del caso anterior. 
Esto significa que uno puede encontrar otro triple de líneas {g, g ₁ , g ₂ } de modo que {g, g ₂ } sean ortogonales a la línea g ₁ y las correspondientes reflexiones {S _g , S ₁ , S ₂ } en estas las líneas satisfacen S _g * S ₂ * S ₁ = G.

Para mostrar esto, comience con las tres reflexiones en las líneas {e, e ₁ , e ₂ } y agregue una cuarta reflexión S _g en una línea g, que es ortogonal a la línea e. La composición es una simetría en un punto D fácilmente construible a partir de los datos. De hecho, el producto de las dos primeras reflexiones R ₁ * R _e es una rotación de un ángulo w y el producto de las otras dos reflexiones S _g * R ₂Es nuevamente una rotación por un ángulo de medida (pi / 2) -w. Por lo tanto, todo el producto de las cuatro reflexiones es una rotación de un ángulo de (pi), es decir, una simetría puntual. El centro de simetría se determina fácilmente uniendo a través de una línea f los dos centros de rotación {A, C} y tomando en estos puntos respectivamente ángulos iguales a -w yw- (pi / 2), formando así el triángulo rectángulo. ACD. D es el centro de simetría. Luego escribe la simetría como un producto de dos reflexiones S ₂ * S ₁ en dos líneas ortgonales (g ₁ , g ₂ ) de las cuales la segunda es paralela a g. Entonces 
S _g * G = S _g * R ₂ * R ₁ * R _e = S ₂ * S₁ ==> G = S _g * S ₂ * S ₁ .

 4. Representación de la reflexión del deslizamiento mediante reflexiones III.

Incluso en el caso de una transformación G = R ₃ * R ₂ * R ₁ , que es la composición de tres reflexiones en tres líneas {e ₁ , e ₂ , e ₃ } en posición general, se puede mostrar que se reduce a una Transformación del primer caso manejado. 
Esto significa que uno puede encontrar otra tupla de líneas {g, g ₁ , g ₂ } de modo que {g ₁ , g ₂ } sean ortogonales a la línea g y las correspondientes reflexiones {S _g , S ₁ , S ₂ } en estas las líneas satisfacen S _g * S ₁ * S ₂ = S₂ * S ₁ * S _g = G. 

De hecho, este caso se reduce inmediatamente al anterior al girar el sistema de las dos primeras líneas {e ₁ , e ₂ } sobre su punto de intersección O, rígidamente, es decir, sin alterar su ángulo mutuo en O, de modo que e ₂ obtenga una posición paralela a e ₃ . El resultado sigue luego aplicando los argumentos anteriores. 

La siguiente sección trata el mismo caso que se maneja aquí, pero lo relaciona con el triángulo ABC formado por las tres líneas {e ₁ , e ₂ , e ₃ } en posición general y trae al juego el triángulo órtico DEF de ABC.

 5. Representación de la reflexión de planeo mediante reflexiones IV.

Sean ABC un triángulo y {F _c , F _b , F _a } sean las reflexiones respectivamente en sus líneas laterales {BC, CA, AB}. Su composición S = F _c * F _b * F _a es una Reflexión de planeo , con un eje en el lado FE del triángulo órtico DEF y el vector de traducción FF '' igual al perímetro del triángulo órtico. Las permutaciones cíclicas de las tres reflexiones dan reflexiones de deslizamiento con respecto a los otros lados del triángulo órtico. Las permutaciones restantes dan transformaciones inversas a esos tres.

Teniendo en cuenta el hecho de que las altitudes de ABC son bisectrices de los ángulos del triángulo órtico DEF, encontramos primero la imagen F '' de F bajo la aplicación sucesiva de reflexiones en los lados {F _c , F _b , F _a }. El segmento FF '' tiene una longitud igual al perímetro del triángulo órtico DEF. 
Únase a un punto arbitrario X con F y la proyección G en la línea FE para formar el triángulo FGX. Luego, reflexione de nuevo sucesivamente mediante las tres reflexiones anteriores para obtener correspondientemente los triángulos iguales {FG'X ', F'G''X' ', F''HS (X)}. El F''HX * reflejado del último triángulo con respecto a la línea FE es una traducción paralela del triángulo original FGX y esto prueba la afirmación.

 6. El problema de Shapiro.

La discusión anterior resuelve el problema propuesto por HS Shapiro (E929) en el American Mathematical Monthly: 
Dadas tres líneas rectas no concurrentes L ₁ , L ₂ , L ₃ en el plano. Sea T _{i la} reflexión en L _i y el conjunto T = T ₁ * T ₂ * T ₃ (* que denota la composición). Demuestre que T ² es una traducción. 

Según la discusión anterior, T es una reflexión de planeo y es una propiedad trivial de cada reflexión de planeo que T ² es una traducción.

Buenas parametrizaciones / proyecciones estereográficas.

Tomo prestado el término de Marcel Berger. Para cada punto C de la cónica (c) hay una bijección natural de los puntos de la cónica al conjunto C * de las líneas L _c , pasando a través de C. A cada punto X de la cónica simplemente asociamos la línea L _X = [CX]. Al punto C corresponde la tangente a (c) en C. Dado que C * es una línea en el plano proyectivo dual, esto puede considerarse como una parametrización de la cónica a través de los puntos de una línea. Esta es la idea de la buena parametrización (++). 

A partir de la definición invariable de esta parametrización, se pueden construir sistemas de coordenadas y parametrizaciones de la cónica, utilizando la idea de proyección estereográfica. De hecho, tome una línea arbitraria (e) y asigne cada punto X de la cónica al punto Y = f_C (X), definida por la intersección de (e) con la línea L _X = [CX]. f _C es una bijección de los puntos de (c) (y de C *) en los puntos de la línea (proyectiva) (e). 

Las llamo también proyecciones estereográficas de la cónica. A veces uso para ellos también el término parametrizaciones buenas . El uso de una línea (e ') diferente de (e) introduce una relación lineal (s' = as + bt, t '= cs + dt) entre las coordenadas proyectivas (s, t) y (s', t ') de las dos lineas. Esto es una consecuencia de la invariancia de la relación cruzada a lo largo de un grupo de líneas que pasan por el mismo punto C. 

Defina el mapa análogo f _D (X) para otro punto D de la cónica. La transición"(f _C ^-1 (x)) es una relación homográfica para la coordenada x de la línea (e). Esto es una consecuencia inmediata de la invertibilidad de g y del hecho de que se define a través de operaciones que involucran intersecciones de líneas con curvas cuadráticas.

El argumento se puede invertir: considere dos puntos C, D y una relación homográfica y = g (x) en los puntos de una línea (e). Los puntos de intersección X de las líneas Cx, Dy, que unen los puntos correspondientes de la línea construyen una cónica. Esto también es obvio, ya que eliminar la coordenada de línea de la ecuación que define X conduce a una ecuación cuadrática para las coordenadas X (x ₁ , x ₂ ) de X. Este tipo de generación de la cónica, a través de una relación homográfica, se llama Chasles. -Stein generación de lo cónico. 
Algunas de las aplicaciones de la idea de una buena parametrización son las definiciones de relación cruzada de cuatro puntos en una cónica (analizadas en el archivo CrossRatio.html ) y las definiciones deLa homografía y su caso particular, la involución en una cónica, ambos discutidos en los archivos mencionados a continuación. 
Lo inverso de una buena parametrización es una representación racional de la curva en términos de las coordenadas (proyectivas) de una línea. De hecho, estableciendo (u, v) para un sistema de coordenadas proyectivas de la línea (e) y resolviendo la inversa de f _D , encontramos que X se da en términos de (u, v) a través de polinomios cuadráticos (ver GoodParametrizationInverse. html para los detalles):

Las buenas parametrizaciones generalizan la proyección estereográfica del círculo. Mire Stereographic.html para la discusión de este ejemplo en particular. 
(++) Las buenas parametrizaciones establecen una bijección (homeomorfismo) entre las cónicas proyectivas y las líneas proyectivas, lo que demuestra que las secciones cónicas son curvas de líneas. Una característica común adicional con las líneas es que todas las cónicas (proyectivas) son equivalentes en las proyectividades. Hay muchas maneras de ver eso. Una simple es a través de un sistema de coordenadas particular, adaptado a una cónica arbitraria, en la cual esa cónica se representa a través de la ecuación x ² = yz. Esto se discute en GoodParametrizationInverse.html .