GEOMETRÍA DINÁMICA

Cuadrángulo armónico

Un cuadrángulo cíclico ABCD se llama armónico cuando el cuarto vértice D es el cuarto-armónico de los otros tres A, B, C, es decir, considerando los puntos como números complejos la relación cruzada (ABCD) = - 1 (mire Complex_Cross_Ratio.html ). 
[1] Esta es una propiedad característica de los cuadrángulos armónicos: el polo de cada diagonal {U = (AB), V = (CD)} está contenido en la otra diagonal {CD, AB} respectivamente. 
[2] Para tal cuadrángulo, D puede determinarse como la intersección del circuncírculo y la línea que une C y el polo (AB) de la línea AB con respecto al circuncírculo.
[3] Para un proyecto de cuadrángulo de este tipo, el circuncentro O en AB en el punto M. Luego, los triángulos AMD, CBD y CMA son similares. De hecho, la similitud de dos de los tres triángulos implica la similitud con el tercero y este hecho es equivalente a que el cuadrilátero es armónico. 
[4] Dos vértices opuestos, {A, B} dicen, son inversos con respecto al círculo k _{CD que} pasa a través de los otros vértices {C, D} y ortogonales al circuncírculo. Esto es de nuevo una característica característica del cuadrilátero armónico. 
[5] Para los cuadriláteros armónicos, el círculo k _{CD que} pasa desde {C, D} y ortogonalmente al circuncírculo es un círculo de Apolonio para los triángulos ABC y ABD.
[6] Un cuadrángulo armónico se caracteriza por el hecho de que los productos de longitudes de lados opuestos son iguales.

Considere la polar (n) del punto de intersección de las diagonales {AB, CD}. Por las propiedades generales de los cuadriláteros cíclicos, sabemos que (i) los puntos de intersección de los lados opuestos {E, F} y los polos de las diagonales son cuatro puntos en (n). Para mostrar que una diagonal, digamos CD, pasa a través del polo U de la otra diagonal, usa la armónica. De hecho, la propiedad de armonía del cuadrángulo es equivalente al hecho de que la tangente t _A en A y las tres líneas {AD, AC, AN} forman un paquete armónico (AD, AC, AN, t _A ) = -1. Esto implica que la intersección punto U 'de t _ay DC es un conjugado armónico a N con respecto a {D, C}. Esto identifica U 'con U y prueba la primera parte de [1]. El argumento se puede invertir para probar también lo inverso. [2] es una secuencia de [1]. 
Sea ahora M el punto de intersección de la diagonal AB con UO. Como el ángulo UMN es ortogonal y {C, D} son armónicos con respecto a {U, N}, la línea MN es bisectriz del ángulo DMC. Tomando la simetría D * de D y C * de C con respecto a la línea (bisector) UM, vemos ese ángulo (ADM) = ángulo (CAB), ya que los arcos CB y AC * son iguales. Las declaraciones en [3] siguen de estas observaciones.
[4] sigue de [1]. De hecho, si el cuadrángulo es armónico, entonces el círculo (V, VD) es ortogonal al circuncírculo y {A, B} son inversos a este círculo. Inversamente, si esto sucede, entonces el CD es el polar de V y el uso de [1] completa el argumento. 
[5] es equivalente a [4] y [6] equivalente a [5] ya que en ese caso, {C, D} estar en el círculo de Apollonian cumplirá con AC / CB = AD / DB. 

Observación Observe que AB es una línea simétrica de triángulo ACD. Esto se deduce de la similitud de los triángulos ACM, ADM, lo que implica que las distancias de M desde los lados AC, AD son análogas a las longitudes de estos lados. Una propiedad característica de los simmedios. Por lo tanto, las diagonales del cuadrángulo armónico coinciden con algunos simmedianos de sus triángulos "parciales" ACD, ADB, etc. (dejando de lado un vértice).

 2. Cuadrángulo armónico y cuadrados.

Sea F una transformación de Moebius y A ₀ B ₀ C ₀ D ₀ un cuadrado. Luego, aplicando la transformación a los vértices del cuadrado obtenemos un cuadrángulo armónico o una división armónica de cuatro puntos en una línea, es decir, {A = F (A ₀ ), B = F (B ₀ ), C = F (C ₀ ) , D = F (D ₀ )} son los vértices de un cuadrilátero armónico si el circuncírculo del cuadrado se asigna a un círculo.

Es trivial ver que los vértices de un cuadrado satisfacen la definición de armonicidad. Dado que las transformaciones de Moebius conservan la relación cruzada y los círculos del mapa a los círculos (o líneas), la imagen será un cuadrángulo si el circuncírculo de los cuadrados se asigna a un círculo. De lo contrario, los cuatro puntos de imagen se ubicarán en una línea y construirán una división armónica. 

Corolario Tome un punto P y dibuje las líneas que lo unen con los vértices de un cuadrado. Luego, los segundos puntos de intersección de estas líneas con el circuncírculo del cuadrado forman un cuadrilátero armónico.

La prueba resulta al aplicar una inversión G (o antiinversión, si P es interna al circuncírculo del cuadrado) que proporciona los vértices {A, B, C, D} como imágenes de los vértices del cuadrado. La inversión es la que se refiere al círculo ortogonal al circuncírculo del cuadrado y centrado en P. Dado que cada inversión es la composición de un mapa de Moebius y una reflexión, la prueba sigue de la propiedad anterior.

La lema de hart

Considere un paquete de cónicas I (v, w), generadas por las cónicas v y wy cuatro puntos {P, Q, R, S} en c wic. Supongamos también que un par de lados opuestos del cuadrilátero completo, definidos por los cuatro puntos, dicen PS y QR, son tangentes a v, el acorde de los contactos es AB. Luego, cada cono del conjunto de cónicas que pasa a través de los cuatro puntos {P, Q, R, S} es tangente a un miembro cónico v 'del paquete I (v, w), siendo el acorde de los contactos la misma línea AB.

Al seleccionar la base proyectiva como se indica, la ecuación de la cónica (v) se convierte en v = xy-z ² = 0 (consulte ProjectiveCoordinates.html ). Considere primero el caso degenerado de líneas (PQ, RS), representado por un producto de ecuaciones lineales mn = 0. Esta cónica degenerada pertenece al paquete cónico generado por w y la cónica degenerada xy = 0, por lo que puede escribirse en la forma mn = kw + xy = 0, siendo k una constante. Sin embargo, esto es mn = kw + v + z ² = 0 ==> mn - z ² = kw + v. Por lo tanto, las líneas m (que representan PQ), n (que representan RS) son tangentes a la cónica v '= kw + v = 0, pertenecientes a la familia I (v, w), generadas por v y w. Además tienen z = 0 como acorde de contactos. 
El mismo argumento se aplica a cadau cónica del paquete I (w, xy), es decir, el paquete de cónicas que pasa por {P, Q, R, S}. Implica que u - z ² es igual a un miembro w 'de I (v, w). Al considerar los puntos de intersección de u y la línea zy las tangentes allí, demostramos fácilmente el reclamo. Por lo tanto, cada cónica de este paquete es tangente a una cónica del paquete I (v, w), el acorde de los contactos que coincide con la línea z = 0. 

Observaciones
[1] La figura anterior muestra también la v cónica tangente al par de líneas {QS, PR}. El lema, en la mayoría de los casos, se aplica para probar la existencia de cónicas (como v ', v' ') tangentes a los miembros degenerados de la familia I (w, xy).
[2] Como se ve en la prueba, los argumentos para el miembro cónico degenerado de I (w, xy) se pueden restringir a las cónicas reales. Para los miembros más generales de la familia I (w, xy), sin embargo, uno tiene que trabajar en el plano proyectivo complejo. 
[3] El lema de Hart es la piedra angular de la prueba de Hart, del gran teorema de Poncelet .

Mecanismo de línea recta exacta de Hart

Transforma el movimiento de rotación del punto B al movimiento en línea recta de los puntos H y F. H y F se mueven en dos líneas ortogonales que pasan por el centro de rotación A. El enlace [ABE] gira alrededor del A fijo. Los enlaces tienen una longitud constante. El punto D es fijo y las siguientes relaciones se mantienen: 
1) AB = BC, AD = DA 
2) CG = GF, AE = EH = EF 
3) Los triángulos AEF y FGC son similares 
4) El ángulo BCF es ortogonal 

Los puntos de FH describen elipsis Coloca plumas en otros puntos para ver sus trayectorias. 
La longitud del enlace AB se modifica moviendo la herramienta I (con la selección de contorno): CTRL + 2). 
La longitud del enlace AD ​​se modifica moviendo D (nuevamente con la herramienta de selección de contorno). 

Inspirado en el libro de Ivan Artobolevsky: Mecanismos en el diseño de ingeniería moderna bd I, p. 469, Mir Publishers, Moskow 1975.