GEOMETRÍA DINÁMICA

paquete de armónicos

Decimos que un paquete (o lápiz ) de cuatro líneas (CA, CB, CG, CH) que pasa por un punto común C es un [paquete armónico] de líneas, si hay alguna línea [AB] que interseca las cuatro líneas del haz en los puntos A, B, G, H, de manera que G, H se conjugan armónicamente con A, B, es decir, las relaciones orientadas son iguales: GA / GB = -HA / HB (ver Harmonic.html ).

El cálculo anterior muestra que la relación cruzada (A, B, G, H) es una relación de los senos de los ángulos entre las líneas (véase también ProjectiveLine.html ). Por lo tanto, es lo mismo para cada línea que intersecta estas cuatro líneas. Por lo tanto, si una línea que cruza un haz define cuatro puntos conjugados armónicamente (es decir, (A, B, G, H) = - 1), lo mismo debe ser cierto para todas las demás líneas que intersectan este haz. 
Este simple hecho tiene muchas implicaciones, algunas de ellas se discuten a continuación.

 2. Conjunto armónico con dos ortogonales.

Si el paquete es armónico y las líneas CH, CG son ortogonales, entonces son las bisectrices de las otras dos líneas. 
De hecho, en este caso.

 3. Haz de armónicos y paralelos.

Si el paquete es armónico y trazamos una línea L paralela a CH, entonces CG pasa a través de la M media del segmento OP en L, determinado por las otras dos líneas. La razón es que la M media es el conjugado armónico con A, B del punto en el infinito de la línea L, para el cual la relación HA / HB tiende a la posición límite 1, por lo tanto, MO / MP = -1. Lo inverso también es cierto: si un paquete de cuatro líneas a través de un punto (CH, CA, CG, CB) tiene la propiedad de que un segmento (DB) paralelo a CH se divide por las otras tres líneas del paquete en dos partes iguales (DE = EB), entonces el paquete es armónico. Para esto basta con calcular las relaciones en la siguiente figura, siendo G el centroide del triángulo BCD. 

Una variación bien conocida de esta regla es que dos lados adyacentes del paralelogramo y sus diagonales (dibujados en paralelo desde el vértice común) forman un haz de armónicos. 

 4. Aplicación a triángulos-altitudes.

Considere un punto P en la altitud AD del triángulo ABC y suponga que BE, CF pasa a través de P. Entonces AD es la bisectriz del ángulo EDF, vea la figura a continuación.

Para demostrarlo, basta con aplicar (2) al paquete de líneas en D: (DE, DF, DH, DI), que forman un grupo armónico de líneas (consulte Harmonic.html ). 


Hay otro aspecto de la invariancia de la relación cruzada de cuatro líneas interceptadas por una quinta. Este es el aspecto de la perspectiva de línea , definido por un lápiz de líneas C * (C * que denota todas las líneas a través de C) en otras dos líneas {e ₁ , e ₂ } que intersectan las líneas de este paquete. Esto se discute en ProjectiveLine.html y RectHypeRelation.html .

 5. Aplicación a los acordes ortogonales.

Sean {AB, CD} dos acordes ortogonales de un círculo que se intersecan en el punto E. Considere el punto de intersección F de {AD, BC} y dibuje un ortogonal a la línea OE (O el centro del círculo) en la intersección E {BC, AD} correspondientemente en {K, L}. Entonces KE = EL.

La prueba sigue inmediatamente completando la figura hasta el cuadrilátero completo definido por los cuatro puntos {A, B, C, D}. La línea FG es la polar del punto E (ver Polar_Construction.html ) y, como tal, es ortogonal a OE, como también lo es KL. Como el conjunto de líneas F (A, B, E, G) es armónico y KL es paralelo a la línea FG, se aplica el resultado de la sección 3. 
Para otra aplicación en este contexto, vea Harmonic_Bundle2.html .

Relaciones cruzadas de líneas parametrizadas.

Dado es un ángulo XAY, una línea L con una coordenada de línea t, un punto fijo O y la línea variable OB _t , donde B _t es el punto en L con la coordenada t. Entonces, la relación cruzada de los cuatro puntos (P _X , Q _Y , B _t , O) = f (t) es una función de Moebius de t de la forma. 
                                                                                     f (t) = (en + b) / (ct + d). 
Aquí P _X , Q _Y denotan las intersecciones de la línea OB _t con AX y AY correspondientemente. 
Inversamente, dadas las dos líneas {AX, AY}, el punto fijo O y la función de Moebius f (t) = (en + b) / (ct + d), introduzca una coordenada t en AX y para cada punto P_Para ello, considere la intersección Q _tde OP _t con AY y el punto B _t en la línea OP _{t de} tal manera que (P _t , Q _t , B _t , O) = f (t). Entonces B _{t se} mueve en una línea L a medida que P _t varía en AX.

Para probar esto, tome el origen de coordenadas en O y considere el vector (variable) u = OB _t . Considere también los vectores unitarios u _X , u _{Y a lo} largo de AX y AY en consecuencia. Luego, los puntos de intersección P _X , Q _Y se describen en las líneas AX, AY por los parámetros r, r 'y en la línea OB _t por los parámetros s, s' de tal manera que. 
         SOB _t = A + ru _X = P _X            y s'OB _t = A + r'u _Y = Q _Y . 
A partir de ahí, denotando por J (Z) el pi / 2-girado de Z y por (..., ...) el producto interno que obtenemos. 
         sollozo_t , Ju _X ) = (A, Ju _X ) => s = (A, Ju _X ) / (OB _t , Ju _X ). 
Análogamente s '= (A, Ju _Y ) / (OB _t , Ju _Y ). 
Si L se describe paramétricamente por B _t = b ₀ + te, donde e es un vector unitario en la dirección de L, entonces se puede ver que {s, s '} tienen la forma. 
         s = 1 / (mt + n) y s '= 1 / (m't + n'). 
Dado que la relación cruzada es (P _X , Q _Y , B _t, O) = [(1-s) / (1-s ')]: [s / s'], introduciendo en esto las expresiones anteriores encontramos que efectivamente tiene la forma deseada. 
Para probar lo inverso, considere una línea fija de M a O y tome la traza del grupo de líneas en A. 
A (X, Y, B _t , O) que tiene la misma relación cruzada dada por la función f (t). Dado que las trazas de OX, OY son puntos fijos en M, la traza de OB _t en M es un punto descrito por una función g (t) m, donde g (t) es una función de Moebius (que resulta fácilmente de f (t) ) y m es un vector unitario a lo largo de M. Entonces, el punto B _t puede describirse como la intersección de las líneas OP _X y AB _t . 
       B _t = A + r '(g (t) m) = rP _X, donde r, r 'son coordenadas de línea a lo largo de las líneas AB _t y M. 
Tomando los productos internos con J (m) obtenemos. 
                 (A, J (m)) = r (P _X , J (m)). 
Tomar una parametrización a lo largo de A: P _X = A + tu _X implica que r es de la forma r = 1 / (en + b). 
Por lo tanto, B _t = rP _X = (1 / (en + b)) (A + tu _X ). 
Poniendo A '= A / b, u' _X vemos que B _t = (1 / (en + b)) [bA '+ en u' _X ]. 
Esto muestra que B _t es un punto de la línea a través de A 'y u' _X .

 2. ángulos de giro

Considere una línea fija L, un punto A en ella y un punto O que no está en la línea. Dibuje tres líneas a través de la línea O que se intersecan en los puntos B, C, D y gire estas tres líneas alrededor de O para que sus ángulos mutuos se mantengan constantes. Entonces, la relación cruzada (A, B, C, D) = f (t) es una función de Moebius de la coordenada de línea t = AB en la línea L.

Esta es esencialmente la primera parte del ejercicio anterior. Pero otro argumento resulta de la reducción de la proporción cruzada de paquetes a relaciones de senos (ver Harmonic_Bundle.html ). (A, C, B, D) = (sin (v) / sin (v ')) :( sin (w) / sin (w')), donde v = ángulo (OA, OB), v '= ángulo (OA, OD), w = ángulo (OC, OB), w '= ángulo (OC, OD). 
De hecho, por la supuesta constancia de los ángulos, la segunda relación sen (w) / sin (w ') es constante. 
Dado que la relación cruzada es la misma para todas las secantes del grupo de líneas en O. 
O (A, B, C, D), podemos reemplazar L con una línea L 'ortogonal a la OA fija en A. Entonces el pecado (v ) se expresa a través de t = AB '(B' la traza de OB en L ') a través de su tangente que es tan (v) = t / OA = t / a (poniendo a = | OA |).² (v)) = t ² / (t ² + a ² ), cos ² (v) = a ² / (t ² + a ² ). 
Además de v '= v + w + w' = v + w '', donde w '' = w + w 'implica pecado (v') = pecado (v) cos (w '') + cos (v) pecado ( w ''). 
Por lo tanto, la relación (sin (v) / sin (v ')) tiene la forma t / (tcos (w' ') + asin (w' ')) y esto prueba la afirmación.

 3. Volviendo los ángulos II

Considere un ángulo fijo XAY y un ángulo fijo X'OY 'girando alrededor del punto fijo O. Sea L la línea que une los puntos de intersección B = (AX, OX') y C = (AY, OY '). Sea también D el punto de intersección de L con una línea OZ que forma ángulos constantes con OX ', OY'. Luego D describe una línea cuando X'OY 'gira alrededor de O.

Defina los puntos de intersección adicionales como se muestra en la figura. Introduzca también una coordenada de línea t = AB a lo largo de la línea AX. 
Por la sección 2 es suficiente mostrar que la relación cruzada f (t) = (O, D, E, F) es una función de Moebius. Teniendo en cuenta el conjunto de líneas en C: C (O, D, E, F) y tomando su traza en la línea AX, esta relación se transfiere a (I, B, A, F), que según la sección 3 tiene la forma deseada de Función de Moebius de t. Por lo tanto, D se mueve en una línea.