GEOMETRÍA DINÁMICA

Elipse

[0] La Elipse puede definirse por la propiedad de sus puntos X (x, y): | XF '| + | XF | = 2a, un ser una constante y {F, F '} puntos fijos, llamados los puntos focales de la elipse. La línea FF 'se llama el eje mayor . La O central del segmento FF 'es el centro de la elipse. Los puntos {A, A '} en los que la elipse cruza el eje mayor se denominan vértices de la elipse. Los cálculos a continuación suponen que el eje mayor coincide con el eje x del sistema de coordenadas y O coincide con el origen de las coordenadas. 
[1] a = | AA '| / 2 también se denomina eje mayor de la elipse. 
[2] O es el centro de AA ', el círculo c centrado en O, con un radio a que se llamaCírculo auxiliar de la elipse. 
[3] Definiendo la distancia focal , | FF '| = 2c vemos fácilmente que

[4] Definiendo b correctamente, esto es equivalente con la siguiente ecuación y se relaciona con la figura por: | HJ | / | XJ | = a / b, b se llama eje menor .

[5] Al definir las cantidades e, h, a través de las ecuaciones de la primera línea de abajo, la ecuación de la cónica se vuelve igual a la ecuación de la segunda línea, que representa otra propiedad geométrica de la elipse: 

[6] Tomando la línea paralela al eje y en Q (h, 0), llamada directriz , esto demuestra que | XF | / | XN | = e, donde e = c / a se llama la excentricidad de la elipse. Por lo tanto, la elipse se puede identificar con el lugar geométrico de los puntos X, de modo que la proporción de distancias desde un punto (enfoque F) y una línea (directriz) sea constante (= e <1 font="" nbsp="">
[7] Hay una segunda directriz: la simétrica de QN wr a O, caracterizada por la misma propiedad que la anterior. Las dos directrices son los polares de los focos, con respecto a la cónica. 
[8] La dirección de la normal en X (x, y) es (x / a ² , y / b ² ), por lo tanto, la ecuación de la tangente es xu / a ² + yv / b ²= 1 (variable (u, v)). Los puntos {S, T} donde la intersección normal / tangente del eje x se calculan fácilmente para estar en {x (a ² -b ² ) / a ² , a ² / x}, siendo su producto c ² = a ² -b ² . Esto implica que {T, S} son conjugados armónicos con respecto a {F, F '} y como el ángulo en X es una recta XT, XN coincide con las bisectrices del ángulo FXF'. 
[9] Esto implica que el F * simétrico de F con respecto a la tangente XT está en XF 'y el G medio de FF * está en el círculo auxiliar con diámetro AA'. 
[10] El círculo d, con el centro en el foco F 'y el radio 2a se llama mayorCírculo de la elipse. Tiene la propiedad: Para cada punto F * en d, la línea media del segmento FF * es tangente a la elipse en su punto de intersección X, con F'F *. 
[11] Proyectando un punto focal en una tangente, define un punto en el círculo auxiliar c (por [9] OG es paralelo y la mitad de la longitud de F'F *). 
[12] La línea XJ es simultáneamente la polar de T con respecto a la elipse y el círculo auxiliar c. Por lo tanto, las tangentes en X a la elipse y H al círculo se encuentran en T. También las líneas KX y PH se encuentran en el mismo punto en el eje x desde que JX / JH = OK / OP = b / a. El archivo CommonPolar.html contiene algunas consecuencias de la coincidencia de las líneas tangentes en T. 
[13] Todas las propiedades de las elipses, discutidas hasta ahora, tienen sus gemelos para las hipérbolas (verHyperbola.html ). Las elipses y las hipérbolas son las dos clases de cónicas llamadas cónicas colectivamente centrales , porque tienen un centro de simetría. 

Elipse del principio de ratio.

Defina la elipse como el lugar de los puntos P para los cuales la relación PF / PP '= e es constante (e <1 font="" nbsp="">Aquí F es un punto fijo y PP 'es la distancia de un punto variable P desde una línea fija L. F se denomina foco de la elipse y L se llama directriz de la elipse.

De la definición se desprende eso. 
1) todos los puntos de la elipse están dentro del círculo apolíneo del segmento FF ₀ , donde F _{0 es} la proyección de F en la directriz. Hay exactamente dos puntos {A, B} de este círculo en común con la elipse. 
El círculo se llama el círculo auxiliar de la elipse. Los puntos {A, B} se llaman vértices de la elipse. 
Obviamente. 
2) La elipse es simétrica con respecto al eje AB .

 2. simetría

Tome las coordenadas (x, y) a lo largo de los ejes AB y L de manera correspondiente. Definir d = F ₀ F, P = (x, y). Entonces, la condición de definición implica que los puntos de la elipse satisfacen. 
3) y ² + (xd) ² = e ² x ² . 
Esto define una ecuación cuadrática para x. 
                                                  x ² (1-e ² ) - 2dx + (d ² + y ² ) = 0. 
Las dos raíces x ₁ , x ₂ para la constante y tienen su centro en d / (1-e ² ), que es el x- coordenada del círculo apolíneo (verApollonianBundle.html pero puesto allí k = 1 / e). Así se sigue eso. 
4) La elipse es simétrica wr a la paralela a la directriz desde el centro del círculo auxiliar . 
Dado que la elipse también es simétrica con respecto al eje AB, se deduce que. 
5) la elipse es wr centro-simétrica a punto O . 
Esto muestra que. 
6) existe un segundo foco F * simétrica a F wr a O y una segunda directriz L *, que es la simétrica de L wr a O . 
El par (F *, L *) tiene la misma propiedad que el (F, L) con respecto a todos los puntos de la cónica.

 3. Relación con el auxiliar.

Las relaciones de definición PF = ePP 'y PF * = ePP ₁ implican. 
7) PF + PF * = e (PP '+ PP ₁ ) = constante . 
Esta constante se identifica fácilmente con | AB | = 2ed / (1-e ² ) (vea ApollonianBundle.html ). 
La última cantidad se llama el eje mayor de la elipse. Su radio es R = ed / (1-e ² ) y su centro está en x ₀ = d / (1-e ² ).

Usando la definición nuevamente, la relación (y / y ') ² = (e ² x ² - (xd) ² ) / (R ² - (xx ₀ ) ² ) se ve como = 1-e ² . Así. 
8) la elipse es la imagen del círculo bajo la transformación f: (x, y) -> (x, gy), donde g ² = 1-e ² . 
La forma de esta transformación implica eso. 
9) la tangente al círculo en y 'y la tangente a la elipse en y pasan a través del mismo punto S en AB . 
Además, si SQR es una secante del círculo, entonces se asigna bajo f a una SQ'R 'secante de la elipse y esto lo demuestra.
10) los polares del círculo y la elipse para los puntos en el eje AB son los mismos . 
En particular. 
11) las directrices L, L * son los polares respectivamente de los focos F, F * wr al círculo y la elipse .

 4. Propiedades tangentes básicas.

Si P es un punto arbitrario en la elipse, dibuje desde el foco F el FP ortogonal que cruza la directriz L en S. 
12) La línea SP es la tangente a la elipse .

De hecho, para cualquier otro punto Q en SP y las proyecciones Q ', Q ₁ respectivamente en la directriz L y SF, si Q estuviera en la elipse sería QF = eQQ', pero también es QQ ₁ / QQ ' = PF / PP '= e => QQ ₁= QF. 
Esto, por la ortogonalidad en Q ₁ es imposible si Q es diferente de P. Así, la línea SP tiene precisamente un punto en común con la elipse, por lo tanto, es su tangente. Como corolario obtenemos también. 
13) la tangente en P y la ortogonal en F del radio focal FP se intersecan en un punto S en la directriz .

Una consecuencia de la última propiedad en combinación con la simetría de la elipse es el hecho. 
14) Los ángulos FPQ, F * PS formados con la tangente y los radios focales en un punto de la elipse son iguales . 
La razón de esto es el hecho de que los cuadrángulos PFQP 'y PF * P ₁ S son cíclicos y estos dos ángulos son iguales respectivamente a FP'F ₀ , F * P ₁ F ₁ , que por simetría son iguales. 
Relacionada con esta propiedad está también la otra propiedad focal de la elipse por la cual. 
15) los ángulos FPA, F * PB entre los radios focales PF, PF * y las tangentes PA, PB desde P respectivamente son iguales .

De hecho, defina las reflexiones S, T respectivamente de F, F * wr a la PA tangente y también la reflexión Q de F * con respecto a la otra PB tangente de P. Los 
triángulos PTF y PQF son iguales y tienen tres lados correspondientes iguales. 
Por lo tanto, los ángulos TPF y FPQ son iguales, por lo tanto, el ángulo (FPF * + 2APF) = ángulo (FPF * + 2F * PB). 
Lo que muestra ese ángulo (APF) = ángulo (F * PB). 
Una consecuencia de la última propiedad es un par de propiedades relacionadas con el círculo auxiliar. 
16) La porción SR de la tangente en un punto X entre las tangentes en los vértices se ve desde un foco F bajo un ángulo recto . 
17) La proyección P del foco en una tangente es un punto del círculo auxiliar .

Los resultados de la primera propiedad al proyectar F a P en la tangente en X. Los 
cuadrángulos FPST, FPRQ son entonces cíclicos. Por el ángulo de propiedad anterior (TPF) = ángulo (QPR) y por los cuadriláteros cíclicos, se trata de ángulo (TSF) = ángulo (RFQ), lo que demuestra que el ángulo (SFR) es el correcto. 
También el ángulo (TPQ) = ángulo (TPF) + ángulo (FPQ) = ángulo (TSF) + ángulo (FRQ) muestra la otra declaración. 
Una consecuencia de esta propiedad es que. 
18) las líneas FS, FR son las bisectrices del ángulo (TFX) .
Esto se observa al observar que el punto de tangencia X y el punto de intersección V de SR separan los puntos armónicamente (S, R). Esto, a su vez, se ve proyectando X en el punto Y en el auxiliar con un WX paralelo a la directriz. Por círculo propiedades (V, W) se separan armónicamente (T, Q), por lo tanto (V, X) se separan armónicamente (S, R). Por lo tanto, el conjunto de líneas en F: F (V, S, X, R) es armónico y dos de sus líneas son ortogonales, por lo tanto, son bisectrices de las otras dos (consulte Harmonic_Bundle.html ). 
Las propiedades 16), 17) implican otras dos formas de generar la elipse. 
19) La elipse es la envolvente de la hipotenusa del triángulo SFR formado intersecando las piernas de un SFR de ángulo recto con dos paralelos fijos TS, QR mientras gira el ángulo sobre el punto fijo F que se encuentra entre los paralelos. 
20) La elipse es la envolvente de líneas PR dibujado ortogonalmente a segmento FP en P para fijo F y P que se mueve sobre un círculo que contiene el punto F .

 5. Coordenadas estándar

Haciendo el cambio de coordenadas x '= xx ₀ , y' = y, donde x ₀ = d / (1-e ² ) (ver sección-3), obtenemos la forma estándar de la elipse. 
21) x ' ² / a ² + y' ² / b ² = 1, con a = ed / (1-e ² ) y b = a * sqrt (1-e ² ) .