GEOMETRÍA DINÁMICA

 Armónico común (X, Y) a dos pares (A, B) y (C, D)

Dados dos pares de puntos (A, B) y (C, D) en la misma línea (e) hay otro par (X, Y) que es simultáneamente un conjugado armónico con (A, B) y (C, D). El par (X, Y) es real solo en el caso en que (A, B) no separa (C, D) o, de manera equivalente, el haz de círculos (I) generado por los círculos {c _AB , c _CD } con los diámetros correspondientes {AB, CD} no son de tipo intersecante. El par (X, Y) coincide con los puntos límite de este paquete. Por consiguiente, los (X, Y) son los puntos de intersección con (e) de un círculo (c) que intersectan ambos círculos ortogonalmente (es decir, que pertenecen al haz ortogonal (II) de (I)).

Perspectividad armónica.

Este es un caso especial de proyectividad (ver Proyectividad.html , conocido también bajo el nombre de homología armónica ), 
definido al fijar un punto O, llamado centro , y una línea (a), que no contiene O, llamada    eje de la perspectividad. La perspectividad con estos datos, está definida por la siguiente receta. Para cada punto X, que no coincide con O o (a), defina el punto de intersección H _X de la línea [OX] y (a). Conjunto F (X) = Y, con Y en la línea [OX], tal que (O, H _X , X, Y) = -1, es decir, X e Y son conjugado armónico a O y H _X . Estas son las principales propiedades de las perspectivas armónicas:
[1] El punto O y los puntos de la línea (a) son los únicos puntos fijos de F. 
[2] F ² = 1 (es un mapa involutivo o involutivo ). 
[3] Cada proyectividad involutiva se define completamente por dos pares de puntos homólogos (X, Y) y (X ', Y'). 
[4] Toda proyectividad involutiva es una perspectiva armónica.

Para probar [3], considere los puntos de intersección O, O 'de pares de líneas (XY, X'Y') y (XX ', YY') respectivamente. Defina la línea (a) como el conjugado armónico de la línea OO 'con respecto a las líneas (O'X, O'Y). 
La perspectiva armónica F está completamente determinada por O y (a) y mapea X a Y y X 'a Y'. La misma figura puede usarse para probar [4]. De hecho, dada la proyectividad involutiva G, seleccione los puntos X, X 'y sus imágenes Y = G (X), Y' = G (X '). Defina como arriba la perspectiva armónica F, mapeando X a Y y X 'a Y', y muestre que la composición F ^-1 * G = 1 (la identidad).

La figura anterior vale la pena notar la simetría. De hecho, uno podría intercambiar los símbolos X 'e Y y aplicar el mismo razonamiento para crear una perspectiva única F', mapear X a X 'e Y a Y' y tener O 'y (c) como centro y eje. (c) es el conjugado armónico de la línea OO 'con respecto al par de líneas (OX, OX'). 
Por las propiedades bien conocidas de cuadriláteros completos (consulte Harmonic.html ) (a) y (c) se intersecan en el punto O '', que es el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero XYY'X '.

 2. Temas relacionados

Observe que cada cónica (c) tiene el eje (a) y el centro O como polar y respecctive polo , 
permanece invariante bajo F. Ver Fregier_Involutive.html para una discusión sobre eso. 
Hay una tercera perspectiva armónica F '' conectada con la figura anterior, y que tiene O '' y (b) como eje central y respectivo. La configuración relacionada de las tres perspectivas se analiza en FourPoints.html . 
Las perspectivas armónicas son casos especiales de homologías , que se obtienen cuando el coeficiente de homología k = -1. Las propiedades de las perspectivas generales se discuten en Perspectivity.html .
Usando como modelo del plano proyectivo la proyectificación del plano euclidiano, las perspectivas armónicas con eje que coinciden con la línea en el infinito, restringidas en el plano euclidiano, 
coinciden con las simetrías puntuales. Vea un uso de esta observación en el archivo ElationDecomposition.html .

 3. Los triángulos de la perspectiva armónica.

Dos triángulos ABC, A'B'C ', de manera que A' = f (A), B '= f (B), C' = f (C) están relacionados por una perspectiva armónica f, se denominan triángulos de perspectiva armónica . Se tratan en el archivo PerspectivityAndPerspectiveTriangles.html .

Ejemplo de Perspectividad Armónica

Considere cuatro puntos {A, B, C, D} del plano proyectivo en posición general. Defina la proyectividad F según los requisitos: 
(i) A, B están fijados por F (F (A) = A, F (B) = B), 
(ii) C, D se intercambian por F (F (C) = D y F (D) = C). 
Estas condiciones implican que F es una perspectividad armónica con el eje (a) de la línea AB y el centro del punto O, que es el conjugado armónico de E con respecto a C, D, siendo el punto E el punto de intersección de AB y CD.

Para demostrarlo, primero comprenda que E está fijado por F (F (E) = E). Esto implica que la línea a = AB, que contiene E, tiene tres puntos fijos, por lo tanto, consiste completamente en puntos fijados por F. Luego, considerando la relación cruzada (D, C, E, O), demuestre que O también está fijo por F. Esto muestra que F es una perspectividad (ver Perspectividad.html ), por lo tanto, las líneas DY y CX se intersecan en (a) y la relación cruzada (O, H _X , X, Y) = (O, E, C, D) = -1.

 2. Ejemplos similares

Considere cuatro puntos {A, B, C, D} del plano proyectivo en posición general. Defina las proyectividades {F ₁ , F ₂ } según los requisitos: 
(i) F ₁ arreglos {A, C} e intercambios {B, D}, 
(ii) F ₂ arreglos {B, D} e intercambios {A, C }. 
Estas condiciones implican que {F ₁ , F ₂ } son perspectivas armónicas . Los ejes de {F ₁ , F ₂ } son respectivamente {AC, BD}. Los centros de las perspectividades son correspondientemente {E, H} en la diagonal GF del cuadrilátero completo correspondiente de ABCD. 
La composición F ₃ = F ₂ F ₁ También es una perspectividad armónica con el centro del punto de intersección O de las diagonales {BD, AC} y el eje la otra diagonal FG del cuadrilátero completo correspondiente.